反思數學約定 驅動深度學習

丁洪

[摘 要]反思是一種意識、習慣和態度。符合認知規律的反思行為，往往由表及里、由淺入深，能用火熱的思考融化冰冷的約定，驅動學生達到深度學習。在“2、3、5倍數特征的再認識”的教學中，立足學生實際，激發學生反思的需求，教給學生研究方法，從而培養學生的反思能力和反思意識，促進學生深度學習。

[關鍵詞]反思;深度學習;數學化

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）14-0009-03

弗賴登塔爾明確指出，反思是一種重要的“數學態度”。對比教學現場可以看出，沒有反思的數學教學，往往就事論事、淺嘗輒止，導致過程不完整、理解不透徹和價值不明確。《義務教育數學課程標準（2011年版）》在總目標的“問題解決”和“情感態度”中分別提出“初步形成評價與反思的意識。”“養成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質疑等學習習慣。” 把這些要求整合起來，不難發現，從反思意識到反思習慣，最后形成穩定的反思態度，恰好為現實教學指明了操作路徑和努力方向。

下面以“2、3、5倍數特征的再認識”的教學為例，論述如何對部分倍數判斷的數學約定進行反思，以驅動學生實現深度學習。

一、初步反思，提出問題

師：喜歡玩游戲嗎？

生（齊）：喜歡。

師：看！三個彩蛋對應三位數，怎么砸？[這個數是5的倍數嗎？][砸一砸]

生1：砸藍色的蛋，得個位上的數。

師：嗯，滿足你的愿望！（砸出數字0）

生1：是5的倍數。

師：還是幾的倍數？

生2：2的倍數。

師：3的倍數呢？

生3：要砸剩下的兩個彩蛋才知道是不是。

師（砸出十位上是5，百位上是4）：有結果了嗎？

生4：因為4+5+0=9，9是3的倍數，所以450就是3的倍數。

師：從“個位”看，其實是一種局部思考。而看這個“各位”，需要整體把握。怎么看就怎么砸！

師：關于“個位”和“各位”，你能提出什么問題？

生5：為什么2和5的倍數只要看個位，而3的倍數就要看各位呢？

5的倍數，

3的倍數，][為什么？][怎么看？][局部

整體][理一理]

師：對原來熟悉的數學約定進行反思，往往就從“為什么”開始。就讓我們在“為什么”的追問中，開始“再認識”的探究之旅。

【思考：首先創設砸蛋游戲情境，換一種方式來復習舊知，能讓學生積極參與其中，梳理出“個位”和“各位”兩種約定模型;接著引導學生觀察、對比和反思模型，鼓勵學生大膽質疑，幫助學生使用規范的數學語言，實現從“怎么看”到“為什么”的跨越。】

二、逐步反思，深入研究

1.找準起點，有序推進

師：對于5的倍數，哪些數位不用看？

生1：十位、百位……都不用看。

師：為了驗證你的論點是否正確，我們需要開展研究活動。研究的起點很重要，你準備從哪一位開始呢？

生2：我會選擇十位，它是最低位的。

生3：十位比較簡單，應該容易發現規律。

師：行，先從十位研究起。

（出示活動要求：判斷5的倍數，十位上的數“不用看”的道理是什么？引導學生先獨立思考，組再小交流。）

師：好的開始是成功的一半，先請研究十位上是1的同學匯報。

生4：十位上是1，就是1個十，10是5的倍數。（動畫配合：把十個算珠，5個5個的分）

師：跟你們想象的一樣嗎？

生（齊）：一樣。

師：十位上還有一些數，你能說清楚嗎？

生5：接著就是20、30…它們都是10的倍數，所以也沒有剩余。

師：回頭看，紅蛋為什么不用砸？

生6：紅蛋表示幾個十，都是5的倍數。

師：百位上的數又有什么特征呢？

生7：一百是5的倍數，所以幾百都是5的倍數。

生8：百位上的數表示幾百，幾百都是10的倍數，所以也是5的倍數。

師：真好！能用聯系的思維進行推理，十位不要看，百位就不要看……以此類推，這些地方就是確定區。那唯獨剩下誰？

生（齊）：個位。

師：個位就是待定區，等待你去確定。這樣，通過抽象、推理，我們成功建立了5的倍數的模型。

【思考：反思雖然主要依靠學生，但是，由于年齡特征、認知習慣等多種因素的干擾，還需要教師的引導和幫助。首先，確定從十位研究起，建議從1開始列舉，有意識地滲透反思技巧;接著，概括十位上的情況，確定幾十都是5的倍數，再引導學生推理到其他數位，著重培養學生的反思能力;最后，對比確定區和待定區，實現對5的倍數特征的再認識，著力提升反思實效。】

