不定方程172kx(x+1)(x+2)(x+3)=y(y+1)(y+2)(y+3)的整數解

張 敏，高 麗

(延安大學數學與計算機科學學院，陜西延安716000)

不定方程的求解問題不僅在數論中具有重要的研究價值，而且在其它學科中也有廣泛的應用價值，如在密碼學、電子工程和計算機科學技術等方面都有重要的應用。因此不少學者對其進行了深入系統的研究，如四次不定方程

Mx(x+1)(x+2)(x+3)=

Ny(y+1)(y+2)(y+3)

(1)

其中M，N為整數。

1971年，Cohn J E[1]證明了當M=2,N=1時，不定方程(1)只有正整數解(x,y)=(5,4)；1975年，Ponnudurai T[2]證明了當M=3,N=1時，不定方程(1)有正整數解(x,y)=(3,2)和(7,5)；1982年，宣體佐[3]證明了當M=5,N=1時，不定方程(1)只有正整數解(x,y)=(2,1)；1991年，羅明[4]證明了當M=1,N=7時，不定方程(1)只有正整數解(x,y)=(4,2)；2006年，柳楊[5]證明了當M=112k,N=1時，不定方程(1)沒有正整數解；2007年，柳楊等[6]證明了當M=132k,N=1時，不定方程(1)沒有正整數解；2011年，徐凱等[7]證明了當M=192k,N=1時，不定方程(1)沒有正整數解；2009年，羅明等[8]證明了當M=3,N=5時，不定方程(1)只有正整數解(x,y)=(7,6)；同年段輝民等[9]證明了當M=1,N=19時，不定方程(1)沒有正整數解；2015年，張洪等[10]證明了當M=1,N=21和M=1,N=23時，不定方程(1)沒有正整數解；2016年劉海麗等[11]證明了M=1,N=35時，不定方程(1)只有正整數解(x,y)=(4,1)；同年林昌娜等[12]證明了M=1,N=34時，不定方程(1)只有正整數解(x,y)=(14,5)；張洪[13]討論不定方程(1)的正整數解情況；2017年，胡邦群等[14]證明了M=6,N=7時，不定方程(1)只有正整數解(x,y)=(25,24)；2018年，陳瓊[15]證明了M=1,N=33時，不定方程(1)只有正整數解(x,y)=(9,3)；白金卉[16]證明了M=1,N=37時，不定方程(1)沒有正整數解。

本文就是在以上研究思路以及方法的基礎上，對M=172k,N=1這一種情形做了進一步研究，證明如下定理：

定理當M=172k,N=1(k∈N)時不定方程(1)沒有正整數解，即不定方程

172kx(x+1)(x+2)(x+3)=

y(y+1)(y+2)(y+3)

(2)

沒有正整數解。

1 預備引理

為證明這一定理，我們需要先做一些準備工作。

引理1 當M=172k,N=1(k∈N)時，不定方程(2)有正整數解的充要條件是不定方程組

(3)

有正整數解。

證明：必要性 若方程(2)有正整數解x0,y0，則

172kx0(x0+1)(x0+2)(x0+3)=

y0(y0+1)(y0+2)(y0+3)。

(v0-1)(v0+1)=172k(u0-1)(u0+1)，

這表明不定方程組有正整數解u0,v0,x0,y0。

充分性 若不定方程組(3)有正整數解u0,v0,x0,y0，則

從而可得

即172kx0(x0+1)(x0+2)(x0+3)=

y0(y0+1)(y0+2)(y0+3)，

由此可知，方程(2)有正整數解x0,y0。

引理2 設k為自然數，則不定方程組

(4)

僅有一組正整數解：

u=1,v=1,A=17k-1,B=17k+1。

證明：由A=17ku-v，B=17ku+v可知A<17k，B>17k，則A

于是可知，1≤A<17k

令A=17k-l1,1≤l1<17k，l1是整數；B=λ17k+l2，λ≥1,0≤l2<17k,λ,l2均為整數。則方程組(4)的前兩式可化為

即2×17ku=17k(λ+1)+(l2-l1)，由此可知17k|(l2-l1)，又因為0≤|l2-l1|<17k，因此必有l2-l1=0。令l2=l1=l，1≤l<17k，則有

A=17k-l，B=λ17k+l，

由AB=172k-1及上式得

172k-1=(17k-l)(λ17k+l)=

172kλ+17kl-17kλl-l2，即

17k(λ-1)(17k-l)=(l-1)(l+1)

(5)

若λ=1，則有l=1，從而可得A=17k-1,B=17k+1，此時方程(4)有正整數解u=1,v=1,A=17k-1,B=17k+1。

若λ>1，則l>1，此時有2u=λ+1，由此可知λ為奇數，由式(5)可知17k|(l+1)(l-1)。

若17k|(l+1)，且有17k|(l-1)，則有17|[(l+1)-(l-1)]，故與17? 2互相矛盾，這表明17k|(l+1)，1≤l<17k，所以必有l+1=17k，將l+1=17k代入A=17k-l中，并利用AB=172k-1可知A=1，B=172k-1，與題設矛盾。

所以不定方程組(4)僅有一組正整數解：

u=1,v=1,A=17k-1,B=17k+1。

引理3 當k是自然數，則不定方程

172ku2-v2=172k-1

僅有正整數解u=1,v=1。

證明：由引理2即可以得到引理3的結論。

2 定理的證明