注重挖掘“題根”，理解數(shù)學(xué)內(nèi)涵

何勇

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1672-1578（2019）21-0132-01

數(shù)學(xué)課本中的例題具有示范性、典型性和探究性，是課本的精髓.瀏覽近幾年全國各地的中考數(shù)學(xué)試卷，很多試題來源于課本，“題在書外，根在書內(nèi)”.因此，在平常學(xué)習(xí)過程中充分重視和挖掘課本中例題的潛在功能，適當(dāng)加以拓展延伸，可以達(dá)到事半功倍的效果.現(xiàn)以蘇教版九年級上冊課本上的一道例題為例，對它的一些變式進(jìn)行探究，來解決相似圖形變化中的一些重點(diǎn)問題.

1.原題呈現(xiàn)

原題（蘇科版教材九下第72 頁例2）

如圖，AF是△ABC的高，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且DE∥BC，DE交AF于點(diǎn)G，設(shè)DE=6，BC=10，GF=5，求點(diǎn)A到DE、BC的距離.

【思路點(diǎn)撥】由DE∥BC，較容易判斷出△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高之比等于相似比，AG、AF分別為△ADE與△ABC的高，可得AGAF=k=DEBC，易得AG=7.5，AF=12.5.

2.例題改編

變式1、有一塊三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知：BC=8cm，高AD=12cm，矩形EFGH的邊EF在BC邊上，G、H分別在AC、AB上，設(shè)HE的長為ycm、EF的長為xcm

（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）當(dāng)x取多少時(shí)，EFGH是正方形？

【思路點(diǎn)撥】 （1）先由BC=8cm，高AD=12cm，HE的長為ycm、EF的長為xcm，可知，AK=（12﹣y）cm，HG=EF=xcm，再根據(jù)HG∥BC可知，△AHG∽△ABC，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可知y=x，再代入（1）中所求的代數(shù)式即可得出結(jié)論.

簡解：（1）由HG∥BC，所以△AHG∽△ABC，所以=AKAD=HGBC，即12-y12=x8，即y=12﹣32x；

（2）由（1）可知，y與x的關(guān)系式為y=12﹣32x，因四邊形EFGH是正方形，所以HE=EF，則x=12﹣32x，解得x=245；即 x=245時(shí)，四邊形EFGH是正方形.

【說明】本題難點(diǎn)是將相似的性質(zhì)和一次函數(shù)相結(jié)合，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，找出相似三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題.

變式2、一塊三角形廢料如圖所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12.用這塊廢料剪出一個(gè)矩形CDEF，其中，點(diǎn)D、E、F分別在AC、AB、BC上.要使剪出的矩形CDEF面積最大，點(diǎn)E應(yīng)選在何處？

【思路點(diǎn)撥】首先在Rt△ABC中利用∠A=30°、AB=12，求得BC、AC的長，然后根據(jù)四邊形CDEF是矩形得到EF∥AC從而得到△BEF∽△BAC，設(shè)AE=x，則BE=12﹣x.利用相似三角形成比例表示出EF、DE，然后表示出有關(guān)x的二次函數(shù)，最后求二次函數(shù)的最值即可.

簡解：在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=12，所以BC=6，AC=63.由△BEF∽△BAC得：EFAC=BEBA.設(shè)AE=x，則BE=12﹣x.EF=32（12-x）.在Rt△ADE中，DE=12AE=12x.矩形CDEF的面積S=DE·EF=﹣34x2+33 x（0

【說明】本題難點(diǎn)在于利用相似三角形的性質(zhì)得到矩形CDEF面積表達(dá)式，解題的關(guān)鍵是從幾何問題中整理出二次函數(shù)模型，并利用二次函數(shù)的知識求最值，從而確定點(diǎn)E的位置。

3.改編思考

3.1 注重挖掘“題根”，加強(qiáng)同類題目之間的關(guān)聯(lián)。

試題設(shè)計(jì)，通常先有一個(gè)“題根”，“題根”可來源于典型試題，也可來源于教材，從形式上看，“題根”本身也是一個(gè)數(shù)學(xué)題目.既然考題是由“題根”演變而來，那么解答時(shí)的關(guān)鍵就是要能找到“題根”，并且找出它們之間的關(guān)聯(lián).鄭毓信教授曾說過：“數(shù)學(xué)知識教學(xué)時(shí)，不是求全，重要的是求聯(lián)”，這里的“聯(lián)”就是關(guān)聯(lián)、聯(lián)系之意.不少中考試題來源于教材，根植于教材，但又高于教材.因此我們在日常教學(xué)過程中要重視研究教材，善于發(fā)現(xiàn)“題根”，挖掘和研究“題根”，緊扣問題實(shí)質(zhì)，通過題組和變式教學(xué)加強(qiáng)知識和題目之間的聯(lián)系，做到融會貫通，以達(dá)到事半功倍的學(xué)習(xí)效果。

3.2 關(guān)注“數(shù)學(xué)本質(zhì)”，注重學(xué)生思維能力的考查。

“數(shù)學(xué)本質(zhì)”是數(shù)學(xué)的核心，題目所包含的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)方法等都屬于“數(shù)學(xué)本質(zhì)”的范疇.命題應(yīng)立足數(shù)學(xué)本質(zhì)，本文以圖形變化之圖形相似為視角，向同學(xué)們傳遞一個(gè)信息：很多中考題源于課本，它們是由課本的例題、習(xí)題進(jìn)行變式、遷移、整合、擴(kuò)展而成.所以，同學(xué)們在平時(shí)學(xué)習(xí)的過程中認(rèn)真研究課本典型例題，對其進(jìn)行挖掘引申，有助于我們總結(jié)一類題的解題經(jīng)驗(yàn)、規(guī)律及思想方法，揭示數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，開拓思路，促成思維的廣闊性、深刻性、靈活性。