例談數列中函數思想的應用

朱水英

數列一直以來都是高考的重點內容.數列這一塊內容的教學對于教師來說是比較有體系的，一道例題適當改動就可以派生很多小題，什么題型對應什么方法都是很有規律可循的，雖然教師講得起勁，但是學生掌握得并不怎么好，因為學生在接受新知識新內容時會存在一定的困難，題型方法越多越容易混淆.所以作為教師在教學過程中不僅要交給學生解題的通法，而且最好能在學生已有的認知領域內挖掘數列這一塊內容與其它章節的關系，往往能有意想不到的效果.

數列作為一種特殊的函數，其包含的函數思想是中學階段重要的數學思想方法之一，很多數列問題都蘊含著函數的本質及意義，具有函數的一些固有特征.因此我們在解決數列問題時，應充分利用所學的函數知識，以它的圖象和性質為紐帶，有效解答數列問題，本文就從數列的單調性、最值、周期性等入手揭示函數與數列間的內在聯系，有效化解數列問題.遵循高中學生的認知規律，并依此為教學出發點，有助于激發學生的認知興趣，提高學生數學解題能力.

先看一個問題“已知數列{an}的通項an=n2-5n+4，（l）求a6;（2）數列中有多少負數項;（3）當n為何值時，an有最小值.”這是數列中的一個基礎題，對于很多學生來說都會做，但是仔細推敲就會發現此題包含了很多的函數知識.其實數列的通項就是一個函數解析式，第一小題求an就是求自變量為6時的函數值;第二小題有多少負數項就是己知函數值為負數求自變量值;第三小題就是函數的最值問題，只不過數列這種函數的特殊之處在于其是以N+或其有限子集作為定義域的一類特殊函數.既然數列是一種特殊的函數，那它就會具有函數的一些固有特征，利用函數的單調性、周期性、數形結合等函數思想在解數列問題中就起到了舉足輕重的作用.而函數這塊內容在高一上學期學習，數列在高一下學期學習，從認知體系上更有利于學生的學習和教師的教授.

1 數列的單調性

案例1 已知數列{an}的通項an=n2+kn，且對任意正整數n，an+1>a恒成立，求實數k的取值范圍.

分析 方法1對任意正整數，z，an+1>an恒成立，即數列{an}為遞增數列.若構造二次函數f（x）=X2

+kx，則函數f（x）在定義域{x|x>l，z∈N+}上為遞增

方法2 對任意正整數，z，an+1>an恒成立，即an+1-an>0對于一切，z∈N+恒成立，即（n+1）2+k（n+1）一n2-kn=2n+l+k>0對一切，z∈N+恒成立，設f（n）=2n+l+k，則只需f（n）的最小值大于o即可，顯然f（n）有最小值f（1）=3+k，所以3+k>0的取值范圍是k>一3.

小結 案例1的第一種解法就是從學生已有的認知領域內入手，將問題轉化為“若函數f（x）=X2+kx為遞增函數，求實數k的取值范圍”，將數列的單調性轉化為二次函數的單調性，但學生在解答時容易出錯的地方就是認為函數的單調增區間為[1，+co），函數f（x）為定義域{xlx>l，x∈N+}，其圖象是一個個孤立點，這也是數列作為函數的特殊之處.第二種方法是研究數列單調性的一種非常基本的方法，通過作差an+1-a轉化為恒成立問題，最后用數列實際上還是用函數的最值問題來解決.

2 數列的最值

{an}的最大項和最小項.

分析 求數列的最值常用的方法是研究數列{an}的單調性.

方法1

所以最小項在a4和a5中找，

最大項在a1和a10中找.

小結 數列的最值問題是數列中的常見題型，在學生已有的認知角度來看它就是求函數的最值，而函數的最值一般是從函數單調性入手，所以自然而然就想到通過構造函數的方法來考慮單調性，即方法1的思路，充分體現了特殊函數在數列中的應用，但是學生構造了對勾函數后最想用基本不等式求最值，究其原因就是忽略了函數的定義域，沒有考慮等號是否取得到.而方法2是研究數列單調性的常見思路，類比于作差比較（an+1-an與0），還有作商求此數列的最大項和最小項.

分析 此題型與案例2類似，上述的三種方法在此題中都能用，但方法2與方法3運算量較大，運的圖象，很快就知道此數列的最大項為a10和最小項為a9.筆者用了此法講解完本題后學生都很激動，都覺得這個方法好多了，深刻體會到數列作為一種特殊函數，其函數思想的有效應用大大簡化了計算量，降低了題目的難度.

以函數圖象為工具，直觀簡化數列問題，觀察圖象得出最值，使學生發現解題的捷徑，體會數列的特殊性，提供更大的創新空間.函數圖像是函數特征的直觀體現，利用圖象解決數學問題（以形助數）是我們在解決問題中經常采用的手段.在數列中，我們可以利用等差數列通項公式、前n項和公式

及等比數列的通項公式中展示的圖象關系來解決問題，常常會起到意想不到的效果.

