精心變題以導(dǎo)思
——初中數(shù)學(xué)變題訓(xùn)練的思考

江蘇省揚(yáng)州市高郵市秦郵初級中學(xué) 趙 娟

朱熹曾說過：為學(xué)乃能變化氣質(zhì)耳。教育的作用在于“變化氣質(zhì)”，但變化氣質(zhì)的前提是轉(zhuǎn)變思想。思想是影響氣質(zhì)的重要因素，而思想是受思維所影響的。由此，教育的目的就是要培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維。然而，在教育現(xiàn)實中思維訓(xùn)練往往被一些教育者忽略，尤其是在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，很多老師認(rèn)為只要教給學(xué)生解題方法，好像他們就無往而不利。事實上，方法只是一種輔助學(xué)習(xí)的工具，重要的是學(xué)生思維能力，這才是幫助他們實現(xiàn)終身學(xué)習(xí)的根本。數(shù)學(xué)學(xué)科被稱之為“思維的體操”，可見它在提高學(xué)生思維能力方面有著比其他學(xué)科更明顯的優(yōu)勢。筆者從實踐中發(fā)現(xiàn)，合理運(yùn)用變題訓(xùn)練對激活中學(xué)生數(shù)學(xué)思維有著顯著效果，以下是結(jié)合教學(xué)實踐對如何“精心變題以導(dǎo)思”進(jìn)行的詳細(xì)闡述。

變題訓(xùn)練之——“舊題顯新意”

圖1

圖2

數(shù)學(xué)知識之間有著密切的聯(lián)系，彼此之間互相滲透，但教材畢竟有限，教材中選擇的一些習(xí)題和例題一般知識面都相對較窄，對于學(xué)生知識的綜合運(yùn)用能力培養(yǎng)略有欠缺，也容易讓學(xué)生形成思維定勢。這時如果適當(dāng)給舊題注入一些“新意”，進(jìn)行一下知識體系的置換，學(xué)生思維就會變得活躍，問題分析能力也會大大提高。如在學(xué)習(xí)“幾何”時，有題如下：“如圖1所示，三角形ABC的高是AD，外接圓直徑是AE。求證：AB·AC=AE·AD。”這道題主要考量學(xué)生如何運(yùn)用相似形、圓等性質(zhì)進(jìn)行等積式問題的證明，但如果稍加變化，就會讓該題變成一道集幾何、代數(shù)為一體的綜合知識運(yùn)用題型。變題后成為：“如圖2所示，已知銳角三角形ABC的外接圓圓O的半徑是10厘米，AB的長度是8厘米，AC的長度是5厘米，求邊BC上的高AD的長度是多少。”經(jīng)過變化之后的“新題”，圓的直徑并沒有直接給出，但因為通過原題解答之后，學(xué)生能夠很快將隱藏于題中的條件找到并將直徑計算出來，所以之前的“證明題”就變身為“幾何計算題”，這是在原題基礎(chǔ)上增加了一定的廣度和深度，這對學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力以及問題分析能力均有提高，在應(yīng)用與分析中，學(xué)生思維就會得到有效鍛煉。

變題訓(xùn)練之——“舉一還反三”

在初中數(shù)學(xué)解題練習(xí)中，學(xué)生非常容易形成思維定勢，當(dāng)他們熟悉了某一種題型的某種解法時，就會被局限于這種題型之中，只要題目稍加變化就會出現(xiàn)思維障礙，容易出錯。而在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行變題訓(xùn)練的目的就是幫助學(xué)生打破這種定勢思維，通過對題目中一些條件、圖形、結(jié)論等內(nèi)容的變化，引導(dǎo)他們學(xué)會如何對類型相同或相近的一系列題型進(jìn)行思考，在題目性質(zhì)不變的前提下將問題的形式與內(nèi)容進(jìn)行變化，讓他們在舉一反三中找到知識之間存在的內(nèi)在聯(lián)系，從而把握住數(shù)學(xué)本質(zhì)性規(guī)律，讓發(fā)散性思維、邏輯性思維等均獲得發(fā)展。

例如條件改變的變題訓(xùn)練，原題為：“如果依次將三角形三條線段的中點進(jìn)行連接，我們會得到一個怎樣的圖形？”通過條件改變后變成：

①如果依次將等邊三角形的三條線段的中點進(jìn)行連接，我們會得到一個怎樣的圖形？

②如果依次將等腰三角形的三條線段的中點進(jìn)行連接，我們會得到一個怎樣的圖形？

這種變題訓(xùn)練主要是對學(xué)生幾何圖形處理以及空間思維能力進(jìn)行的鍛煉，而通過對條件進(jìn)行的巧妙變化，三角形由原題中的一般三角形變成了等邊或者是等腰三角形，看似好像條件只是進(jìn)行了簡單附加變化，但解題結(jié)果卻發(fā)生了很大變化，學(xué)生通過這樣的變題訓(xùn)練會對三角形結(jié)構(gòu)有了更深入的理解和認(rèn)知。

變題訓(xùn)練之——“一題有多解”

一道題是不是只有一種解法？顯然并不是，一道題可以有很多解法，而每一個解法代表的是不同的思維過程，因此通過“一題多解”的變題設(shè)計，讓學(xué)生學(xué)會從多種角度對問題中包含的各種數(shù)量關(guān)系進(jìn)行思考分析，通過尋找不同解法去建立起知識之間的密切聯(lián)系，是對學(xué)生思維靈活性最好的訓(xùn)練。如：“一條線段是另一條線段兩倍”的證明方法有幾種？最常規(guī)的方法學(xué)生都知道，就是先作出短線段的“二倍線段”，再證明長線段與“二倍線段”相等即可。那是不是還有其他方法？很顯然，從第一種方法中，學(xué)生自然也會想到“反之亦然”的道理：將長線段取其一半，證明短線段與其相等也可以。這基本屬于同一思維過程的方法，那還有其他的嗎？在老師的鼓勵引導(dǎo)下，有的學(xué)生想到了假設(shè)長線段為直角三角形某一斜邊，那么可以通過取中線的方法進(jìn)行證明。這很顯然是一個思維的突破，而在這個同學(xué)的啟示下，有的學(xué)生想到了如果具備了四個以上“中點條件”，那么可以通過“三角形中位線定理”進(jìn)行證明。這樣一來，簡單的問題呈現(xiàn)出多樣化的解決方法，這既可以使數(shù)學(xué)思想方法得到鞏固，還可以讓學(xué)生觸類旁通，抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

總之初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的變題訓(xùn)練，就是將一個個看起來好像沒有聯(lián)系的孤立問題，通過向多種角度進(jìn)行拓展，最終形成有規(guī)律的方法體系。學(xué)生可以在問題探究中找到解決系列問題的方法，學(xué)會如何獨(dú)立地對數(shù)學(xué)科學(xué)領(lǐng)域進(jìn)行探索和研究，從中體驗到數(shù)學(xué)知識的奇異美與和諧美，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)能力的提高。