非自治Plate方程指數吸引子的存在性

蘇小虎，姜金平，王力杰

(延安大學數學與計算機科學學院，陜西延安716000)

本文主要討論下面的非自治Plate方程

(1)

其中Ω?Rn是光滑邊界上的有界區域；u=u(x,t)是Ω×(τ,+∞)上的未知函數；α>0為粘性阻尼；f是Lipschitz連續函數，并且滿足下列條件

f(0)=0，f′(s)≥-λ1，

(2)

C1Sp-C0≤f(s)s≤C2Sp+C3，p≥2,

?s∈R。

(3)

(4)

其中M>0，Ci>0，i=1，2，…。

關于Plate方程的研究已經有一些結果，文獻[1]研究了帶有非線性阻尼Plate方程的全局吸引子；文獻[2]研究了帶有非線性阻尼Plate方程的一致吸引子；文獻[3，4]作者分別研究了具有局域阻尼和無界域臨界指數的Plate方程的全局吸引子和指數吸引子；文獻[5]研究了具有臨界指數的Plate方程的漸近性和正則性；在文獻[6]作者研究了當滿足周期和擬周期及其他條件，f(u)滿足臨界增長時指數吸引子的存在性；文獻[7]研究了g∈L∞(R,L2(Ω)時指數吸引子的存在性；文獻[8]研究了當g(t)滿足H?dler連續，f(u)滿足臨界增長時指數吸引子的存在性。

本文在閱讀文獻[6-9]過程中受到啟發，在光滑邊界上的有界區域Ω?Rn上，非線性項f(u)滿足任意增長時，外力項g(x,t)滿足平移有界條件下，證明非自治Plate方程指數吸引子的存在性。

1 預備知識

定義1[8](非自治指數吸引子)緊集族{M(t),t∈R}是Banach空間E上的過程族{U(t,τ),τ∈R}的(非自治)指數吸引子。如果所有集合M(t)的分形維數是有限的，即dimF(M(t),E)≤C<∞,?t∈R；

(i)對t≥τ,τ∈R，M(t)是正不變的：U(t,τ)M?M；

(ii)存在常數α>0，遞增函數Q(·)，使得對?t∈R，S≥0以及E中的任意有限子集B，有

dimE(U(t+s),t)B,

M(t+s))≤Q(BE)e-αs。

定義2[8]設E是Banach空間，E1是空間E上的緊嵌入，又B是E1中的有界子集，對于常數0≤ε≤1,δ,K>0，定義如下非線性算子S:E→E的一個類Sδ,ε,K(B)：

(i)S映射B中的一個δ領域Qδ(B)到B，S:

Qδ(B)→B，其中δ領域賦予E1中的拓撲結構。

(ii)我們把S分解為下面的形式

S=S0+S1，

S0:Qδ(B)→E,S1:Qδ(B)→E1，

其中S0,S1滿足下列情形

S0(z1)-S1(z2)E≤εz1-z2E，

?z1,z2∈Rδ(B)，和

S1(z1)-S1(z2)E1≤Kz1-z2E1，

?z1,z2∈Qδ(B)。

Ug(t,τ)uτ2≤M0，

?t-τ≥TB,uτ∈B,g∈∑。

(5)

Ug(t,τ)uτ2≤M，?t≥τ,uτ∈B。

由定義3結合問題(1)，我們把Ug(t,τ)uτ=

u(t)可分解為

Ug(t,τ)uτ=D(t,τ)uτ+Kg(t,τ)uτ。

(6)

這里的D(t,τ)uτ=v(t)，Kg(t,τ)uτ=w(t)分別是下列方程的解。

(7)

以及

(8)

引理1[7]對?τ∈R，方程(1)的解滿足：存在一個常數k0，使得對?t≥τ，

D(t,τ)uτ2≤Q1(uτ)e-k0(t-τ)

(9)

其中Q(·)為區間[0,∞)上的增函數，并且k0依賴于τ的。

定理1[8]設E和E1都是Banach空間，并使E1緊嵌入到E，B是E1中的一個有界集U(t,τ)(τ∈R,t≥τ)是在空間E中的過程。設U(t,τ)滿足

(1)存在常數ε∈[0,1]以及K>0,T>0，使得U(T+τ,τ)∈Sδ,ε,K(B),?τ∈R；

(2)U(T，τ)是H?lder連續：存在常數k1及CT,B，有zi∈Qδ(B)(i=1，2，S∈[0,T])，

使得

U(τ+s+t,τ)z1-U(τ+t,τ)z1E≤

(10)

