雙偶數階始元幻方的同余構造法

張 婧，劉興祥，董朦朦

(延安大學數學與計算機科學學院，陜西延安716000)

矩陣不僅是各數學學科，而且也是許多理工學科的主要數學工具。矩陣的研究極大地推動和豐富了其他眾多學科的發展。近年來，許多學者關注幻方研究的問題，其研究成果[1-10]也相當豐富。關于幻方的構造已有很多種方法，本文在充分掌握了幻方定義之后，給出雙偶數階(4k階)始元幻方的一種構造方法。

1 預備知識

定義1[1]若矩陣A=(aij)n×n∈{1，2，…，n2}n×n滿足

①?i∈{1，2，…，n}有

②?j∈{1，2，…，n}有(1 1 … 1)1×n·

③Sr=Sc=(1 1 … 1)1×n·

④當i≠k或j≠l時，?i,j,k,l∈{1，2，…n)均有aij≠akl。

則矩陣A為n階始元和幻方，并稱S為n階始元和幻方A的幻和。

2 主要結論

定理設矩陣A=(aij)n×n∈Fn×n，

其中，集合P={0,1},Q={2,3}，則矩陣A是n(n=4k,k∈N*)階始元幻方。

證明令S={u|u≡a(mod4),a=0,1}，

T={v|v≡b(mod4),b=2,3}，

又由定理可知，當i∈S時，矩陣A的行和滿足

32k3+2k。

同樣地，當i∈T時，

32k3+2k。

即矩陣A的行和Sr=32k3+2k。

同理，矩陣A的列和Sc=32k3+2k。

又因為當i∈S時，4k+1-i∈S；當i∈T時，4k+1-i∈T。所以

aij+a4k+1-i,n+1-i=n(n-i)+(4k+1-i)+

n(n-(4k+1-i))+(n+1-(4k+1-i))=

n2+1=

16k2+1，

ai,4k+1-i+a4k+1-i,i=16k2+1。

所以矩陣A的主對角線和與副對角線和分別為

32k3+2k。

當i≠k或j≠l時，?i,j,k,l∈{1，2，…n}，

n(i-1)+j≠n(k-1)+l≠

n(n-i)+(n+1-j)≠n(n-k)+(n+1-l)，

即當i≠k或j≠l時，?i,j,k,l∈{1,2,…n}均有aij≠akl。

故矩陣A為n(n=4k,k∈N*)階和幻方，簡稱n階幻方。

又?i,j,∈{1，2，…n}均有1≤(i-1)×n+j≤n2，1≤(n-i)×n+(n+1-j)≤n2，所以矩陣A中的元素滿足1≤aij≤n2，即矩陣A的元素是{1，2，…,n2}的全排列。綜上所述，矩陣A為n(n=4k,k∈N*)階始元幻方。

根據上述定理我可以寫出4階始元幻方A和8階始元幻方B如下：

3 小結

本文在充分掌握了幻方的基本知識后，運用其元素的規律構造了4k階始元幻方。運用元素間基本規律構造2k+1階幻方以及4k+2階幻方的方法有待進一步研究。