小學數學建模的方法和意義

邵建國

[摘 要]用數學的語言做表述，并用數學符號、式子、圖形等對抽象的數學知識進行簡單而又簡潔的刻畫，這就是建立數學模型的重要意義，這些意義隨著新課標的提倡成為每一位小學數學教師在教學中深思的問題。

[關鍵詞]小學數學;建模;方法

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）14-0091-02

數學建模隨著《義務教育教學課程標準（2011年版）》的倡導，日益滲入小學數學教學的領域。什么是數學模型，如何有效引導小學生建立數學模型，在小學推廣建模有什么重要意義？這是本文要探究的問題。

一、數學模型和數學建模的概念初探

模型這個概念其實并不深奧，《現代漢語詞典》解釋：模型是依照實物的形狀和結構按比例制成的物品，多用來展覽或實驗。將模型遷移到數學上來，就是用數學的語言對客觀事物（或者是一部分）進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物。接著數學領域又由模型這個概念發展了另一個概念——建模。其實就是建立模型。

不同的人對于建模這個概念都有不同的認識。例如《普通高中數學課程標準》中認為，數學建模是運用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程，已經成為不同層次數學教育的重要內容和基本內容。葉其孝在《數學建模教學活動與大學數學教育改革》一書中認為 ，數學建模就是應用數學模型來解決各種實際問題的方法，也就是通過對實際問題的抽象、簡化，確定變量和參數，并應用某些規律建立有變量和參數的數學問題（也可稱為一個數學模型），并解釋、驗證所得到的解，從而確定能否用于解決實際問題的多次循環、不斷深化的過程。有人又對這兩個定義進行了比較，想仔細分析它們之間的不同。其實沒有這個必要，這兩個概念大同小異，就是“運用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程”。數學的公式、定理本身就是一種模型。但是有一點值得注意，模型是聯系實際問題與結果的橋梁，模型從實際問題中歸納、提煉而來，最終為生活中的實際問題服務，它是解決實際問題的工具。

二、讓小學生充分體驗數學建模的過程

著名數學家華羅庚認為：“我們在進行教學時，對于書本上某些原理、定律、公式等，不能只讓學生記住，還要讓他們明白這些內容是怎么來的。”其實這就是數學建模的過程。學生只有經歷了這樣的探索過程，數學思想、方法才能沉積、凝聚，從而發揮更大的智慧價值。

例如，在進行“圓錐體積”公式教學時，筆者給學生提供了多個圓柱形、長方體、正方體和圓錐形的空盒（其中圓柱和圓錐有等底等高關系的，有不是等底等高關系的，圓錐與其他盒子形體沒有等底或等高關系的）、沙子等學具，讓學生分小組動手實驗。筆者引導學生自主探究、合作交流，對學習材料、學習發現、學習過程主動歸納、提升，最終構建數學模型。學生在建模的過程中發現“圓錐的體積等于與它等底等高的圓柱體積的[13]”這一模型。之后筆者讓學生再進行操作驗證這一模型。

在整個教學過程中，筆者作為教學活動的組織者和引導者，負責必要的幫扶工作。學生需要從提供的材料中通過實驗進行建模和驗證。學生通過不斷猜測、驗證、修訂、再猜測、再驗證的過程逐步以抽象概括方式自主總結出圓錐體積的計算公式。這樣的教學不僅發展了學生的統籌能力，更讓學生體驗到數學建模的思維過程，同時在時而獨立思考、時而小組合作中體會到數學學習的樂趣，發展了數學素養。

三、運用模型進行數學問題的求解

模型一旦建立之后，就會發揮巨大的智慧價值。教師在課堂上可以引導學生把模型的價值充分利用起來，這能起到啟迪智慧、培養數學素養的功效。

例如，在幾何圖形應用的練習題中，第一題：如圖1所示，正方形的面積是16平方米，求圓的面積。第二題：如圖2所示，一個正方形的頂點都在一個圓上，正方形的面積是40平方厘米，這個圓的面積是多少平方厘米？第三題：如圖3所示，已知正方形面積是40平方厘米，如果在正方形里面畫一個最大的圓，這個圓的面積是多少？

經過筆者的引導，學生思考動手建立模型后，針對第一題，學生得出圓的面積=π×正方形面積。這樣，建模的過程就完成了，學生只要建立一個計算模型，再利用這個模型就可以求出一些幾何圖形的變形題或者拓展題。針對第二題，可以畫出正方形互相垂直的兩條對角線，然后把其中一個小三角形中與另外一個小三角形合并成一個小正方形，這樣這個小正方形與圓就形成了一個新模型，從而能夠利用新模型進行求解。運用同樣的思想方法，第三題可以經過圓心分別畫出垂直于正方形兩條邊的垂線段，這樣就把一個大的正方形劃分為4個小正方形，而每一個小正方形與圓就構成了圖1的模型，再利用模型來解答，就不難求出第三題的答案了。

這個案例充分說明了用模型求解的重要意義。一旦教師引導學生探究出一個數學模型后，它的思想價值是非常巨大的。在解題時，只要學生認真觀察、善于發現、善于聯系轉化，就能夠利用模型進行求解，從而獲得巨大的學習樂趣。

四、數學模型在生活中的實際應用

新課標指出：義務教育階段的數學課程處于公共基礎的地位，教師要著眼于提高學生的整體素質，促進學生全面、持續、和諧發展。課程設計要滿足學生未來生活、工作和學習的需要。從這個方面講，數學學習最終的目的就是解決實際問題，因此在運用數學思想進行建模的時候，最后還是要以在生活中的實際應用為標準。

例如，當教師指導學生建立了路程、時間和速度三者的關系模型之后，就可以讓學生利用騎自行車的方法測量從家到學校的距離，甚至還可以通過自然規律來判斷高跟鞋的高度為多少適合。大家都知道，自然規律中有一個黃金比例，這個比例在很多時候都于無形中發揮著作用，例如，什么樣的身材才能給人賞心悅目的感覺呢？答案就是人的下半身長度與身高之比應符合黃金比例。這時候可以引導學生用L代表身高，用h代表下半身長度，用x代表高跟鞋的高度，即當h+x[∶]L+x=0.618的時候，身材最完美。這個等式就是一個身材模型。用這個模型可以在生活中指導女士挑選適合自己身材的高跟鞋。

諸如此類的問題還有很多，例如，根據一輛轎車的占地面積與轎車的數量，估算出一個停車場大致的面積;用按揭貸款的模型去思考買房中的數學問題;用統計中的模型快速統計出班干部選舉的結果……從這些內容中不難發現數學建模在生活中的重要意義，教師要善于用數學模型引導學生在生活中發現數學，從而培養學生學習數學的興趣和素養。

總之，小學數學建模對于學生的生活有著重要的意義，教師要以新課標理念為指導，充分調動學生的積極性，用科學的方法引導學生建立數學模型，并讓學生在課堂和課后生活中運用模型解決問題，以提高小學數學教學的效果。

（責編 覃小慧）