被閑置的輔助圖……

梅琳

[摘 要]小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有許多輔助圖，如果利用得當(dāng)，這些圖形不僅能起到直觀展示轉(zhuǎn)化過程的作用，而且能提高計(jì)算精度、簡化計(jì)算，強(qiáng)化學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識。

[關(guān)鍵詞]傳統(tǒng);圓柱體;長方體;表面積;體積

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）14-0054-01

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有許多輔助圖，但在總結(jié)公式、定律時，這些輔助圖往往被擱置一旁，無人問津。如蘇教版教材第十二冊“圓柱的體積”中就有一幅輔助圖（如圖1），教師如果能巧妙運(yùn)用該圖來解析相關(guān)難點(diǎn)，就能使教學(xué)思路清晰、流程簡潔，大大提高課堂教學(xué)效率。

一、傳統(tǒng)方法遇到難題

【案例1】圓柱的側(cè)面積為36平方分米，底面直徑為2分米，求該圓柱的體積。多數(shù)學(xué)生是先求圓柱的高，得出[36÷（3.14×2）≈5.732]（分米），再求圓柱的體積，得出[3.14×（2÷2）2×5.732≈17.998]（立方分米）。

【分析】圓柱的側(cè)面展開后其實(shí)是一個長方形，一條邊為圓柱的高，另一條邊為圓柱底面的周長。利用長方形的面積公式，根據(jù)等量代換，用側(cè)面積除以底面周長就可以得出圓柱的高。當(dāng)除不盡時，得數(shù)取近似值，一般保留三位小數(shù)（課本明文建議）。最后，根據(jù)圓柱體積公式“底面積×高”，求出體積。

這種解題方法本身是正確的，如果側(cè)面積剛好能被底面周長整除，那再好不過。但是，這道題在求側(cè)面積與底面周長的商，即求圓柱的高時無法整除，要取近似值，而后這個近似值被用于第二步計(jì)算中，導(dǎo)致第二步計(jì)算一開始就數(shù)據(jù)失實(shí)，計(jì)算出的圓柱體積就會存在一定誤差。如果學(xué)生在第一步時能用分?jǐn)?shù)[900157]表示圓柱的高，以此作為第二步計(jì)算的原始數(shù)據(jù)，那么最終計(jì)算結(jié)果的精確度就會更高。

二、另辟蹊徑研究轉(zhuǎn)化圖

除此之外，還有沒有更加簡便易行的辦法？

如圖1，圓柱側(cè)面積的一半其實(shí)就是變形后的長方體的正面面積，長方體左右兩個面各是圓柱經(jīng)過中軸線的縱切面的一半，長方體上下兩個面分別是圓柱的上底面和下底面。這樣就可以把長方體的正面視為底面，寬視為高，按照長方體體積公式列式，得[362×22=18]（立方分米）。故圓柱的體積是18立方分米。

這種方法的優(yōu)勢是列式簡潔利落、結(jié)果準(zhǔn)確，缺點(diǎn)是分析時思維較復(fù)雜。但實(shí)踐證明，只要教師引導(dǎo)學(xué)生對輔助圖分析到位，學(xué)生完全可以接受這種方法。

【案例2】圓柱的側(cè)面積是50.24平方厘米，高和底面半徑相等，它的表面積是多少？學(xué)生這樣解答：（1）（借助方程先計(jì)算出底面半徑的平方）設(shè)圓柱底面半徑和高都為r厘米，則[3.14×2×r×r=50.24]，[6.28r2=50.24]，[r2=8];（2）（計(jì)算圓柱上下底面的面積之和）[3.14×8×2=50.24]（平方厘米）;（3）（計(jì)算整個圓柱的表面積）50.24+50.24=100.48（平方厘米）。

【分析】先利用公式求出半徑的平方，再求出上下底面的面積之和，最后加上側(cè)面積計(jì)算表面積，條理分明、思路明朗，但是步驟煩瑣，且由于學(xué)生不懂開方為何物，所以止步于求出r[2]，沒有求出r，學(xué)生理解起來比較困難。

筆者認(rèn)為，該題也可以利用輔助圖來簡化算式。如圖1，長方體的正面面積等于圓柱側(cè)面積的[12]，因?yàn)檎婧捅趁嫒龋运鼈兊拿娣e之和剛好等于圓柱側(cè)面積。又因?yàn)閳A柱的高和半徑相等，于是可以推理出長方體左右兩個面的形狀都為正方形且面積為r[2]，兩者的面積之和為2r[2];上下兩個面對應(yīng)圓柱的上底面和下底面，面積分別為[π]r[2]，加起來為2[π]r[2]，而側(cè)面積也等于2[π]r[2]，所以圓柱體的表面積等于側(cè)面積乘2，列式為50.24[×]2=100.48（平方厘米）。

三、靈活使用教學(xué)材料滲透數(shù)學(xué)思想方法

關(guān)于使用圓柱體積公式輔助圖，筆者有兩點(diǎn)思考：

1.現(xiàn)實(shí)生活中存在各種教學(xué)材料，教師如果運(yùn)用得當(dāng)，就能激發(fā)學(xué)生興趣，使學(xué)生熱情地參與到思考活動中來。教師應(yīng)合理利用各種教學(xué)材料，包括靈活處理課本中的現(xiàn)成材料，以及對教材中的一些經(jīng)典素材進(jìn)行加工變造、改頭換面，使之發(fā)揮新的作用。

2.教師在教學(xué)中要有意識地加強(qiáng)對數(shù)學(xué)思想方法的滲透。數(shù)學(xué)思想是人們在長期處理數(shù)學(xué)問題過程中積累出來的具有普適性的一般思維方法，數(shù)學(xué)方法是指某一數(shù)學(xué)思想在某一個案例中的具體外在形式，即用這種思想解決這類問題的手段和流程。數(shù)學(xué)思想方法是一種軟技能，教師應(yīng)該在教學(xué)中大力開發(fā)這個“軟件”的功能，使之更好地服務(wù)于數(shù)學(xué)教學(xué)。

總之，可供利用的教學(xué)材料豐富多樣，教師應(yīng)學(xué)會利用輔助圖，創(chuàng)造性地使用教材，使教學(xué)更加科學(xué)順暢。

（責(zé)編 吳美玲）