雙向出擊，如魚得水
——試析在初中數學教學中如何培養學生的逆向思維能力

江蘇省蘇州市相城區望亭中學 張春麗

數學作為一門較抽象的學科， 在培養學生的逆向思維能力方面有著十分重要的作用。 本文通過介紹在教學中加強學生對數學概念、公式、定理的逆運用及對逆向思維解題技巧的掌握，并結合分析法和反證法， 探討教師如何在初中數學教學中訓練學生的逆向思維能力。

正向思維是指符合人們一般認知規律的、常規化的、習慣化的思維方式，正向思維在數學問題的研究中表現為從條件出發，分析得到結論。逆向思維則是一種反方向的思維，它是從問題的答案出法，追溯到問題的結論的思維形式。學生要學好數學，正向與逆向思維都非常需要。如果一個學生只是習慣于正向思維，那么他的解題思路就會非常僵化，有的問題就難以順利得到解答。作為初中數學教師，要在平時的教學中有機地滲透逆向思維能力的培養，使學生在解決數學問題時能來去自由，富于靈活性。

一、雙向訓練，落實概念教學

數學概念是數學思維的最基本形式，如果教師只是正向地讓學生理解與訓練概念，那么學生今后就只會片面地理解概念，不利于數學思維的深化，故注重逆向訓練是非常重要的。

例1 （1）6的絕對值是_______。一個數的絕對值是6，那么這個數是_______。（2）|a|=3，那么a+1=_______。

對于絕對值的概念學習之后，教師會帶領學生總結出正數、負數、零三種情況下的絕對值計算方法，為了培養學生的逆向思維能力，教師可以出一些相關的訓練題。上述兩題中，第1題從正反兩方面進行訓練，由于前邊題的定勢影響，學生在解答后半題時很容易導致只分析這個數是正數的情況，忽視了這個數還可能是負數。而第2題需要分情況討論，有的學生只寫了4，是因為對逆向思維的考慮不周全，有的學生直接寫了答案是±4，是屬于過于草率，沒有認真分析算法。

二、雙向命題，活化思維方向

數學中的每個定理、公式都可以從反方向來思考，教師在教學這些定理、公式時需要有意識地引導和培養學生運用逆向思維，克服定勢帶來的刻板性思維。比如對于平均數的教學，雖然是小學時學生就知道了其基本概念，但學生對平均數的一些基本特性掌握得不是太充分，同時可以進行逆向思維的訓練，所以需要繼續強化。如：

例2 （1）養魚專業戶老李在魚塘中放養了1500條魚，一年后為了調查魚塘中魚的平均體重，采取了抽樣調查的方式，三次從塘中撈取若干魚，得到如下數據，請計算老李魚塘中在魚的平均體重。

次數 第1次 第2次 第3次條數 15 18 14平均體重（kg） 1.2 1.3 1.0

（2）小明本學期每單元數學考試的平均成績為90分，前5單元的成績分別為：92，93，88，85，96，最后第6單元的成績小明忘記了，請問小明第6單元的成績是多少。

上述兩題中，第1小題涉及平均數的一種特殊形式——加權平均數，通過訓練有助于學生了解加權平均數的計算方法，屬于正向思維。第2小題，屬于逆向思維，小明第6單元的成績可通過90乘6，再減去前5次成績的總和而得到。為什么呢？教師不妨讓學生通過列方程解方程，自然能理解這樣計算的道理。這一題還有一種比較靈活的算法，那就是以平均數90為基準進行思考，可以將前5次的成績分別記為+2，+3，-2，-5，+6，把這些數相加得到4，所以最后一個數只有記為-4才能使總和為零。故最后一次的單元成績為90減去4等于86分。這種算法是利用了平均數的性質進行的特殊算法，其計算原理可以讓學生去分析，這其實也是很好的逆向思維訓練。

