指定頻帶簡諧力激勵下約束阻尼結構的拓撲優化方法

陳長安

摘要：結構優化設計一直是結構設計的重點，在其中，結構拓撲優化則是最復雜最富有挑戰性并且最有效率的一種優化方法，拓撲結構的改變可以明顯提高結構的性能，另一方面也可以大幅度減少結構的用量，這就給很多難以解決的結構優化問題提供了可能性。針對指定頻帶簡諧激勵下阻尼約束結構的拓撲優化問題，建立能夠做到使共振峰值平方最小且限定了約束阻尼材料用量的約束阻尼板塊的拓撲優化模型。分析各種拓撲優化方法，最后采取漸進優化算法（ESO）來求解拓撲優化模型。

Abstract： Structural optimization design has always been the focus of structural design. Among them， structural topology optimization is the most complex and challenging and most efficient optimization method. The change of topology can significantly improve the performance of the structure. It is also possible to drastically reduce the amount of structure used， which opens up a number of difficult structural optimization problems. Aiming at the topology optimization problem of the damping constraint structure under the harmonic excitation of the specified frequency band， a topology optimization model of the constrained damping plate which can minimize the square of the resonance peak and limit the amount of the constrained damping material is established. Various topology optimization methods are analyzed， and finally ?the progressive optimization algorithm （ESO） is adopted to solve the topology optimization model.

關鍵詞：振動;簡諧力;約束阻尼結構;動力學拓撲優化;靈敏度;共振峰值

Key words： vibration;harmonic force;constrained damping structure;dynamic topology optimization;sensitivity;resonance peak

中圖分類號：TB535 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1006-4311（2019）14-0147-03

1 ?結構動力學優化的研究現狀、意義和發展

1.1 結構動力學優化設計的研究現狀

結構動力學的優化設計作為結構優化設計的一個新興領域，也是結構優化設計理論的一個重要構成，與此同時也是當前工程結構設計研究領域中的前列課題。其主要設計目的是為了滿足越來越重要的動力學環境對結構設計提出的要求。長久以來，工程師以及設計師都在探索如何提高自己產品的動力性能。結構拓撲優化能夠顯著地提高結構的性能并大量減少結構的重量，甚至可以讓原來無解的問題有解。它是結構優化領域中挑戰性最大的研究領域。連續體拓撲優化是指采用特定算法，決定需不需要在連續體內開孔洞、開多少孔洞來減輕結構的重量亦或是提高結構的某些性能。桿系結構的拓撲優化一般指構件的橫截面積、節點坐標、節點之間連接方法的共同優化。在這之上考慮固有頻率及動力響應約束的文獻在國內外極為少見，可見結構拓撲優化的深入研究對于結構動力學優化設計來說是非常迫切的。

并且結構動力學拓撲優化設計是一種典型的結構動力學反問題。結構動力學拓撲優化設計的一個重要組成部分就是結構頻率設計，它也包含著特征值反問題的部分。這種反問題求解非常困難，其困難之處在于反問題的解是否存在？如果存在，那么解又是否唯一？再者如何判斷優化問題的解已經收斂到了最值？關于這些問題的研究在國內外非常的少見。

1.2 結構動力學優化設計的意義和發展

生產技術以及工業技術的飛速進步，尤其是航空航天工業進步帶來的需求帶動了高強度材料、大柔性結構型的產量激增。這就使振動問題越來越受到關注。振動問題不僅出現在航天航空以及土木等部門，在更高端的核工程或者更普遍的水路運輸等幾乎所有的工程領域都普遍存在。結構動力學的優化設計是在常規優化設計的基礎上為了解決關鍵結構的振動嚴重問題而發展起來的，如飛機、航天器等的復雜結構的設計都是由許多部門協調完成的。當設計人員給出動力性能指標，強度要求以及設計人員進行給定具體外形以及拓撲條件下的優化目標時，結構設計人員其實事先也并不清楚所給的性能指標是否合理。由此可以看出：①在給定了初始設計目標及動力性能指標的情況下，首先我們要分析該優化問題的解的存在性，這樣才可以不盲目優化，并且可以用以構造動力學拓撲優化準則。②研究新興結構動力學拓撲優化的方法，以提高結構在動力工作環境時的性能，延長結構的使用壽命，提高抗振性能。③該研究方向具有廣泛而深刻的研究意義和發展前景。小到各種機械零件，大到汽車飛機甚至橋梁隧道的設計。④動力學拓撲優化的研究還有蘊含著長遠的學術意義，它超越了以往固定思維下的尺寸形狀優化，將優化的思想提高到了另一個廣闊的維度。

