化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)方程中的運(yùn)用

黃美玲 韋宏

【摘要】以中學(xué)數(shù)學(xué)中的方程問題為例，論證化歸思想在解決方程問題中的普遍適用性，以此強(qiáng)調(diào)中學(xué)數(shù)學(xué)教師在方程教學(xué)過程中，向?qū)W生滲透化歸思想的重要性。

【關(guān)鍵詞】化歸思想 中學(xué)數(shù)學(xué) 方程

【基金項(xiàng)目】本文系廣西職業(yè)教育教學(xué)改革研究立項(xiàng)項(xiàng)目“中職教師品牌培訓(xùn)項(xiàng)目設(shè)計(jì)、開發(fā)與實(shí)施研究”（課題編號(hào)：GXZZ JG2016A138）的階段性成果。

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）25-0134-02

“化歸”，即轉(zhuǎn)化和歸結(jié)之意。“化”就是對(duì)原問題的轉(zhuǎn)化而并沒有改變?cè)瓎栴}的本質(zhì)。“歸”就是把原問題歸結(jié)到自己會(huì)解決的問題。化歸即把有待解決的問題，歸結(jié)到已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，使其變得更容易解決的方法。化歸思想的基本流程如圖1，若將化歸過程擴(kuò)展為一般模式即圖2：

圖1 化歸模式1 圖2 化歸模式2

實(shí)現(xiàn)化歸的關(guān)鍵是利用化歸方法去轉(zhuǎn)化問題。常見的化歸方法主要有代換法和消元法等。無論采用哪種方法，即原理都是把未解決的問題，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題，使其更加容易解決。

數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為，數(shù)學(xué)解題的過程即是問題轉(zhuǎn)化的過程。從他的“怎樣解題”表中可以看出，很多重要的數(shù)學(xué)思想都蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)解題的過程中，這些數(shù)學(xué)思想既來源于數(shù)學(xué)知識(shí)，揭示了數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，卻又高于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)。在中學(xué)數(shù)學(xué)方程解答過程中，有的教師對(duì)化歸思想理解不清、方法不當(dāng)。出現(xiàn)了教師側(cè)重于方程知識(shí)與解題技能的講解，就題解題，解題方法多，共性提煉少的現(xiàn)象，導(dǎo)致學(xué)生“只見樹木，不見森林”，教學(xué)效果不佳。因此，為了合理有效地將化歸思想挖掘和滲透到方程教學(xué)中，筆者先整體厘清中學(xué)數(shù)學(xué)方程的主要知識(shí)結(jié)構(gòu)，再詳細(xì)舉例說明化歸思想在方程解題內(nèi)容上的運(yùn)用。

一、分式方程整式化

初一學(xué)生面對(duì)剛接觸到的分式方程，該如何將分式方程規(guī)范化為小學(xué)階段已學(xué)過的簡(jiǎn)易方程形式呢？這就需要教師善于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩者的區(qū)別與聯(lián)系：只要適當(dāng)變形去分母，轉(zhuǎn)化為熟悉的整式方程，求解驗(yàn)根即可。

例1：（2015福建，中考）解方程：1+ =

運(yùn)用化歸方法表示為S：?jiǎn)栴}：解分式方程，通過兩邊同時(shí)乘以（x-2），即化歸為已解決的問題S？鄢：解一元一次方程（x-2）+3x=6。

二、無理方程有理化

無理數(shù)納入到實(shí)數(shù)的定義之后，它也具備有理數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。教師引導(dǎo)學(xué)生把無理方程變?yōu)橛欣矸匠蹋浅醵W(xué)段較常用的教學(xué)方法。

例2：解方程：3- =x

運(yùn)用化歸方法表示為：?jiǎn)栴}S：解無理方程，通過移項(xiàng)、乘方去根號(hào)，即化歸為已解決的問題S？鄢：解一元二次方程x2-8x+12=0即可。

三、函數(shù)零點(diǎn)與方程

有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)、存在性或所在區(qū)間等問題，常需將其轉(zhuǎn)化為方程的求根問題。如果其中涉及到參數(shù)，為了達(dá)到化歸的目標(biāo)，需要先分離參數(shù)，使原問題S轉(zhuǎn)化為沒有參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)問題S1。

例3：（2017課標(biāo)全國Ⅲ）已知函數(shù)f（x）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1）有唯一零點(diǎn)，則a=（ ）。