2.抓住本質，巧妙遷移

師：哪個數的倍數和5差不多？

生（齊）：2。

師：能有序地說清楚嗎？

生1：幾十都是2的倍數。

生2：幾百都是2的倍數。

師：幾十、幾百……以此類推，這些都是確定區。唯獨哪里需要待定？

學（齊）：個位。

師：其實，確定區的數都是2和5的公倍數，所以看似不同的問題，卻有著相同的模型結構。

【思考：上一環節是“扶”，這里主要是“放”。首先，引導學生自主探究和表達，但是在學生遇到困難時，教師仍然引導學生回到思維的起點，因為學會思考比知識獲得更重要;然后，著重對比模型內在的結構，找到判斷方法相同的根本原因，貫通“2和5倍數特征”的再認識。】

3.問題驅動，對比建模

師：以18為例，個位上有8個算珠，記下8，這個很好理解。再看十位上，一個十竟然約定記下1，為什么10變成了1？這里到底藏著什么道理和秘密呢？

（出示活動要求：十位上的1表示10個算珠，為什么在“1+9=10”的算式中變成1個？在圖中圈出“10”變成“1”的過程。引導學生先獨立思考后再小組交流。）

生1：因為10可以分為3個3余1，而3個3等于9，9已經是3的倍數，也就是說可以把9忽略了，10就是剩下了1。

師：品出其中的數學道理了嗎？

生2：10分成兩部分，一部分是9，它是3的倍數，確定的就不要看了，另一部分是還剩的1，不能確定要記錄。

師：一十記下1，幾十就記下幾，如果十位上是c，對應記下幾？

生（齊）：c。

師：以此類推，如果百位上是b，千位上是a呢？如果覺得有困難，從幾想起？

生3：一百記下1，幾百就記下幾，如果百位上是b，對應記下b。

生4：一千記下1，幾千就記下幾，如果千位上是a，對應記下a。

師：這樣就把a個千、b個百、c個十、d個一，就轉化成a+b+c+d的和，以和的待定，判斷原來的數是不是3的倍數。看似復雜的問題，在智慧的對比中被解決了。

【思考：首先，在復習舊知中提出新的問題，并從特例入手，放手讓學生在圈畫中探究“記錄1”的道理;接著，引導學生將10解構成9和1，正向遷移確定區和待定區，使復雜的情況得以簡單表示，逐漸重構“幾十就記錄幾”的數學約定;最后，順勢用字母概括抽象的數，并以此類推到其他數位，完成所有數位上的數的轉化，引導學生體驗數學約定的魅力和價值。】

三、運用反思，變模成塊

師：在判斷平年和閏年時，對于4的倍數，為什么百位和千位不用看？

生1：100和1000是4的倍數，幾百和幾千就是4的倍數，是確定的，所以不用看。

師：為什么判斷9的倍數時，各個數位上的數都要看？

生2：10除以9余下1，幾十除以9余下幾，百位上也是幾百除以9余下幾，這些余下的“幾”都是待定的，所以都要看。

師：今天這節課，你有什么收獲和體驗？

生3：我會用“為什么”來提出問題。

生4：我知道了這些倍數特征形成的真正原因。

生5：我知道思考問題有時候要從局部去思考，但有時候要從整體去思考。

生6：復雜問題可以從簡單情況開始。

師：反思可觸摸數學本質，智慧可實現深度學習。數學約定，簡潔，不簡單！

【思考：這里的練習不是簡單的模仿，而是有針對性的變模訓練。這是對反思技能的檢查，也是對反思態度的檢閱。如從再認識2、5的倍數特征出發，到反思4的倍數;從再認識3的倍數特征出發，到反思9的倍數。在這樣的變模訓練中，學生的思維得到適度拓展，更為重要的是，在變與不變中，學生不但觸及知識的本質，還體驗到數學的魅力。】