2 ?約束阻尼結構拓撲優化

2.1 拓撲優化模型

在約束阻尼結構受頻帶[ωi，ωh]的簡諧激勵下，如果頻帶內出現單或多的共振頻率，則取共振峰值為X（ωi）。在理論研究中，我們常常將動柔度作為優化的對象，進而優化具體完整構件的動力學性能。但是在實際工程應用中，我們發現一些特定部位的頻率響必須重點考慮。所以本文選用激勵頻段內結構特定位置的共振峰值的平方為優化對象，讓其盡量的小，用以表示減小振動。約束條件設置為約束阻尼材料用量。

最后為了不出現棋盤格現象，網格獨立濾波技術[3]就顯得尤為重要，網格獨立濾波技術簡單來說就是將目標函數的靈敏度進行再分配，讓某一單元的靈敏度與它周圍單元的靈敏度聯系起來，具體操作方式就將某一單元特定半徑內所有單元的靈敏度進行一個加權平均，把這個平均數作為該單元的靈敏度。

3 ?拓撲優化方法的選擇

傳統的設計方法中，我們一般先設計一個初步方案，對初步方案進行結構性能分析，然后再根據分析結果改進設計，再分析，再改進，這其實就是一個優化的過程。由于設計參數與結構性能的關系不夠明確，這種設計方法就會帶有很大的盲目性，導致最終設計結構與最優結構相差甚大。于是就出現了結構優化設計。

結構優化設計宗旨是要求優化和設計的過程同時進行。結構優化設計在理論上一般分為三個層次：

尺寸優化：優化變量為桿件的橫截面積或者板殼的厚度分布

形狀優化：優化變量為桿系結構的結點坐標或連續體外形

拓撲優化：在桿系結構結構中，優化變量可以是桿件的結點位置、結點之間的桿系連接方式;在連續體結構中，優化變量一般認為是開孔數量，也就是說被優化構件連續體的內任一點都有可能開有任意大小和形狀的孔洞。

結構拓撲優化最主要的面對對象就是連續體結構，總的來說，目前世界范圍內基本上的連續體結構拓撲優化的研究者進行拓撲優化操作時的主要步驟都是：在有限元分析理論基礎上，將被優化結構的設計域劃分成若干有限單元，再根據一定的優化算法來判斷被優化結構設計域里的各個單元哪些該保留哪些該部分保留甚至舍去，然后將設下的結構聯系成為連續的孔洞結構。均勻化法、變厚度法、變密度法、漸進結構拓撲優化方法以及基于類桁架的拓撲優化方法是全世界拓撲優化研究者研究的熱門方法，也是現今連續體結構拓撲優化領域里比較成熟的幾種方法。

3.1 均勻化方法

均勻化方法（Homogenization Method）這種方法由20世紀著名的法國物理學家Lions最早提出，這之后Bends？覬e等在Lions的基礎上，開始用空心單胞微結構的尺寸作為優化對象，然后把均勻化方法應用到了連續體結構的拓撲優化設計當中。

均勻化方法的應用目前還極其困難和復雜，由于其均勻化彈性張量非常難解，與此同時其空心單胞微結構的具體形狀也很難界定，再者其單胞結構的函數靈敏度相較于其他方法也是很難分析。因為這些原因，均勻化拓撲優化方法的求解過程的復雜性限制了該方法的深入研究和向外拓寬發展。

3.2 變厚度法

變厚度法（Variable Thickness Method）這種方法實際上可以被認為是連續體拓撲優化方法的鼻祖，該方法的拓撲優化設計變量是基結構中的單元厚度，這樣在設計單元里面改優化問題其實已經轉變成為了尺寸優化的問題。這種變厚度方法的最大優勢就是直觀簡潔，并且適用于大部分平面問題，譬如殼體或者薄板等。使用變厚度法中最具有代表性的研究有：Tenek和Hagiwara對于薄殼結構的拓撲優化研究以及程耿東等對平面膜結構的拓撲優化研究等。

3.3 變密度法

變密度法則是在均勻化方法的基礎上改變而成的，它的設計變量是[0，1]區間里的材料密度。該方法運用了一個假定使得彈性模量可以有密度來表示，將這兩種物理量聯系起來，這樣做的目的就是把拓撲優化問題轉化成一種簡，的材料密度分配問題。變密度法有兩種模型：各向同性罰微結構模型法（Solid Isotropic Microstructures with Penalization，SIMP）和 材料屬性有理近似模型法（Rational Approximation of Material Properties，RAMP）。使用這種變密度方法的具有代表性的研究主要有：王健和程耿東對應力約束下平面彈性結構的拓撲優化問題的研究以及Mlejnek關于變密度法模型的研究等。

