一類圓錐曲線試題的解法探究

在高三復(fù)習(xí)課中，筆者充分利用幾道圓錐曲線試題進(jìn)行求解方法的探索，學(xué)生收獲大，感觸頗多，達(dá)到了很好的復(fù)習(xí)效果.

1 試題呈現(xiàn)

設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線，過(guò)F且與C交于A，B兩點(diǎn).若|AF|=3|BF|，則|的方程為_______________.

2 解法探究

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力、分析問題與解決問題的能力.

解法1 利用拋物線定義及平幾知識(shí)

不妨先設(shè)直線，的斜率k>0，且點(diǎn)A在x軸上方，點(diǎn)B在x軸下方.過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線，相交于點(diǎn)C.

令|BF|=m，則|AF|=3m，|AB|= 4m.

由定義可知|BC|=2m.

解法2 利用焦點(diǎn)弦公式及結(jié)論

說(shuō)明利用二級(jí)結(jié)論有助于快速解題，本題還可弦AB的傾斜角）求解.

解法3 利用韋達(dá)定理

不妨先設(shè)直線，的方程為y=k（x-1）（k>o），且點(diǎn)A（xl，y1）在x軸上方，點(diǎn)B（x1，y2）在x軸下方.

解法4 利用點(diǎn)差法

不妨先設(shè)點(diǎn)A（x1，y1）在x軸上方，

點(diǎn)B（x2，y2）在x軸下方.

由|AF|=3|BF|，

有yl=-3y2，x1+3x2=4.

又y2=4x1（1），y22=4x2（2），

（1）-32×（2）得yl2-（3y2）2=4x1-36x2.

把y1=-3y2代入得Xl=9x2·

又x1+3x2=4，解得x1=3，

評(píng)述 解法l利用定義、平幾知識(shí)與數(shù)形結(jié)合求解，運(yùn)用定義是解圓錐曲線問題的重要途徑;解法2利用焦點(diǎn)弦公式及二級(jí)結(jié)論，可快速求出答案;解法3采用聯(lián)立方程組，通過(guò)韋達(dá)定理消元，也能求出直線的斜率，這是處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系的通性通法;解法4利用點(diǎn)差法巧妙轉(zhuǎn)化求出其中一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求出斜率.從解題本質(zhì)來(lái)看，它們各有特色.

3 變式題組

在課堂上，完成了例題的分析、講解與剖析之后，給出了變式l與變式2作為課堂練習(xí)，變式3作為課后作業(yè)完成，意圖是通過(guò)拋物線過(guò)渡到橢圓，再到雙曲線，一次次地體驗(yàn)與感悟，使變式探究異常精彩，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，培養(yǎng)他們的分析問題、解決問題以及探究能力.

變式1 已知直線y=k（x+2）（k>o）與拋物線C：y2=8x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|=2|FB|，則k=____.

分析從題干知直線AB沒有經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，由定義只能得到點(diǎn)B為線段AP的中點(diǎn)（點(diǎn)P為直線AB與x軸的交點(diǎn)），無(wú)法仿照例題的解法l和解法2，因此只能采用解法3和解法4類似求解.

變式2

解法1 利用橢圓的距離定義與余弦定理

橢圓的左焦點(diǎn)為F，連接AF和BF.

令|FB|=m，則|AF|=3m.

由距離定義知|AF'|=2a-3m，

|BF'|=2a-m.

設(shè)直線AB的傾斜角為θ，

則∠F'FA=θ，∠BFF=π-θ.

在△FAF中，由余弦定理有：

（2a-3m）2=4c2+9m2-2x2cx3mcosθ，

整理得b2=3m（a-ccosθ）·

同理，在△BFF中有b2=m（a+ccosθ）.

兩式消b及m得2ecosθ=1，

評(píng)述 利用定義解題是常態(tài)，卻鮮有想到利用余弦定理求解圓錐曲線問題，筆者曾在文[1]中運(yùn)用余弦定理求解雙曲線的有關(guān)問題.此法有一定的計(jì)算量，但不失真，易建立離心率與直線傾斜角之間的等量關(guān)系.

解法2 利用橢圓的比值定義及比例性質(zhì)

如圖l，令|FB|=m，則|AF|=3m.

評(píng)述 利用比值定義，借助比例性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合巧妙求解，邏輯推理能力要求較強(qiáng).

解法3 利用橢圓的焦半徑公式及弦長(zhǎng)公式

設(shè)A（xi，yl），B（X2，y2），

由焦半徑公式有|AF|=a-ex，|BF|=a-ex2·

又AF=3FB，

評(píng)述 利用焦半徑公式和弦長(zhǎng)公式，設(shè)而不求，巧求斜率，言簡(jiǎn)意賅.

解法4 利用韋達(dá)定理

解法5 利用點(diǎn)差法

（解法4和解法5與例題解法3和解法4類似，限于篇幅從略.）

變式3 AF=4FB，則雙曲線C的離心率為____.

評(píng)述 變式2的5種解法均適合本題，可類似求解.

上述4道試題看似平常，卻獨(dú)具匠心.從多角度切入，既有各自的特點(diǎn)，又有共性的解法，體現(xiàn)“以能力為主”，考查能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng).通過(guò)對(duì)這一類試題的解法探究、對(duì)比分析與提煉，激發(fā)了學(xué)生的求知欲，實(shí)現(xiàn)學(xué)生在課堂的認(rèn)知參與，培養(yǎng)他們的洞察力與辨析能力，體會(huì)到“一題多解”與“多題歸一”是不可或缺的，達(dá)到增效減負(fù)之意圖，掌握解決數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，讓課堂教學(xué)真正走向有效課堂，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)解題的深度理解，建構(gòu)知識(shí)與方法體系.這樣的探究鍛煉了學(xué)生的解題思維，感受知識(shí)與方法的內(nèi)在聯(lián)系，形成更清晰的認(rèn)識(shí)與理解，最終把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)融合于學(xué)生的課堂內(nèi)外.

參考文獻(xiàn)

[1]謝盛富，對(duì)一道雙曲線試題的解法探究與思考[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（6）：33-35