由學生質疑引發的對小學數學綜合與實踐的思考

冉國明 趙震

[摘 要]綜合與實踐的實施是以問題為載體，以學生自主參與為主的學習活動。面對學生的疑問，教師卻匆匆下課的課堂場景，引發了對“積累數學活動經驗是綜合與實踐領域的重要目標，那么在注重引導學生積累實踐與操作經驗的同時教師還應該做些什么？在突出課程標準所強調的‘要使學生能充分、自主地參與 的同時，又如何充分發揮教師的引導作用？”等問題的探索，以及對北京版教材三年級下冊綜合與實踐中“圍綠地”的內容的新的實踐。綜合與實踐教學要合理把握其學科性、綜合性、實踐性的特點，要充分發揮教師在數學綜合與實踐中必要的引導作用，要準確理解數學綜合與實踐“積累數學活動經驗”的目標。

[關鍵詞]質疑;綜合與實踐;數學活動經驗

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）14-0014-05

一、緣起

一次教研活動中，一位數學教師執教的是“圍綠地”一課。這一內容是北京版教材三年級下冊第五單元長方形和正方形面積單元的最后一個教學內容的綜合與實踐。以下是教學片段：

教師出示內容：用24米長的籬笆靠墻圍一塊長方形或者正方形的綠地，怎樣圍成的面積最大？（如圖1）

在學生理解題意后，教師引導學生猜測：在多種圍法中，綠地的面積怎樣圍最大？

學生基于已有的知識經驗紛紛猜測：圍成正方形得到的面積最大。

教師出示學具并提出動手實踐驗證的要求：每組同學利用手中的24根小棒（把每根小棒看作長度是1米的籬笆），小組合作動手圍一圍，并填寫表格。

教師引導學生在得出如下表格后進行觀察分析：

通過觀察，學生發現結果和自己的猜測完全不同：圍成的長方形或正方形中，面積最大的一個是72平方米的長方形，該長方形的長是寬的2倍。

教師總結：“當周長不變時，三面圍長方形或正方形，圍成的長是寬的2倍的長方形的面積最大。”

學生議論紛紛。不少學生都很疑惑：“為什么不是圍成正方形的面積最大？這與我們學的不一樣啊！”“為什么長是寬的2倍時圍成的長方形的面積最大？”……

由于已到下課時間，教師就沒有進一步深入解釋，整節課在匆忙中結束。

作為旁觀者的我，對學生的“議論紛紛”感觸頗多。

縱觀全課，教師很重視讓學生通過動手實踐來積累活動經驗，花費了大量的時間讓學生“圍綠地”。課中，教師也進行了適時的引導，如：通過讓學生觀察表格中的數據來得到結論。表面上看，課堂很熱鬧，學生活動很多——有操作、觀察、概括，但也只停留在了表面。

學生為什么會提出“為什么不是圍成正方形的面積最大？”的疑問呢？一方面，因為前面在學習探索規律這一內容時，學生剛剛接觸到一個結論“當周長一定時，圍成正方形的面積最大”，而這節課學生在學習“圍綠地”時又得到了一個結論“圍成的長是寬的2倍的長方形的面積最大”，顯然，這兩個結論相互矛盾。另一方面，教師通過數據得到結論的同時沒能引領學生深入思考結論背后的東西，也就是所謂新結論與以前“圍成正方形面積大”的結論之間的關系，沒能把知識和規律聯系起來。學生根據以往的知識經驗已經自然地產生了認知沖突，產生了新的質疑。

二、思考

1.課程標準指出“積累數學活動經驗是綜合與實踐的重要目標”，那么在注重引導學生積累實踐與操作經驗的同時，教師還應該做些什么？

東北師大史寧中教授曾指出：“何為數學活動經驗？一是指動手操作的經驗，二是指思維的經驗。”“圍綠地”一課中，教師花費大量時間讓學生動手操作——圍長方形或正方形的綠地，以此來幫助學生積累實踐和操作的經驗，應該說是有價值的、重要的，但是積累思維的經驗更重要。本節課中，學生的質疑就是一個引導學生積累思維經驗的契機。教師應該抓住這一契機帶著學生通過有效的實踐和進一步思考，借助猜想——驗證，幫助學生積累必要的思維經驗，也就是使學生學會如何思考。