總的來說變密度方法是算法上比均勻化方法更便于實施且應用更多的材料插值方法。它具有設計變量單一，計算不復雜，程序也相較下更加簡單等優點。

3.4 基于類桁架的拓撲優化方法

基于類桁架材料模型的優化方法主要做法順序是：

①首先該方法的優化對象是各項異性連續體，模型是特定的類桁架連續體材料模型。

②將被優化對象的結點位置的材料密度和方向作為設計變量，這種設計方法可以確保被優化對象在設計域內是連續的。接下來以此建立優化對象的彈性矩陣和剛度矩陣。這個過程不抑制中間密度或刪除單元，所以不會出現“單元鉸接”、“棋盤格”等數值不穩定問題。

③借助有限元思想以及滿應力準則法，對優化對象進行分析計算，接下來通過一定次數的迭代建立材料的密度方向的分布場，這就形成了類桁架連續體結構。

從上面所述的方法可以看出來因為首先建立的拓撲優化結構是各向異性連續體所以相比較于其他優化方法這種方法具有更大的優化空間。與此同時還可以結合工程實際需要將其轉化為離散的拓撲優化桿系結。

這種基于類桁架材料模型的優化方法的優勢在于：

①首先采用類桁架材料模型得到拓撲優化的不均勻各向異性連續體。這個過程不抑制中間密度或刪除單元，所以不會出現“單元鉸接”、“棋盤格”等數值不穩定問題。比其他采用各向同性材料模型有更大的設計空間，更具有一般性。由于沒有或較少近似和假設，可以更接近理論上的最優解。②根據優化類桁架連續體結果，適當選擇部分傳力路徑形成帶孔的均質各向同性連續體，或離散的桿系結構。③該優化方法先優化傳力路徑，形成類桁架連續體;然后用各向同性材料來代替類桁架材料，并優化孔或桿的分布;最后形成帶孔均質各向同性連續體或離散桁架。這樣避免了其他方法中將形成孔和優化傳力路徑兩個問題在同個過程一起完成的困難。

基于類桁架材料模型的結構拓撲優化方法就是先用建立在理論上的優化類桁架結構的數值方法以解決類桁架結構的求解困難，然后離散化稱為均勻各向同性帶孔連續體或桁架結構，以實現各向同性連續體和桿系結構的拓撲優化。

3.5 漸進結構優化方法

漸進結構優化方法（Evolutionary Structure Optimization，ESO）是Xie和Steven于1993年提出的。這種漸進結構優化方法也就是ESO方法的基礎在于準則設計法。該方法基本應用方式和思路是：

①首先運用有限元思想，將被優化對象進行有限個數的單元劃分，緊接著再計算各個劃分區域內單元材料具體對我們設定的目標函數以及約束作出了多少的貢獻值。②在上一步的基礎上，根據各個單元網格內部材料的貢獻程度決定該單元的去留。③重復上述操作直到達到迭代終止條件。

可以看出來ESO算法其實是基于一個基本的假定：一步一步刪除低貢獻度的單元以使整體結構逐步完成優化過程。經過足量的研究和具體算例得出，這一假定事實上無法適用于每次迭代過程，只適用于一般情況。與此同時，該方法的研究大部分還在理論方面，工程實際應用相較于其他方法還是不足。并且動力學特性以及響應優化方面的問題的研究相較于其他方法依然較少。然而本文在經過多種方法的探尋后，發現漸進結構拓撲優化方法更適合于本文的研究方向。

4 ?漸進優化算法拓撲流程

總而言之，指定頻帶簡諧力激勵下約束阻尼結構的拓撲優化方法的具體操作過程和步驟總結起來是一個循環迭代的過程，具體操作如下：

①建立約束阻尼結構有限元模型，并設定優化相關參數。給定約束阻尼單元的密度值ρe為1。②對有限元模型進行模態分析，得出優化所需的各個參數，例如約束阻尼單元的體積質量、模態截斷的次數、剛度矩陣、模態振型還有約束阻尼結構的固有頻率等。③靈敏度分析以及獨立網格濾波技術的執行。④計算下一步迭代目標的體積，確定刪除單元的最低門檻值，當下一步計算出來的目標體積低于設定的門檻值時，將其體積設定為我們初始設定的最小體積。⑤刪除靈敏度大于最低門檻值的約束阻尼單元，更新其設計變量ρe值為我們初始設定的最小密度比。⑥確認是否滿足材料體積的要求，如果不滿足，重復③～⑤，直至滿足約束阻尼材料體積約束條件，如果滿足，則結束迭代得出最終結果。

參考文獻：

[1]房占鵬，鄭玲，唐重才.指定頻帶簡諧激勵下約束阻尼結構拓撲優化[J].振動與沖擊，2015，34（14）：135-141.

[2]房占鵬.薄壁構件約束阻尼結構動力學拓撲優化研究[D].重慶大學，2015.

[3]劉虎，張衛紅，朱繼宏.簡諧力激勵下結構拓撲優化與頻率影響分析[J].力學學報，2013，45（04）：588-597.