基于偽譜法的多級火箭總體/彈道一體化優化方法

陳鐵彪，王洪波，龔 旻，佟澤友，涂建秋

（中國運載火箭技術研究院，北京，100076）

0 引 言

隨著軍民融合國家發展戰略的確立，商業航天、微/小衛星發射市場迎來了蓬勃的發展機遇。小型化、密集化的商業航天發射模式使得“固體動力+小型化+低成本”成為商業火箭迫切的發展需求。在低成本的研制需求下，降低起飛質量始終是商業火箭的優化設計目標。為降低起飛質量，工程上一般基于工程經驗簡化約束條件，再優化得到最優級間比等總體參數，優化精度相對粗略。為提高論證初期的方案準確度，減少方案設計的迭代次數，有必要精細化各專業約束，解決多約束條件下總體/彈道一體化優化的問題。

偽譜法在軌跡優化方面應用廣泛并發展迅速，其原理是將狀態變量和控制變量在一系列配點上離散，利用離散點為節點構造 Lagrange插值多項式來擬合狀態變量和控制變量。通過對全局插值多項式求導來近似狀態變量對時間的導數，從而將運動微分方程轉化為代數方程，將彈道優化問題轉化為非線性規劃問題。正是這種轉化使得偽譜法可以對飛行過程中的動態控制變量和靜態總體參數同時進行尋優，進而得到最優級間比、最優滑行時間等總體參數和飛行過程中的最優控制變量。

1 偽譜法

軌跡優化方法主要分為直接法和間接法[1,2]。間接法的基礎理論是經典變分法和極小值原理，通過將問題轉化為哈密爾頓兩點邊值問題間接進行求解。直接法將最優控制問題通過一定離散策略轉化成為非線性規劃問題，然后采用非線性規劃算法進行求解。根據轉化方法的不同，大體分為直接打靶法和直接配點法。兩種方法的區別是對動力學方程處理的不同，導致轉化后的非線性規劃問題結構不同。直接打靶法中需對狀態微分方程進行連續積分，而直接配點法通過特定的隱式積分準則（局部配點）或函數逼近方法（全局配點）將動力學方程轉化成了微分代數方程，非線性規劃求解時速度迥異。直接法是應用最為廣泛的軌跡優化方法，特別適合于飛行器的性能分析及總體設計。近年來，直接法中的全局正交配點法、偽譜法發展迅速，由于其特殊的離散格式，提高了多項式近似的精度，采用較少的計算節點就能獲得很高的計算精度，廣泛用于飛行器的軌跡優化。根據節點、配點和插值基函數的不同，偽譜法可以分為 Chebysgev偽譜法（CPV）、Legendre偽譜法（LPM）、Gauss偽譜法（GPV）和Radau偽譜法（RPM）。

彈道優化問題可以看作是 Bolza形式的最優控制問題[3]，即在滿足式（2）～（4）的條件下，最小化具有一般性的Bolza型目標函數：

運動方程約束為

過程約束條件為

端點約束條件為

式中 J為目標函數；φ為終端型性能指標函數；g為系統動態性能指標函數為積分型性能指標函數；t0為初始時間；tf為終端時間； x( t)為狀態變量； x ( t0)為狀態變量初值； x( tf)為狀態變量終值；u( t)為控制變量；C為過程約束函數；φ為端點約束條件函數。

為便于插值點的確定，將時間區間 t ∈[t0, tf]分為K段子區間然后將每段子區間的通過式（5）轉換為。

則每段子區間的狀態變量、控制變量、運動方程、過程約束和端點約束相應轉化為時間域 τ =[?1,+1 ]上函數。

利用LGR積分將目標函數近似為

運動方程（2）在LGR點的離散形式為

過程約束和端點約束在LGR點的離散形式為

通過上述一系列的數值近似辦法，最終把Bolza問題轉化為非線性規劃問題，即求取每段LGR點處的狀態變量和控制變量，在滿足運動方程、過程約束和端點約束的情況下，使性能指標最小。