2.綜合與實踐教學中，突出課程標準所強調的“要使學生能充分、自主地參與”的同時，如何充分發揮教師的引導作用？

“圍綠地”一課中，教師的作用僅僅是引導學生通過操作得到數據，再通過觀察數據得到結論，這顯然是不夠的。在課堂教學中，如果展現的僅僅是學生膚淺表層的甚至是虛假的主體性，而失去教師的價值引領、智慧啟迪和思維點撥，必然導致教學低效甚至無效。

因此，當學生產生質疑時，教師應該充分發揮自身的引導作用，給學生搭建平臺，提供方法，鼓勵學生進行新的力所能及的探索，這樣才能使教師的引導作用落到實處。

3.綜合與實踐教學是否應該“畢其功于一役”，僅僅局限于一節課就解決全部問題？

“圍綠地”一課中，教師在引導學生動手操作、觀察數據、得出結論上用了大量的時間，導致沒時間處理學生的質疑。課程標準說的“重在綜合”是指活動中注重數學與生活實際、數學與其他學科的綜合，我認為還應包括“課內與課外”“課下與課上”的綜合。在“圍綠地”一課中，完全可以把“圍綠地”、填表格，甚至發現結論的任務交給學生課前完成。這樣，上課的時間就可以用來引導學生質疑，從而引發新的探索與思考。而完不成的內容還可以放到課后，使學有余力的學生能繼續進行力所能及的探索，從而實現綜合與實踐教學價值的最大化。

基于上述三點，我展開了新的“圍綠地”的教學。

三、實踐

【活動一】課前組織學生初探，得到初步結論

師：今天請大家利用課余時間完成一項任務“用24米長的籬笆靠墻圍一塊長方形或者正方形的綠地，怎樣圍圍成的面積最大？”（如圖1）

師：這個任務是讓我們干什么？你們熟悉這個任務嗎？這個與前面學過的有什么不同？

生1：熟悉。前面學習探索規律時，我們剛剛圍過。這個是一面靠墻來圍綠地的。

師：你很善于觀察。一面靠墻圍綠地，那也就是說要用24長的籬笆圍幾條邊？

生2：三條邊。

師：這一點和之前的探索規律是有區別的。猜一猜，怎樣圍使得面積最大？

生（齊）：圍成正方形使得面積最大。

師：僅僅靠猜測還不行，還要——

生（齊）：進行實踐。

師：說得好，老師仍然給每個小組準備了24根小棒，可以把每根小棒看作長度是1米的籬笆，請大家利用課余時間以小組為單位動手圍一圍，就像前面的探索規律一樣，有序地圍出所有不同的長方形或正方形。另外，老師還給每個小組提供了一個表格，每圍好一個圖形就在表格內填好相應的數據，然后觀察表格中的數據，看一看和你猜想的是否一樣，有興趣的同學可以進行深入的研究與探索。

【思考與評析：

（1）體現了“課下與課上”相結合，解決了開展綜合與實踐“時間總不夠用”的問題。

學生在學習這一內容之前已經積累了大量的實踐與操作經驗，學習新知存在的障礙是探索圍四條邊的封閉圖形的規律，而今天的圍綠地是一面靠墻圍三條邊。通過課前探索，這一障礙在課前已經掃清。因此，學生利用已有的經驗在課前自主完成“圍綠地”的實踐操作，已經通過觀察初步得到結論，為進一步深入探究節省了時間。

（2）使學生能有充分的時間在實踐與操作中積累數學活動經驗。

將“圍綠地”的實踐操作放在課前，可以使學生在基于已有的知識經驗充分積累新的實踐操作經驗的同時，將課堂時間用來積累思維經驗，做到兩者兼顧。】

【活動二】課上引導點撥、質疑解惑

師：怎樣圍成的面積最大呢？課前大家都進行了猜測，也利用學具以小組為單位進行了實踐操作，并得到了結論，下面我們來看第6小組得出的結果。（圖略）

生1（第6組）：我們小組一共圍出了11個不同的長方形。第一個長方形的第一條邊長為1米，第二條邊長為1米，第三條邊長為22米，面積是22平方米。

師：請大家判斷他們圍的這個長方形符合要求嗎？

生2：符合要求。因為是一面靠墻圍，所以圍出的圖形有三條邊。

師：僅僅從三條邊就能看出符合要求嗎？

生3：1+1+22=24（米），正好與題目中的“用24米籬笆”一樣。

師：說得很好。綜合兩名同學的回答可以看出，圍的綠地是符合要求的。請繼續介紹，其他同學來監督，看看是不是圍出的圖形都符合要求。

【思考與評析：學生的科學探究意識是需要教師培養的。在學生匯報第一個圖形時，教師充分發揮引導作用，讓學生驗證圍成的圖形是否符合要求，即“24米籬笆，一面靠墻圍”，使學生的目光聚焦到課前的實踐操作上，并意識到：不是隨便怎么圍都可以，只有使每一個圍成的圖形都符合要求，才能使最終得到的結論科學和可信。】

