在專題復習教學中發展學生運算能力

洪妍妍

運算能力是數學基本能力發展的一項重要指標，主要是指能夠根據運算法則和運算律正確地進行運算的能力.教學中發展學生的運算能力要讓學生實現從“認知階段”到“聯系階段”再到“自動化階段”的進階.培養學生的運算能力應該關注對學生運算思路和運算方法的點撥，側重從以下4個環節進行引導：分析運算條件、尋找運算算理、選擇運算方向、優化運算方法.現以“配方法”復習教學為例，談談如何發展學生的運算能力.

1 教學案例再現

配方法的復習教學是發展學生運算能力的一個很好的契機，依據如下：

第一，配方是對完全平方公式的逆用變形，有助于培養學生的逆向思維。根據公式特征可以巧妙解決運算問題，它是提高學生運算能力的重要過程，對學生的符號意識的形成具有重要作用;

第二，利用配方解決特殊結構式子，對其它公式（如平方差公式）解決特殊結構式子具有示范作用.對特殊結構式子的觀察，是提高學生運算技能的必經之路，對學生發現數式特征，解決規律問題提供一定的研究思路;

第三，配方是一種實現降次的重要變形轉化，是解決高次多項式的有關問題的重要轉化方法，是初中數學中許多重要內容的基礎（如一元二次方程的解法、一元二次函數求最值等），具有示范和引領作用.

1.1 基礎訓練，回顧算理

練習1 因式分解：

（l） a2-4a+4=____;

（2）-3x2+6Xy-3y2=____.

練習2 用配方法解一元二次方程：

（l）X2-8x+l=0;（2） 3x2-6x-4=0.

練習3利用配方法，將下列二次函數寫成y=a（x-h）2+k的形式，并求出最值：

（l）y=X2-2x-4=一____，最____值是 ______;

（2）y最____值是________.

筆者通過一組練習題喚起學生對配方法涉及的相關知識進行回憶.通過3組基本題型對知識進行簡單梳理，幫助學生回顧、理解配方法的算理，形成程序化解題步驟，掌握配方法的基本技能，為能力的發展打好基礎.

通過3組基本題型的訓練，學生經歷運算技能形成的第一階段：認知階段，即學會怎么算.

1.2 題型歸納，挖掘本質

1.2.1降次

例1 已知（x+1）2+2（x+1）+1=o，求x的值.

問題 （1）解一元二次方程有幾種方法？

（2）你選擇什么哪一種解法？說明理由.

筆者采用問題串方式，引導學生回顧并分析一元二次方程求解問題的方法選擇.觀察式子結構發現方程左邊可以配成完全平方式，優先選擇配方法解方程（探究運算方向），從而確定運算方向.方法的選擇，促進學生理解配方法而不僅僅是應用配方法，提高運算的筒捷性.多思而不是多算，從技能到技巧發展，提高學生的運算技巧.

變式 己知t4—2t2+1=o，求f的值.

問題（l）請說出自己的解題思路.

（2）為什么可以這么做，你是怎么想到這種方

法的？

筆者通過兩個問題的引導，兩種方法的對比，引導學生分析運算條件，緊扣運算目標，探究運算方向，提高運算的有效性，培養學生學會有向有序地觀察、分析式子的結構特征，感知條件之間的邏輯關系，巧用配方降次，實現底數的運算與冪的運算之間的靈活轉化，從運算的操作過渡到思維層面的思考，逐步發展學生的運算能力.

問題反思什么情況下，需要用配方法進行降次？

歸納總結①解具有t2±2at+ a2=m（m≥o）結構特征的方程;②解高次（次數高于二次）方程;③二次式運算較為復雜的情況（與底數的運算進行靈活轉換）.

1.2.2應用平方的非負性

例3 求y=2x2-4x-7的最大值或最小值.

例3 考查最值問題，問題指向明確，筆者通過本題，讓學生直接感知配方法在解決最值問題的直觀應用，歸納總結配方后應用平方的非負性解決最值問題的一般步驟，從而逐步將運算方法內化.

例4若x，y為任意實數，比較6xy與X2+9y2的大小.

問題 （l）如何比較這兩個二次式的大小？說說自己的思路.

例4 的設問沒有直接指向配方法，但作差法是解決比較大小的常用方法，通過對問題的深入分析，學生不難想到解決方法.問題轉化為判斷二次三項式的正負問題，思考應用平方的非負性進行求解，故對式子進行配方處理.在引導學生闡述思路的過程中，促進學生深入理解配方法在實際情境中的應用，加深學生對配方本質的理解，進一步強化算理，逐步培養學生的運算推理能力.

