多約束條件下機動飛行器末段最優制導律研究

嚴東升，張 曦，李 強，賈平會，李 軍

（北京航天長征飛行器研究所，北京，100076）

0 引 言

隨著制導武器機動性能和制導精度的大幅提高，僅有單一脫靶量要求的制導律已經不能滿足現代戰爭的需要，尋求復雜環境多約束條件下的末段制導律具有重要的理論意義[1]。基于末段數據鏈提供的目標位置、速度及視線角等信息，制導律的設計不僅要考慮理論研究，要滿足落點精度、傾角約束及過載需求等嚴苛條件，還要保證工程實用性，以提高制導武器的作戰效能。

近年來，末制導研究主要集中在最優控制理論、滑模變結構控制、自適應控制、預測控制方面[2～4]。基于最優控制理論的彈道成型制導律在文獻[5]中首次提出，Paul Zarchan則側重于終端姿態角約束條件下線性制導系統的最優控制研究。Lee[6]在彈道成型制導律的基礎上加入對攻擊終端時間約束條件，利用最優控制理論實現對低機動目標的協同飽和攻擊。胡正東[7]設計了一種帶落角約束的再入機動飛行器復合導引律，在最優導引的基礎上引入滑模變結構控制，增強導引律的魯棒性。Manchester[8]設計了帶角度約束的循環迭代比例導引律方法，將有限時間的非線性約束問題變為無限時間線性規劃問題。Hu[9]結合自適應控制理論，設計了一種帶角度約束的三維自適應比例導引律，通過自適應調整系數，滿足落角要求實現垂直攻擊。上述制導律設計大多未考慮實際應用終端過載的需求，且制導律中包含難以測量的狀態信息，不便于工程應用，適用性差。本文針對當前工程應用中面臨的問題，基于最優控制理論，在考慮機動性能、落點精度及傾角約束下，得到工程化的最優制導律，通過分析制導階次研究制導律特性，最后將末端過載控制到零。

1 多約束最優制導方法建模

飛行器末制導問題的線性動力學模型如圖1所示。

圖1 線性動力學模型Fig.1 The Model of Nonlinear DynamicsaT—目標加速度；aM—飛行器加速度；s—飛行器位移

飛行器制導問題的狀態方程可表示為

高超聲速飛行器通常具有末端位置條件與傾角約束限制，而傾角約束在狀態量上等價于末端法向速度約束，可以通過控制飛行器法向速度來滿足速度傾角約束，因此末端約束為

制導律設計初期，期望飛行器按較高過載實現大機動飛行，而接近目標時，需要以較小或趨近于零值的過載指令，間接保證飛行器以小攻角擊中目標，因此本文引入剩余飛行時間的冪函數R(t)，即：

式中got為剩余飛行時間；n為制導階次，n ＞0。

定義該制導模型的目標函數為

式中 t，0t，Ft分別為飛行器的運動時間、初始時刻及終端時刻。

要使得目標函數最小，即：

根據最優控制理論中對狀態空間方程在始、末兩時刻的通解算法，該制導問題以飛行器末制導初始時刻為起點，可得末端時刻通解的表達式：

式中 λ為時間變量。

定義函數：

考慮末端位置和法向速度約束，式（7）可簡化為

引入中間變量η，將上面兩式合并，得到：

應用Schwartz不等式定理可得：

根據Schwartz不等式定理，加速度指令可表示為

將式（12）代入式（11），得到：

故，飛行器加速度關于t的表達式為

根據1h，2h的定義，在不同時刻存在：

將式（16）代入式（12），可以得到剩余飛行時間tgo的加速度指令為

式中 N1及 N3為位置約束權系數，，N2為落腳約束權系數，

2 最優制導律工程簡化

式（17）最優末制導律中的狀態量，在實際飛行中不便于直接測量，包括飛行器法向位移以及法向速度等，本節對多約束最優末制導律表達式進行簡化，以增強工程適應性。末段飛行時間較短，將飛行器和目標看作是在縱向平面運動，建立二維平面交戰模型，彈目相對運動關系如圖2所示。

圖2 彈目相對運動關系Fig.2 The Relative Motion Relationship between Missile and Target

當q(t)為小量時，根據飛行器與目標幾何關系，有：

對式（18）兩邊進行微分，得：

由式（19）可得：

將式（19）代入式（20）得：

將式（20）、式（21）代入式（17）加速度指令中，可得到便于實際應用的多約束最優末制導指令：

式中 q(t)和()q t˙可由導引頭測量得到；Fq為提前裝訂的末端傾角期望值；rV和got可由導航模塊進行實時解算。式（22）由末端位置約束項和傾角約束項構成，以實現飛行器的精確打擊，并以期望的傾角命中目標。