解答分析：這道題屬于已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)問題。當(dāng)函數(shù)的因變量y取0時(shí)，函數(shù)便通過等號(hào)與方程建立對(duì)應(yīng)的聯(lián)系。于是，本題的函數(shù)f（x）有唯一零點(diǎn)，即對(duì)應(yīng)方程x2-2x+a（ex-1+e-x+1）=0有唯一解。因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)值恒大于0，所以，轉(zhuǎn)化為分離參數(shù)a，得到問題S1：a= 。為了結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)潔化，令t=x-1，得到關(guān)于t的函數(shù)：h（t）= 。易知，h（t）為偶函數(shù)。則關(guān)于x的方程x2-2x+a（ex-1+e-x+1）=0有解，就再次轉(zhuǎn)化為函數(shù)h（t）與直線y=a有唯一的交點(diǎn)（橫坐標(biāo)為0），解出X2，還原為解答X1，再還原為原問題的解答X：a= 。

四、不等式組化方程

由于不等式（組）的解法與方程類似，因而在解決線性規(guī)劃的有關(guān)問題時(shí)，往往轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)即可。

例4：（2015課標(biāo)全國Ⅰ）若x，y滿足約束條件x-1≥0，x-y≤0，x+y-4≤0， 則 的最大值為____。

解答分析：類比二元一次方程Ax+By+C=0表示該直線上的點(diǎn)的集合，對(duì)應(yīng)的二元一次不等式Ax+By+C≥0（≤0）則表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域。由約束條件畫出可行域（圖略）發(fā)現(xiàn)，很難在可行域內(nèi)找出一個(gè)y和一個(gè)x，使代數(shù)式 取最大值。這時(shí)，在化歸思想指導(dǎo)下，應(yīng)該轉(zhuǎn)化為整體理解 的幾何意義，即可行域內(nèi)的某一點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)O連線的斜率。再轉(zhuǎn)化為聯(lián)立方程求出該點(diǎn)的坐標(biāo)。還原解答X1，再還原解答X即可。

五、圓錐曲線代數(shù)法

圓錐曲線這類幾何問題，可以直接利用圖像性質(zhì)和幾何特征來解決。若解題的條件或結(jié)論的幾何特征不明顯時(shí)，教師通常需將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，例如建立不等式、函數(shù)或方程模型等。

例5：（2016全國Ⅱ）已知橢圓E： + =1的焦點(diǎn)在x軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k（k>0）的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA。當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí)，求k的取值范圍。

解答分析：由于直線AM與AN有一定的數(shù)量關(guān)系，且它們的幾何特征不明顯，在化歸思想下，可轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決。由題意t>3，k>0，A（- ，0），將直線AM的方程代入橢圓方程，一次轉(zhuǎn)化得關(guān)于x的一元二次方程：（3+tk2）x2+2 ·tk2x+t2k2-3t=0，根據(jù)韋達(dá)定理求出|AM|和|AN|的值。由 2|AM|=|AN|，得 = 分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，即（k3-2）t=3k（2k-1）。當(dāng)k= 時(shí)上式不成立，因此分離參數(shù)t，三次轉(zhuǎn)化為t關(guān)于k的函數(shù)，又因?yàn)閠>3，解出不等式 -3>0還原解答即可。

六、參數(shù)方程消參法

利用消參方法轉(zhuǎn)化時(shí)，應(yīng)將變量取值范圍保持一致。

例6：（2018課標(biāo)全國Ⅱ）在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為x=2cosθy=4sinθ（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為x=1+tcosαy=2+tsinα （t為參數(shù)）。

（1）求C和l的直角坐標(biāo)方程。

（2）若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），求l的斜率。

解答分析：化歸思想在這兩題的運(yùn)用過程分別為：（1）求普通方程，通過三角函法消參，則轉(zhuǎn)化為已解決的問題S？鄢：cos2θ+sin2θ=1，解出X？鄢，檢驗(yàn)還原即為原問題的解X。同理，可得直線l的直角坐標(biāo)方程。（2）由題意，將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)系方程，此時(shí)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程（1+3cos2α）t2+4（2cosα+sinα）t-8=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可求解，解出X？鄢：t1+t2= =0，進(jìn)行檢驗(yàn)還原，可得原問題的解為：k=tanα=-2。

在解決中學(xué)方程問題的過程中，我們發(fā)現(xiàn)，由于一元二次方程ax2+bx+c=0被我們視為已解決的或容易解決的問題S？鄢，因此與一元二次方程橫向關(guān)聯(lián)的分式方程、無理方程、圓錐曲線方程和參數(shù)方程和與其縱向聯(lián)系的函數(shù)、不等式（組）都可以化歸到一元二次方程的有關(guān)問題去求解。可見，化歸思想在中學(xué)方程解題上的普遍實(shí)用性。

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