【評析】

蘇教版教材是借助百數圖，調用學生已有的倍數知識，先計算和圈畫相關的幾倍數，然后觀察和對比這些倍數的特例，發現其存在相同的外形特征，最后順勢歸納出2、3、5倍數特征的一般結論。這種學習主要聚焦于倍數的外形特征，以發現其外部規律為主，顯然沒有深入特征的內部。如果把倍數判斷的方法當成后續學習的工具，點到為止倒也無妨。問題是，什么時候才有機會揭開數學約定的神秘面紗呢？

1.立足學生實際，激發反思需求

“再認識”是建立在“已認識”的基礎之上，所以要想“再認識”能夠順利啟動，就必須考慮學生的實際情況。就本節課而言，學生已經掌握判斷2、3、5倍數的外形特征，并能“以學備用”，將其遷移運用到高度相關的問題情境中。但是，學生的反思意識淡薄，反思質疑的習慣缺失，再加上反思意味著深入思考，需要面臨更大挑戰，使本來就枯燥的數學變得讓人“望而生畏”。弗賴登塔爾認為，當“數學味”過于濃郁時，可以用“生活味”積極調和。于是，在“砸蛋”的游戲中，就通過“怎么砸”回顧整理，“為什么不用砸”質疑反思。顯然，這樣就用游戲的感性直觀調和了數學的理性抽象，同時，也用認識閉合的內需驅動了主動反思的可能。

2.教給研究方法，提升反思能力

從課堂觀察可以看出，沒有過程經歷和方法幫扶的反思行為，費時、費力和費事，效果難以達到預期，而且容易使學生滋生負面情緒。因此，想要把事辦好，這幾點不能忽視：首先是確定起動點，如以5的倍數特征為樣本，從十位研究起，并有意從一個十的情況開始匯報，歸納概括后類推到其他數位，以簡馭繁，層層深入;其次是梳理聯動點，如用“確定區”和“待定區”的分類，將三種數的特征串聯起來，使知識的探究有機置于方法的框架之內，有序推進，凌而不亂;最后是感悟相同點，如遇到困難從簡單想起，這是明確的，而基于“十進制計數法”的運算環境，則并未點破，方法要適合，反思也要適度。顯然，學生經歷了反思的“關鍵步子”，就容易形成反思的“關鍵能力”。

3.變模訓練思維，滲透反思意識

一般練習的目的是鞏固新知，熟能生巧是衡量其效果的標準。但是，如果練習的情境單一、結構相同，再多的努力也只是簡單搬運，結果生巧未必，生厭倒是可能。而“思前想后”的題組訓練，可以改變機械練習的舊況。“思前”想到的是判斷年份時特殊的方法，“思后”想到的是“單元整理與復習”中9的倍數特征的初步探究。首先，將它們合理歸置，形成變模題組，如4的倍數歸屬于2的倍數，9的倍數歸屬于3的倍數。然后，引導學生經歷知識解構、方法遷移和模型重構的全過程，逐步解開“習以為常”，但“不明事理”的4的倍數特征，慢慢揭開初獲結論，但“霧里看花”的9的倍數特征。應該說，這樣的練習更具開放性、靈活性和啟發性，學生的思維得到全方位訓練，反思意識的滲透有效而且無痕。

看來，反思不僅僅是“大家再想想”那樣簡單，因為敷衍了事，肯定難以持續和深入。因此，要想反思成為常態，要做到“即時反思”和“專題反思”相映成趣，要關注“反思方法”與“反思意識”的同步推進，還要注重“激趣反思”與“適度反思”的辯證統一，等等。縱觀課堂，這種“悱憤狀態”下獲得的“再認識”是貼近學生實際需要的，富有生命力的，且學生形成的數學態度能持續影響后續的學習。

[本文系南通市“十三五”教育科學規劃2016年度青年專項課題“基于問題驅動的數學化過程的研究”階段性成果（課題編號：QN2016012）。]

（責編 金 鈴）