巧構一線三直角巧解題

謝明輝

基本圖形：如圖所示，點B，P，C在一條直線上，∠B=∠APD=∠C=90°，我們稱這一基本圖形為“一線三直角”模型，則△ABP∽△PCD.

點評：一線三直角作為一個基本數學圖形，在很多題目特別是中考題中有著廣泛的應用.我們在教學中經常遇到此圖形，然后利用相似三角形可以解決一類相關問題.很多題目通過構造這一基本圖形，能夠迎刃而解.下面本人結合自己的教學實踐，淺談利用該基本圖形快速有效地解決問題的實例.

一、正方形折疊中的一線三直角

如圖1所示，將正方形紙片ABCD對折，使AB與CD重合，折痕為EF.如圖2所示，展開后再折疊一次，使點C與點E重合，折痕為GH，點B的對應點為點M，EM交AB于N.若AD=2，則MN=.

點評 本題以正方形翻折為載體，當正方形的一個直角落在正方形的一邊上時，可以在復雜的圖形中直接找到到一線三直角基本圖形，然后求出相關的量，計算容易、簡單.

二、線段旋轉中的一線三直角

如圖所示，已知∠MON=30°，B為OM上一點，BA⊥ON于A，四邊形ABCD是正方形，P為射線BM上一動點，連接CP，將CP繞點C順時針旋轉90°得CE，連接CE，若AB=4，則BE得最小值為.

解析 分別過點P，E作PG⊥BC于，EH⊥BC延長線于H，由于CP繞點C順時針旋轉90°得CE，且PC=EC，則可證明△PGC≌△CHE，可得PG=CH，CG=EH;由已知∠MON=30O°，四邊形ABCD是正方形，可得3PG=BG，設PG=CH=x，則BG=3x，則CG=HE=4-3x，BH=4+x，在Rt△BEH中，由勾股定理得BE=（4+x）2+（4-3x）2，由此可得該二次函數的最小值為2+23.

點評 此題為一題多解，另一解法可根據旋轉的性質得到全等三角形，然后根據點E的軌跡求出BE的最小值，但很多程度中下的學生難以理解體會這種解法.相比較，本題的解法更加通俗易懂，通過構造一線三直角這一基本圖形，運用勾股定理巧妙地將幾何問題轉化為二次函數的最值問題，學生更容易接受和理解.

三、坐標系中的一線三直角

1.如圖所示，點A，B分別在反比例函數y=2x（x<0）與y=4x（x>0）的圖像上，且△OAB是等邊三角形，則點A的坐標為.

解析 在x軸下方過O作OD⊥OB交BA的延長線于D，分別過點B，D作BF⊥x軸于F，DE⊥x軸于E，由此得到一線三直角基本圖形，通過△BFO∽△OED，BF∶OE=OF∶DE=OB∶OD=1∶3，設點B坐標Ba，-4a，所以OF=a，BF=4a，點D坐標為D-43a，-3a.根據中點公式得，點A坐標為Aa2-432a，-4-3a22a，由此得到a2-432a×-4-3a22a=2，解得a=2，a=-2（舍去），所以得到點A坐標為A（1-3，-1-3）.

點評 一般情況下，在坐標系中當有一個是直角的時候，我們可以通過作高線構造一線三直角這一基本圖形.本題比較特殊，條件中沒有直接給出直角三角形，但由于等邊三角形含30°角的特殊直角三角形，所以我們也可以以等邊三角形為載體，先構造直角三角形，然后再構造三直角基本圖形.

小結 一線三直角基本圖形作為初中幾何中的常見圖形，是解決復雜幾何問題的有效手段.尤其在近年來的很多中考壓軸題中，很多都涉及該基本圖形.教師只要在平時教學中逐步滲透，讓學生慢慢積累，學生就能在復雜的圖形中提煉出基本圖形，體會利用該基本圖形解決問題的便捷之處，做到化繁為簡.