3 函數圖象在數列中的應用

案例3 等差數列{an}中，a1>o，前n項和為sn，且S9>0，S10<0，則n為何值時，sn最大？

分析 方法1本題的一般解法是利用等差數列為正，第6項開始為負，故當n=5時，sn最大.

方法2此構造函數的圖象是過原點的拋物線.由題意可知該數列公差小于0，所以開口向下，由S9>0，S10<0得拋物線與x軸的另一交點橫坐標在（9，10）內，以當n=5時，sn最大.

小結 由此可見利用函數圖象，解法直觀，一目了然.為學生配套一個練習：等差數列{an}中，a1=25，前n項和為sn，若S9=S17，n為何值時sn最大？相信學生很快就會學以致用，充分體會到數列中函數思想的重要性.因為結合己學的基本初等函數的知識，發現等差、等比數列的通項公式及求前n項和公式的形式與一次函數、二次函數、指數函數存在一定的聯系，所以學生運用這些函數的圖象就能直觀有效地解決某些數列問題.以學生現有的認知水平為依據，不斷補充和完善學生的認知結構，才能有效提高學生的數學能力.

4 數列的周期性

案例4 已知數列{an}中，a1=l，a2=5，an+2=an+l-an（n∈N+），則a2008=____.

分析 此類題型一般以選擇或填空形式出現，一般采取的方法是先求出數列的通項公式，再求出要求的項.但是此題求通項公式對于很多學生都有難度，轉而利用數列周期性，并采用例舉一歸納一猜想的方法.由a1=1，a2=5，依次得出a3=4，a4=一1，a5=-5，a6=-4，a7=1，a8=5，…，所以數列{an}是以6為最小正周期的循環數列，a2008=a334×6+4=a4=-1.周期為6的完整推導過程：由an+2=an+1-a1得an+3=an+2-an+1=（an+1-an）-an+1=-an，利用函數周期性公式f（x+T）=一f（x），則函數f（x）的周期為2T，從而數列{an}的周期6.

小結 對于學生來說做對這個填空題不是問題，因為憑借學生已有的認知能力要做這題首先應該知道周期.當然周期6的由來可能基本是根據例舉一歸納—猜想的方法得到，而講清其推導過程筆者覺得還是很有必要的，使學生能深刻體會到每個結果的由來都是有根據的，有助于培養學生解題的嚴密性.

5 數列與不等式的綜合應用

從2015年浙江高考數學參考試卷看，無論文科還是理科都是在求數列通項及數列求和的常規問題基礎上，考察了數列與不等式的綜合應用，主要包括解不等式、證明不等式、不等式恒成立問題.解決數列不等式的恒成立問題時函數思想應用是非常突出的，

案例5 已知數列{an}的通項公式an=2n，若bn=an.log2an，且sn是{bn}的前n項和，對任意正整數n，（n+m）.an+1

解 由an=2n得bn=n.2n，

可由錯位相減法（過程略）得：

sn=（n-l）·2n+1+2，

不等式（n+m）·an+1

（n+m）·2n+1<（n-1）-2n+l+2，

即m.2n+1<2—2n+l，

當n→+∞時f（n）→一1，

所以f（n）>一1，所以m≤一1.

小結 在學生已有的認知結構中，解決恒成立問題最常見的思路就是分離變量法，所以數列恒成立問題一般解題思路與步驟如下：

（l）分離變量，往往將問題轉化為a≥f（n）恒

（2）研究f（n）的單調性.

（3）根據f（n）的單調性求出最值，得到參數范圍.

其中研究數列單調性的常見思路前文已有介紹，但是能利用對應函數單調性來考慮數列的單調性的方法更為簡潔，充分體現了函數思想在解數列問題中起到了舉足輕重的作用.作為一名高中數學教師不僅要教會學生如何解題，更要教會學生解題的思想方法，這樣才能讓學生舉一反三，提高學習的效率.

當然數列作為一種特殊函數是有其特殊之處的，一是其是以N+或其有限子集作為定義域的一類特殊函數，學生經常容易忽略，從而出現會做但答案不正確的現象;二是如案例5中出現的極限的知識，當n→+oo時，f（n）-→1，學生聽了有似懂非懂的感覺，對于這個一1到底能否取到不確定，從而答案不夠完整.在函數、數列的教學過程中，極限的思想或多或少都有出現，對于極限這塊內容怎么處理，老師們也有不同的看法，有些老師認為既然高中數學已經刪掉這塊內容就不要提出這個概念了.但筆者認為高中數學教師應從學生終身發展需要（尤其是大學教育的需要）的角度出發，以高觀點的視角去審視初等數學，才能全方位把握高中數學內容.就如本文用函數思想解決數列問題，就是讓學生體會函數思想是高中數學的基本思想，數學內容是相互串聯的，它們是自成一體的，學生學習數學的過程就是一個不斷發展和完善數學認知結構的過程.

參考文獻

[1]李寬珍，注重解題反思，提高思維能力[J].中學數學研究， 2014（8）：9-10

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