三、雙向思考，盤活解題思路

例3 已知方程x2+(p-1)x+3=0的兩根分別是某正三角形的內切圓半徑和外接圓半徑，求p的值。

分析：如果按正向思維去解答，這一題應求得方程的兩根，然后根據兩半徑間的關系列出方程，但是求方程的解比較麻煩，這里題目中的方程有字母P參與，只能運用求根公式表示，最后得出方程，能否得到正確答案不得而知。若按逆向思維， 可從正三角形與三角形的重心的性質入手，設內切圓半徑為 r，外接圓半徑為2r，那么根據一元二次方程根與系數的關系可得到r×2r=3，故r=，2r=，接下來就能根據根與系數的關系求得p值了。

四、變式訓練，強化解題策略

例4 （1）甲、乙兩個人報數，規則如下：甲從1開始先報一個或兩個數，乙緊跟著報下一個或者兩個數，甲再接下去報數，如此來回報數誰先搶到10，誰就勝出，請問這個游戲對甲、乙兩個人是否公平？甲能否有穩操勝券的辦法？

（2）如果把游戲改為“搶30”，規則改為： 第—個人先說“1”或“1，2”或“1，2，3”，一次最多連說不能超過3個數，然后兩人來回報數，請問這個游戲是否公平呢？誰能穩操勝券呢？

分析與解答：這類題學生一開始往往無從下手，因為對手報什么數是無法控制的，但我們可以根據對手的報數來調整自己的報數，使每一輪兩人報數的總和保持恒定，在第（1）小題中，可以控制兩人一輪報數的個數的總和是3，即對方報一個數，我就報兩個數，對方報兩個數，我就報一個數，故要搶到10，必須搶到7，依次往前推，必須搶到1才能勝出，所以這個游戲是偏向于甲的。第（2）小題加大了思考的跨度與難度，如果學生能從（1）中總結出解題規律，當然解這一題就能非常迅速了。這兩題都是運用了逆向思維，讓學生從結果出發去分析，追溯到問題的起點。第（1）小題學生可以憑一個個數倒退來得到答案，但第（2）小題卻可能因為運用老方法而延誤答案得出的時間，故學生在運用逆向思維的同時還需要學會找到數學本質——自然數的整除。

五、場外切入，實現出奇制勝

有時候，從題目所給的條件與環境中無法找到突破口，這時可能需要從條件的反面或者外圍入手來解答，這也是屬于逆向思維。

例5 如右圖所示，四邊形ABCD中，AD=1，BC=2，∠B=D=90，∠C=60°，求四邊ABCD的面積。

一開始很多學生通過連接AC，制造了兩個直角三角形，但發現無法解決問題，怎么辦呢？其實這一題只要延長BA與CD，就能將問題轉化為求兩個三角形的面積之差的問題了。

有老師認為這個題目是需要跳出思維定勢，學生靈活解決問題，而不是逆向思維的運用，但筆者認為這一題是逆向思維的訓練——在圖中充分利用∠C=60°這個條件，就應該想到這有一個特殊三角形，而這個特殊三角形現在并不存在，所以我們要把它補全復原，那就自然想到畫兩條延長線了，這樣就得到了“有一個角是30°的特殊直角三角形”了，這種從已知條件出發并不直接指向結果，而是回歸到條件所產生的場景的思考方式，應該屬于逆向思維。從另一個角度看，這一題的解答不能從內部突破而需要從外圍進入，這也是逆向思維的表現。

由上可見，逆向思維具有下列特征：①普遍性。有正向思維的題目就會有逆向思考的機會，所以逆向思維還可以運用于解題的驗算、檢查，對提高答題的正確率非常有效。②批判性。逆向思維培養時學生對常規思維的背叛精神，這種精神需要足夠的勇氣。③逆向思維是對常規思考方式的一種突破，它的運用往往讓人產生意想不到的結果，令人拍案叫絕，這也是培養學生思維個性化的一個重要窗口。

總之，培養學生的逆向思維將大大促進學生解題策略的改進，提升學生的數學學習態度、情感與價值觀的轉變，使學生從學解題走向會解題，實現思想與智慧的超越。作為教師，一方面需要精心設計訓練逆向思維的習題，把逆向思維訓練與正向思維訓練結合起來，另一方面需要不斷改進教學流程，使課堂更精彩，也使學生享受成功的樂趣，培養積極探究、勇于發現的良好的學習習慣。