3 制導律權系數特性分析

3.1 制導權系數對過載影響

由式（17）制導權系數N1和N2與制導階次n的關系可知，相應的制導指令形式會隨著n的變化而變化，因此飛行過載指令也將隨之改變。

飛行器的初始位置在彈目視線連線上，基于圖 2的飛行器模型，可得法向位移的變化率：

式中0ε為初始速度誤差角。

在飛行器末制導初始時刻t=0時，據式（7）可得：

設初始時刻00t= ，由式（16）可得：

將式（24）代入式（17）中得：

由Fq引起的無量綱過載：

經推導可得，制導律的過載大小主要受制導階次n的影響，圖3給出了不同n值下的由誤差角0ε和傾角約束Fq引起的無量綱過載曲線。

由圖3仿真曲線可知：

a）當 n=0時，末端位置約束項權系數1N=4，末端傾角項權系數2N=2，制導過程中由0ε引起和由Fq引起的無量綱過載比值保持為2，且兩項過載在末端未收斂至零；

b）當n＞0時，由0ε引起和由Fq引起的無量綱過載在飛行末端均收斂至零。由于在飛行前段，已產生足夠的制導指令去修正速度方向的誤差，飛行后段的速度方向基本調整至彈目視線方向，因此由0ε引起的過載在飛行后段過載指令中所占比重較小。

圖3 無量綱過載指令曲線Fig.3 Dimensionless Overload Instruction Curve

假設飛行器按1500 m/s的速度飛行，飛行器初始航向角θ0=0°，飛行器初始位置(x, y )= ( 0,30) km，目標靜止。取不同的制導階次，對彈道形式進行計算仿真，得到的彈道形式如圖4所示。

當 n越大，由Fq引起的過載指令占比越大，在飛行前段會使用更多的過載指令來滿足傾角約束條件；在飛行后段由Fq引起的過載指令也會逐漸減小，過載指令緩慢變化減到零值。

3.2 制導權系數對彈道影響

圖4 不同末端傾角約束下的飛行彈道隨制導階次變化曲線Fig.4 Trajectory with Multiple Guidance Order under Different Impact Angle Constrains

由圖4可得到：

a）在相同的Fq條件下，隨著制導階次n增加，傾角約束權系數2N變大，傾角約束項過載指令更大，使初始段產生較大加速度，將彈道拉高，因此在初始時刻彈道形態會劇烈地變化；

b）在末制導初始階段，可以通過降低制導階次n控制彈道爬升，以減小傾角約束項權系數對彈道形態的影響。

4 末段制導策略設計

利用第1節推導的最優制導律，進行末制導策略設計。該飛行段需要進行較大范圍機動飛行，攻角和速度變化較大，為了保證最終命中精度，同時滿足末端角度約束條件，縱向選用多約束最優制導律，并加入重力補償項，慣性坐標系下指令形式為

當制導階次n增加時，2N所占比重增大，飛行器以較大過載來修正飛行器相對于期望值Fq的速度角偏差，從而降低接近目標時的需用過載；然而制導階次過大會使得制導權系數過大，間接降低了制導系統抑制信息噪聲的能力，導致命中精度降低。基于上述分析，為了滿足傾角約束和命中精度的要求，經過試驗論證，取n=2，權系數1N=4，2N=2。

側向采用純比例導引制導律，慣性坐標系下指令表達式為

對基于多約束條件下的最優制導策略進行末段的數學仿真校驗，給出關于攻角、側滑角、滾轉角及速度傾角的仿真曲線如圖5所示，飛行器采用BTT-180控制方式，彈身滾轉使其最大升力面轉至機動平面，以實現末段的快速下壓。

圖5 末段攻角、側滑角、滾轉角及速度傾角變化曲線Fig.5 Angle of Attack, Angle of Side Slip, Roll Angle and Velocity Path Angle Curve

由圖5可知，末段下壓段，由于采用BTT-180控制方式，所以下壓段滾轉角超過180°，飛行器正攻角飛行，且最終收斂至零附近。對于側向通道而言，為實現協調轉彎，降低導彈飛行過程中的氣動力耦合，全程側滑角小于3°，以增強導彈的協調轉彎能力。下壓段速度傾角逐漸減小，末端傾角值為-76.53°，滿足傾角約束條件。

圖6給出了彈體系下縱向和側向加速度指令跟蹤情況，飛行器過載輸出以及對指令跟蹤效果較好，有利于飛行器BTT協調轉彎飛行保證其命中精度要求。在最優制導策略下，減小了需用過載，實現了末端過載接近于零的設計需求，保證以小攻角擊中目標。

圖6 縱向及側向加速度指令跟蹤曲線Fig.6 Vertical and Lateral Acceleration Command Tracking Curve

圖7 給出了飛行器在末制導段運動的三維軌跡圖。

圖7 飛行器末段三維彈道Fig.7 Terminal Three Dimensional Trajectory

仿真結果表示該制導律成功導引至目標位置處，末段基本上基于縱向平面內運動，計算脫靶量為2.21 m，滿足命中精度的要求。

5 結 論

為實現多約束條件下飛行器末段侵徹攻擊任務，本文將最優控制理論與工程應用緊密結合，通過將剩余飛行時間冪函數引入性能指標設計制導律，通過制導律特性分析及數值仿真，驗證了該方法的有效性，滿足了過載需求、傾角約束和命中精度要求，提高了工程適用性。多約束條件下的最優制導策略設計是實現制導武器末段突防的前提和保證，對實現地面高價值目標的打擊與摧毀具有重要工程應用價值。