生1（第6組）：第二個長方形，第一條邊長為3米，第二條邊長為3米，第三條邊長為18米，面積是54平方米……我們組得到的結論是“第一條邊為6米，第二條邊為6米，第三條邊為12米的長方形的面積最大，是72平方米”。

師：一起看一看這個面積最大的長方形，它的長是12米，寬是6米。認真觀察它的長和寬，你有什么發現？

生4：長是寬的2倍。

師：換句話說，這個長是寬的2倍的長方形，在所有圍出的圖形中面積最大，是這樣的嗎？

生（齊）：是的。

師：還記得課前你們是怎么猜測的嗎？

生（齊）：圍成正方形能使得面積最大。

師：請觀察表格中的數據，哪個是正方形？它的面積是多少？通過實踐得到的結論和你們課前猜測的一樣嗎？

生（齊）：當3條邊都是8米時圍成正方形，面積是64平方米。不一樣。

師：大家有什么想說的，或者有什么問題嗎？

生5：之前學習探索規律時，不是圍成正方形面積最大么？怎么又變了？（學生議論紛紛）

師：是呀，當周長一定時，圍成正方形面積最大。難道之前得到的這個結論是錯的嗎？

生6：我覺得前面得到的結論沒錯，我們都動手實踐過。（學生紛紛點頭）

師：難道是你們課前通過動手實踐得到的這個新結論錯了？（學生有些猶豫，然后紛紛搖頭）

生7：我覺得這個新結論也沒錯。

生8：我們都實踐過，而且幾個小組的結論都相同。

師：以前得到的結論沒問題，新得到的結論也沒問題，那問題究竟出在哪里？請與小組的同伴討論。

【思考與評析：質疑能力是一切學習能力的核心。這一環節中，教師發揮引導作用將之前學生在探索規律中得到的結論“周長一定，圍成正方形面積最大”與“圍綠地”時新得到的結論“周長相等，圍成長是寬的2倍的長方形面積最大”這兩個結論對立起來，引發了學生思維上的沖突。所謂學起于思，思源于疑，學生在質疑中既積累了思維經驗，又由原來的僅僅關注探究的結論，轉向了關注結論背后更深層次的東西，進而產生了進一步深入探究的興趣。】

師：哪個小組有想法了？

生9：我們組有了一個發現，原來在學習探索規律時，我們用小棒圍的是4條邊，而課前我們在圍綠地時，圍的是3條邊。

師：你們不但善于觀察，還善于思考。我們之前在探索規律時，圍的是4條邊的圖形，而在課前的實踐中圍的卻是3條邊的圖形。在圍出的3條邊的圖形中又藏著怎樣的秘密呢？僅僅觀察表格中的數據能看出來嗎？