2 總體/控制一體化優化模型

2.1 飛行方案

本文采用三級固體運載火箭的飛行方案驗證優化方法，飛行彈道分為“一級動力飛行+一級滑行+二級動力飛行+二級滑行+三級動力飛行”多個階段，如圖1所示。目標軌道為500 km圓形軌道，有效載荷為100 kg，整流罩為50 kg，整流罩在二級滑行段分離。

圖1 飛行剖面Fig.1 Flight Profile

2.2 動力學模型

在地心慣性坐標系下建立火箭的動力學模型[4]，地心慣性坐標系（右手系）的原點在地心 OE處， OEXE軸在赤道面內指向平春分點， OEZE軸垂直于赤道面，與地球自轉軸重合。假設地球為均質圓球且火箭推力方向始終經過質心，則地心慣性系內動力學方程如下[5,6]：

式中 r( t)， v ( t)分別為火箭在地心慣性系下的位置和速度；m為火箭質量；為代表發動機推力方向的單位矢量；D為氣動阻力； CD為火箭氣動阻力系數； Aref為火箭參考面積； vrel為火箭相對地球速度；ω為自轉角速度；ρ為大氣密度；T為發動機推力。

假設采用理想固體火箭發動機，給定發動機推力和比沖 Isp后，則發動機的燃料消耗速度為

2.3 性能指標、約束條件及優化變量

以最小起飛質量作為優化的目標函數：

約束條件為矢量u的模長和終端入軌條件：

2.4 結構質量模型

運載火箭的各子級質量分為固定質量和非固定質量。固定質量包括整流罩質量、有效載荷質量、火箭殼體質量、發動機結構質量等（如圖2所示）；非固定質量主要是推進劑質量，占火箭總質量的絕大部分[7,8]。

彈頭質量初步取為

式中pm為有效載荷質量；im為儀器設備質量；mm為末修動力系統質量。

發動機質量比σ可用箭體直徑d近似為

尾段C1及級間段C2和C3質量為

式中 m殼為級間段圓柱殼體質量；m底為底遮板質量；m其他為其他附加質量。

圖2 多級運載火箭結構形式Fig.2 Multi-stage Launch Vehicle Structure

3 仿真分析

以起飛質量最小為優化目標，對各級火箭發動機質量等總體參數和飛行過程中的控制變量進行尋優。優化后的總體參數、滑行時間和最小起飛質量為

式中 m1,2,3為一、二、三子級質量；d為火箭直徑；t1，2為一、二級滑行段時間；Mmin為最小起飛質量。

目標軌道根數和關機點軌道根數如表 1、表 2所示。從表1、表2可以看出，關機點參數與目標軌道參數相差很小，滿足入軌條件。運載火箭采用優化結果進行總體參數選擇和飛行控制時，有效載荷入軌時燃料沒有剩余。

表1 目標軌道根數Tab.1 Target Elements of Orbit

表2 關機點軌道根數Tab.2 Elements of Orbit at the Shutdown Point

整個飛行階段分為3個助推階段和2個無動力滑行階段。各階段的飛行高度、飛行速度變化曲線如圖3、圖4所示，助推段、滑行段各階段過渡平滑。

圖3 飛行高度變化曲線Fig.3 Flight Altitude Curve

圖4 飛行速度變化曲線Fig.4 Flight Speed Curve

起飛后 562 s，火箭以較高精度將有效載荷送入500 km 圓形目標軌道。起飛后 83.1～176.7 s、321.9～472.9 s為火箭的無動力滑行段，發動機推力為零，火箭飛行高度升高，速度降低，動能向重力勢能轉化。

4 結束語

本文建立了多級火箭的總體/彈道一體化優化模型，解決了彈道、氣動和動力等專業約束下動靜參數耦合優化問題，相比于傳統火箭的估算模型，精細化程度更高，更貼近工程實際，同時在級間比、箭體直徑和滑行時間等總體參數優化過程中考慮了控制系統的潛力，減少了火箭方案論證中迭代周期和設計成本。