斐波那契數(shù)列在三對角行列式計算中的應用

劉玲 方春霞 胡佳寧 繆夢楠

【摘要】本文主要研究如何利用（廣義）斐波那契數(shù)列的通項公式來計算三對角行列式.

【關鍵詞】斐波那契數(shù)列;三對角行列式;計算

一、引 言

斐波那契在《算盤書》中提出了一個有趣的兔子問題：一般而言，兔子在出生兩個月后，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來.如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少對兔子？

分析 第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對;兩個月后，生下一對小兔，總數(shù)是兩對;三個月以后老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對.由此下去，數(shù)字1，1，2，3，5，8——構成了一個序列.這個數(shù)列有十分明顯的特點：前面相鄰兩項之和構成了后一項，即fn=fn-1+fn-2，這個數(shù)列就是著名的斐波那契（fibonacci）數(shù)列.

斐波那契數(shù)列在各領域應用廣泛，特別地，它在行列式計算中有其獨特的魅力，如，某些三對角行列式的遞推關系滿足斐波那契數(shù)列的通項公式fn=fn-1+fn-2及其推廣形式，因此，我們利用斐波那契數(shù)列的通項公式來計算滿足這個條件的行列式，以達到簡化行列式運算的目的.

二、（廣義）斐波那契數(shù)列的定義與性質

（一）斐波那契數(shù)列的定義與性質

（二）廣義斐波那契數(shù)列的定義與性質

三、斐波那契數(shù)列在行列式計算中的應用

在三對角行列式的計算中，利用降階展開定理得到行列式的遞推關系式，這個遞推關系式經常滿足（廣義）斐波那契數(shù)列的條件，所以利用斐波那契數(shù)列的通項公式來計算三對角行列式也是一種計算方法.

（一）斐波那契數(shù)列在三對角行列式中的應用

【參考文獻】

[1]吳振奎.斐波那契數(shù)列[M].沈陽：遼寧教育出版社，1987.

[2]奚傳志.矩陣特征值與特征向量在遞推關系上的應用[J].棗莊師專學報，1991（2）：26-30.