生（齊）：看不出。

師：讓我們借助在學習長方形面積時使用過的一個重要的工具——方格紙，把圖形畫在方格紙上，把數據也標上，再進行觀察，看看能否有所發現。

課件出示：

師：我們可以把圖2中的黃色部分看成是一堵墻，左圖就是3條邊都長8米的正方形，右圖就是長是寬的2倍的長方形。如果把墻拿開，看一看圍成的究竟是什么？

課件出示：

生10：它們都只有3條邊。

生11：它們都不是完整的正方形和長方形。

師：由4條邊圍成的封閉圖形才是一個完整的圖形。先觀察圖3右邊的長方形，像誰的一部分？

生12：長方形的長是12米，寬是6米，在它上面加一個一模一樣的圖形就得到一個正方形了。

師：請大家閉上眼睛想象生12“創造”的正方形。

課件演示：

師：照這樣，如果給圖3左邊的圖形上也加一個一模一樣的圖形會得到什么？一起看看。

課件演示：

生（齊）：變成了長方形。

師：這個過程像不像照鏡子？你們照過鏡子嗎？

生（齊）：照過。照鏡子時，你們在鏡子里看到的是什么？

生（齊）：看到了自己。

師：對，是一個一模一樣的自己。

師出示：

師：圖6是我在紙上畫的由3條邊構成的圖形，現在把它們放到鏡子前。

師：原來的兩個圖形與鏡子里面的它們結合，分別變成了什么？

生13：變成了長方形和正方形。

師：而且都變成了完整的封閉圖形了。算一算這兩個完整圖形的周長，看看有什么發現。

生14：它們的周長相等。

師：還記得前面探索規律時得到的結論嗎？

生（齊）：當周長相等時圍成正方形的面積最大。

師（出示圖6）：我們看到的3條邊構成的圖形與完整的長方形和正方形都是什么關系？

生15：都是它們的一半。

師：說得好，它們其實分別是完整的周長相等的長方形和正方形的一半，周長相等，正方形面積最大，那完整正方形面積的一半也就大于完整長方形面積的一半了。因此3條邊圍成的長12米、寬6米的長方形的面積要大于邊長是8米的正方形的面積。你們明白了嗎？

生16：原來是這么回事，明白了。

師：反思一下，我們在探索規律時得到“周長相等，圍成正方形的面積最大”的結論到底有沒有錯？

生17：沒有錯，只不過換了一種形式而已。

師：總結得太好了……

【思考與評析：這一教學環節凸顯了教師在綜合實踐活動中的引導作用，具體體現在以下幾方面：

（1）在學生思維走向“深入”的過程中，啟迪了學生的智慧。當學生在質疑中產生了探究的興趣，但又缺少進一步“深入”探究的方法和能力時，教師充分發揮了引導作用，進行了點撥，使學生找到了探究的方向。如，“在我們圍出的3條邊的圖形中又藏著怎樣的秘密呢？僅僅觀察表格中的數據能看出來嗎？”這一個問題將學生思考的方向引到了對3條邊圍成圖形的本質的探究上，從而發現這3條邊圍成的并不是“完整圖形”。又如，教師的追問：“反思一下，我們在探索規律時得到‘周長相等，圍成正方形面積最大的結論到底有沒有錯？”“只不過換了一種形式而已”，一個學生的發言道出了本質，從而打通了“舊規律”與“新規律”之間的聯系。

（2）提供素材，提供方法，利用數形結合在思維節點上幫助學生解惑。在課前的實踐中雖然進行了實踐操作，但是學生記得的只有數據。教師適時提供了直觀圖，并且把數據與圖形結合起來幫助學生解惑，充分體現了自身的引導作用。

如：第一處，借助學生熟悉的工具方格紙呈現一面靠墻圍好的3條邊都是8米“正方形”和長12米、寬6米的“長方形”，通過循序漸進的演示，使學生發現圍成的并不是完整的圖形，從而提出設想“如果給它們加一個一模一樣的翻過來的圖形，就得到了完整的長方形和正方形”。

第二處，通過直觀演示在紙上畫好的3條邊都是8米“正方形”和長12米、寬6米的“長方形”，并將其放在鏡子前，與鏡子里的影像相結合，組成完整的長方形和正方形的過程，使學生確信：原來圍成的只是完整圖形的一半，以前的結論并沒有錯，現在只是換了一種形式而已。

（3）幫助學生積累了必要的思維經驗。一方面，教師以學生的質疑為契機，引發了學生新的猜想：“在學習探索規律時，我們用小棒圍的是4條邊，而課前我們在圍綠地時，圍的是3條邊。”可見，學生認為，問題出在“3條邊”上。教師又順勢引導：“我們之前在探索規律時，圍的是4條邊的圖形，而在課前的實踐中圍的卻是3條邊的圖形。”從而引發學生新的探索與實踐，幫助學生積累了思考問題的必要經驗。另一方面，在探索過程中通過教師引導，如“在我們圍出的3條邊的圖形中又藏著怎樣的秘密呢？僅僅觀察表格中的數據能看出來嗎？”使學生的目光由關注數據，轉向了關注數據的同時更關注圖形，將數據與圖形結合起來解決問題。這種解決問題方法的積累，也是積累思維經驗的一個重要方面。】