以及

U(τ+s+t,τ+s)z2-U(τ+t,τ)z2E≤

CT,Bectsk1,?t≥T

(11)

則存在指數吸引子τ→εU(τ)?Qδ(B),τ∈R。并且這里滿足以下性質

(i)吸引子εU(τ)?B,(τ∈R)，并且其分形維數有限

dimF(εU(τ),E)≤C1；

(12)

其中C1是不依賴于τ的常數。

(ii)關于U的集族εU是正不變的，

U(t,τ)εU(τ)?εU(t)，?t,τ∈R,t≥τ；

(13)

(iii)集族有如下指數吸引子的形式

distE(U(t,τ)B,εU(t))≤

C2e-α(t-τ),?t≥τ；

(14)

其中C2和α是不依賴于t和τ的常數。

(iv)函數t-εU(t)是一致H?lder連續的

C3sk,?t∈R。

(15)

其中C3和k是不依賴于t和s的常數。

2 主要結果及證明

引理2[10]設u(t)是方程(1)的一個解，則對于?ε>0及τ∈R，存在正常數Cε,Kε使得

u(t)=v1(t)+w1(t)，?t≥τ，

(16)

其中u1(t)，w1(t)，滿足下面的估計

-△w1(t)2≤Kε，?t≥τ，

(17)

其中的Cε,Kε是不依賴于τ的常數。

引理3 設引理1成立，則存在一個正常數M，使得對于V中的任意有界子集B?D(A)，有T=

T(B)>0成立。

Ug(t,τ),uτ2≤M,?t-τ≥T,uτ∈B。(18)

證明在定義3中我們可以知道，存在常數TB(TB是依賴于B的)，使得

Ug(t,τ),uτ2≤M0，?t-τ≥TB，?uτ∈B

(19)

我們用△ut與(1)式做內積，得到

(f(u),△ut)=(g(x,t),△ut)，

(20)

又因為

則由上式得

(21)

其中

(22)

再由(2)，(3)我們可得

Cλ1▽u2·△u。

(23)

將(22)和(23)代入(20)，我們整理得

引理4 由定理1確定的時間T>0，過程族Ug(t,τ)在以下條件是滿足H?dler連續的：則存在常數CT,B及c′，使得對?zi∈Qδ(B)(i=1，2)，s∈[0，T]是H?dler連續的。

U(τ+s+t,τ)z1-U(τ+t,τ)z1E≤

(24)

以及

U(τ+s+t,τ+s)z2-U(τ+t,τ)z2E≤

CT,BectSk1,?t≥T

(25)

證明由定義3以及(1)式知u(t)=Ug(t,τ)uτ(t≥τ)滿足：對于?uτ∈Q1(B)，

(26)

這里的MB是和Q1(B)有關的常數。對?s∈[0，T]和z2∈Q1(B)有

Ug(τ+s+t,τ)z1-Ug(τ+t,τ)z1=

(27)

因此，我們有

U(τ+s+t,τ+s)z2-U(τ+t,τ)z2E≤

Ug(τ+s+t,τ+s)(Ug(τ+t,τ+s)z2)-

Ug(τ+t,τ+s)z2+Ug(τ+t,τ+s)z2-

Ug(τ+t,τ+s)(Ug(τ+s,τ)z2)。

(28)

結合(24)和(26)得證。

(29)

引理6 由定理1，存在T=T(B)，使得Ug(t,τ)(t≥τ)滿足以下幾條性質

(i)對?τ∈R,t≥0有

ug(t+T+τ,τ)Q1(B)?B；

(30)

(ii)對于?z1,z2∈Q1(B)以及τ∈R，Ug(t+τ,τ)可分解

?z1,z2∈Q1(B)，

(31)

?z1,z2∈Q1(B)。

(32)

證明由引理3可知，對于初值uτ∈Q1(B)，用S(t,τ)uτ表示下面方程的解

utt+αut+△2u+f(u)=0，

在這里我們設

(33)

(34)

(35)

由引理2，對于D(A)中的有界集Q1(B)，存在常數T2(依賴于B)，使得?τ∈R有

Ug(t,τ)Q1(B)?B,?t-τ≥T2。

證明：由引理4和引理6，對于集合B和滿足條件(4)的外力項g(x,t)，則(1)中存在一個自治的指數吸引子{εg(t)}t∈R。