例5 試判斷關于x的方程X2+2ax+2a2-a+5=o的根的情況.

判斷方程根的情況實質是判斷判別式的正負問題，即判斷二次式△=-4a2+4a-20的正負問題（判斷二次三項式的正負問題）.筆者通過對本題的引導，引導學生對挖掘設問中隱含問題，自主想到配方法并主動使用，實現運算能力自動化的逐步過渡.

例6若a，b，c是△ABC的三邊，且a2+b2+C2+50= 6a+8b+lOc，判斷三角形的形狀.

問題（1）分享一下你的做法？

（2）你為什么要這樣做？

筆者有意設計兩個問題，引導學生在解題后反思解題思路.學生無法直接得到此多元二次方程中未知元的值，卻能通過它們的關系間接求值.從觀察結構到應用配方法對方程進行整合，最后完成求解的整個過程是學生運算能力的一個進階過程.從一組配方到多組配方遞進，前后類比，從而促進學生運算思維能力再一次飛躍.

問題反思什么情況下，可能需要應用平方的非負性？

歸納總結①解多元二次方程;②問題涉及二次式（二次函數）求最值、討論正負.

不同梯度、不同類型、不同背景的練習從易到難，學生經歷運算技能的第二階段：聯系階段，即將操作技能進行合成，形成步驟，并將步驟程序化.

1.3 歸納總結，提升方法

問題（1）在什么問題情境中可能用配方法？

（2）配方法在解決問題中通常有什么作用？

（3）配方過程要注意哪些技巧？

歸納（1）①解二次方程或高次方程;②二次式（二次函數）討論取值范圍（求最值問題、討論正負問題）;③含有二次式的代數式比較大小.

（2）配方法的主要作用：①實現降次，化未知為已知;②配方后，利用完全平方式的非負性，挖掘代數式中隱含條件;③改變代數式的結構，實現式子變形;④巧用數據，化繁為筒，簡便運算，事半功倍.

（3）配方過程的技巧：①靈活處理二次項系數，簡化配方過程;②恰當“配湊”，善于添項、拆項是靈活配方的基礎.

從“什么時候用”、“有什么用”、“怎么有效用”三方面進行反思總結，學生經歷運算技能的第三階段：自動化階段，即逐步實現技能的精致與協調，形成“技能組塊”，操作起來熟練且步驟簡縮.

2 教學反思

2.1 重視雙基，鞏固運算技能

單一技能的掌握是技能疊加的“地基”，對算理的正確理解與應用是發展能力的前提.教學中，對每個運算模塊中的基本題型的梳理與訓練是必不可少的，在進行基礎知識、基本技能的訓練過程中，教師要做到題目精選、精練，心中主軸清晰，一切以學生內化算理為重，幫助學生形成程序化的運算過程，做到心中有“章法”，解題有“程序”，從而達到鞏固運算技能的功效.

2.2 關注聯系，發展運算技能

在學生充分理解并能準確應用算理的基礎上，錯綜復雜的題目經常使學生感到迷惑.教學中，關注聯系能有效幫助學生挖掘知識的本質.教師在啟發學生歸納的過程中，要關注多重聯系、多向聯系，包括算理的作用、試用范圍，試題中可能出現的背景、設問等.為了讓學生能有直觀的感受，教師可以選擇以題帶動知識的歸納，幫助學生將零散的知識進行聯系，從繁雜的題目中抽離出來，抓住知識的本質，做到有序、有向地思考問題.從“怎么用”到“什么時候用”過渡，從而發展學生的運算技能.

2.3 善于反思，精致運算技能

每一次的反思，都是一個知識升華的過程.引導學生不斷反思、總結，是學生從技能向能力發展的一個關鍵環節.學生的反思往往是豐富而又充滿創造力的，教師的補充也是必不可少的，集師生的共同智慧，學生對算理的理解能達到一個更為深刻的層次，從“會算”最終邁向“精算”，精致運算技能.

3 結束語

教學路漫漫，運算能力作為一項基本能力，與學生的整個數學學習生涯緊密結合.筆者力求通過這樣一節復習課，讓學生的運算能力可以得到發展，同時，也能以此為例，讓學生能在對其他運算模塊的學習與復習中，能有所借鑒.