【活動三】課上拓展，課下延深

師：其實我們還可以從另外一個角度來解釋為什么“用24米籬笆一面靠墻圍綠地時，圍成長是寬的2倍的長方形面積最大”。

課件出示：

師：我們仍然借助方格紙，圖8是用“24米的籬笆”在方格紙上圍成的正方形，并且是能圍出的所有封閉長方形或正方形中面積最大的一個，大家同意嗎？

生（齊）：同意。

師：一面靠墻圍3條邊，可以看成是把4條邊圍的面積最大的正方形的一條邊去掉，如把靠墻的邊去掉，這樣就變成了只圍3條邊了（如圖9-1），你們覺得行嗎？

生（齊）：不行，因為用的是24米長的籬笆，去掉一條邊，變成18米就不符合題意了。

課件演示（變化過程）：

師：對，必須保證籬笆的總長是24米。因此，把靠墻的6米長的邊平均分成2份，分別接在兩條豎著的6米的邊上（如圖9-2），剩下的一條水平方向的6米長的邊向下平移就構成了一面靠墻的長方形。這個過程中，籬笆的總長度沒變，仍是24米，但面積卻在原來的基礎上增加了18平方米。我們還可以把這靠墻的6米長的邊分開以后放在哪里，從而使新圍成的圖形在原來的基礎上增加面積？

生1：在2條豎著的邊上和橫著的邊上各放一部分。

生2：還可以都加在剩下的一條橫著的邊上。

……

師：大家都很有想象力，這些想法能行嗎？加在哪里才能使面積增加最大？當增加的面積最大時，圍成的圖形又是什么樣的？我為同學們準備了方格紙，愿意繼續深入探究的同學，課下可以在方格紙上繼續探索，得到答案后可以和我交流。

【思考與評析：這一環節體現了兩點：

（1）凸顯了數學綜合實踐活動時間上的綜合性。由于課堂時間的限制，教師不可能在課堂上完成所有的教學內容與任務。因此，教師在給學生提供了素材和方法，進行了適當的引導之后，將繼續探索的任務布置到了課后。這樣，課前、課上、課后的“綜合”就為數學實踐活動提供了充足的時間。

（2）為“學有余力”的學生提供進一步“深入”探索、積累更“深層次”實踐與思維經驗的機會。需要說明的是，這里的“深入”和“深層次”并不是想“難為”學生。】

四、反思

1.要合理把握數學綜合與實踐學科性、綜合性、實踐性的特點

以往進行綜合與實踐教學時，筆者對于綜合與實踐的實踐性特點把握得最好，十分注重學生的動手實踐活動，但對于學科性和綜合性的認識還有些片面，而現在認識得更全面了。就學科性來說，綜合與實踐課，首先是姓“數”，其落腳點在于全面提高學生的數學素養，因此不能離開對數學本質的探索與追求。就綜合性來說，綜合與實踐的學習內容不僅僅體現在科學、美術、音樂與數學課程內容的綜合，還應該包括學習空間和時間的綜合、課內學習與課外學習的綜合。在學習主體上還應突出對普通學生關注和對“學有余力”學生關注的綜合。

2.要充分發揮教師在數學綜合與實踐中的引導作用

課程標準指出：“教師的引導作用主要體現在：通過恰當的問題或者準確、清晰、富有啟發性的講授，引導學生積極思考、求知求真，激發學生的好奇心;通過恰當的歸納和示范使學生理解知識、掌握技能、積累經驗、感悟思想;能關注學生的差異，用不同層次的問題或教學手段，引導每一個學生積極參與學習活動，提高教學活動的針對性和有效性。”經歷了對于“圍綠地”教學的思考與實踐，筆者認為，在綜合與實踐的教學中教師要發揮的作用亦是如此。

3.要準確理解數學綜合與實踐“積累數學活動經驗”的目標

積累數學活動經驗不僅是綜合與實踐的一個重要目標，還是數學教學的重要目標。課程標準指出：“數學活動經驗需要在‘做的過程和‘思考的過程中積淀。”就這點來說，筆者以往簡單地認為“既然叫綜合與實踐就應該側重于實踐，只要關注‘做就可以了”的看法有一些偏頗了。在關注實踐與操作經驗積累的同時，同樣不能忽略思維經驗的積累。教師應該利用有效契機幫助學生積累 “思考問題的方法”的經驗、“解決問題的方法”的經驗等。

（責編 金鈴）