主動控制系統的動力學與控制

賈會芳

（鄭州工業應用技術學院 基礎教學部，河南 鄭州451100）

主動控制系統作動器的作動時滯由兩部分組成.第一部分為固定時滯，由在主動控制系統中的在線數據采集、濾波、數據的操作、計算機把信號傳輸給作動器而產生的；第二部分為浮動時滯，即控制力的累積時滯，由實時控制力達到近似穩態控制力產生的，通常依賴于作動器的特定動力學［1］.對時滯微分方程的研究雖有諧波平衡法、中心流形約化、規范型和多尺度法，但都具有一定的局限性，Wahi P和Chatterjee A提出了常數時滯微分方程的Galerkin投影法［2］，Nandakumar K和Wiercigroch M在此基礎上進一步深化了這種方法，使Galerkin投影法同樣適用于狀態依賴時滯微分方程學［3］.用這種方法對狀態依賴時滯微分方程的研究具有以下優點：既不需要在分岔點附近，也不需要時滯項有限制形式，甚至不要求時滯量、非線性項或迫動項是小的.因此筆者應用Galerkin投影法對帶有狀態依賴作動時滯的主動控制系統動力學與控制進行了研究.

1 近似作動時滯的推導

液壓作動器在執行過程中把液體的壓力能轉變為機械能，從而控制負載的方向、速度、位移和力.由于這種設備具有高負載容納性和精確性，因此以一種負載設備廣泛應用于試驗結構動力學和結構控制動力學領域［4］.改進的液壓作動器控制系統由式（1）常微分方程組確定：其中參數xv是滑閥位移，xm是作動器活塞位移，kv是閥增益，τv是閥時間常數，PL是壓力差，K′q是閥流量增益，K′c是閥流壓增益，Ap是活塞面積，C1是活塞與缸之間流體總泄漏系數，Vt是在液壓缸的流體總體積，βe是體積彈性模量，xc是命令位移，Kp是比例增益，mt、ct、kt是活塞和試驗樣本的質量、阻尼、剛度.

主動控制系統是用來控制結構內部或外部激勵的響應［5］，改進的主動控制系統的數學化模型由以下方程進行描述：

其中 f（t）是外激勵，并且 f（t）=βx3（t-τ（t）），x（t）是主動控制系統閥的位移，m 是質量，c、k 分別是阻尼、剛度，τ（t）是作動時滯［6］.

此時，求得式（3）在零平衡點處的特征方程為：

取一組參數 Kp=3,τv=4.32*10-3,K′q=38.970i,K′c=2.53*10-6,Ap=0.86,C1=10-6,Vt=32.33,βe=95 387,mt=0.06,ct=17.45,kt=200.32［4］，并把參數代入式（4），根據 Routh-Hurwitz 判據［7］，可得平凡平衡點漸近穩定時 kv的取值范圍，在本文中k 取2.為了求得狀態依賴作動時滯，令：

解此不等式，可得時間t的最小值tmin，當t＞tmin時，不等式成立，并把tmin作為浮動時滯τd.為了便于分析和計算，該不等式等價于，此時，解此不等式，可得時間 t的最大值 tmax，當 t＜tmax時，不等式成立，并把 tmax作為浮動時滯 τd.又 Y1（t）的振幅為其中，

解得：t＜-0.107 486*log（8.426 49*1026），其中 W1=5.398 52*1054-7.567 29*1053d0+1.879 29*.

顯然，狀態依賴時滯τ與初始狀態滑閥位移d0之間有密切的關系，因此時滯τ是狀態依賴時滯.

2 主動控制系統的動力學與控制

對式（2）應用 Galerkin 投影法［8］，取級數 N=1，令 a0′（t）=s1（t），可得式（2）的低維近似系統：

對正負平衡點情況分析，固定時滯與命令位移沒有合適的取值關系，無實際意義，故僅對平凡平衡點進行穩定性分析和分岔分析.

求得式（6）在平衡點E0的特征方程為：

取參數k=3.6,u=1,ε=0.01,m=9,c=-0.02,xc=10,代入（7），根據Routh-Hurwitz判據，可得平凡平衡點漸近穩定的充要條件是：

解式（8）得：

@Jamie：我女兒三歲半的時候，我小姨抱著她坐車，指著車窗外告訴她：“看，面包車。”后來過了幾天，她在馬路上指著一輛車堅定地告訴我小姨：“饅頭車！”

（1）驗證Hopf分岔的必要條件

假設 λ=±i（ω＞0）是特征方程（7）的一對純虛根，代入式（8），則 ω 滿足：

對（10）進行實虛部分離：

（2）驗證Hopf分岔的充分條件.

而 τf≤0 沒有實際意義，因此這種情況不予考慮.

由上述計算過程可得定理1：

3 數值模擬

筆者將驗證系統（2）的平凡平衡點的超臨界Hopf分岔.圖1中x是主動控制系統的位移，y是主動控制系統的相對速度，t是主動控制系統的作動時間.此時取一組參數k=3.6,u=1,ε=0.01,m=9,c=-0.02,xc=10,零平衡點=（0）.而對應的超臨界 Hopf分岔值為=4.482 26,但是 Galerkin 投影法具有一定的誤差，因為N的取值會影響實際結果，因此實際的固定時滯的臨界值相對與理論值來說，會發生左右偏移，實際的臨界值為=4.006 271,模擬結果見圖 1.

圖1 式（2）的平衡點的超臨界Hopf分岔圖

4 結語

通過理論結果與數值模擬結果的比對，發現Galerkin投影法對具有狀態依賴時滯系統的研究非常有效，根據分岔分析，在主動控制系統中的作動時滯不能被忽視，它對主動控制系統的動力學和性能有很大的影響.