淺談中考熱點(diǎn)“隱形圓”模型的應(yīng)用

楊格瑞

摘 要：陜西省近幾年的中考?jí)狠S題，“隱形圓”成為出題人更加青睞的考點(diǎn)。“隱形圓”通常活躍于各校模擬試題，因難度系數(shù)大，學(xué)生不易接受，所以得分率一直都很低.因其考點(diǎn)新穎，有創(chuàng)新又不失難度，所以在近幾年的陜西中考中也開始陸續(xù)出現(xiàn)了關(guān)于“隱形圓”的問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：“隱形圓”;定點(diǎn)加定長(zhǎng);定邊對(duì)定角;最值;中考?jí)狠S題

一、問(wèn)題提出

出現(xiàn)“隱形圓”的情況無(wú)外乎就是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，線段最值、面積最值、周長(zhǎng)最值。但在題目中，往往不會(huì)直接出現(xiàn)“隱形圓”，需要去做輔助線，對(duì)于幾何問(wèn)題，困難的往往不在于本身題目的難度，而在于輔助線的思考。那么什么時(shí)候出現(xiàn)做輔助線是圓呢？一個(gè)圓的輔助線又是怎樣做出的？筆者對(duì)近幾年陜西中考?jí)狠S題潛心研究，得出了一些關(guān)于“隱形圓”的方法。

二、“隱形圓”存在的條件

1.圓的定義。在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓。定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑，那到到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡就是一個(gè)“隱形圓”，所以就可以得出“隱形圓”存在的第一個(gè)條件：定點(diǎn)加定長(zhǎng)，產(chǎn)生“隱形圓”。（如圖1）

2.圓周角定理推論。同弧所對(duì)的圓周角相等。但在一個(gè)三角形中，如果知道一條邊和這條邊所對(duì)的角，那么利用圓周角定理推論得出點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是在雙弧上。所以就可以得出“隱形圓”存在的第二個(gè)條件：定邊對(duì)定角，產(chǎn)生 “隱形圓”。（如圖2）

三、圓中最值模型的建立

1.點(diǎn)到圓上的最值（如圖3）

結(jié)論：點(diǎn)到圓上點(diǎn)，共線（點(diǎn)，圓心）有最值

2.線到圓上點(diǎn)的最值（如圖4）

結(jié)論：線到圓上點(diǎn)，過(guò)圓心向直線作垂線有最值。

四、利用“隱形圓”數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問(wèn)題

1.利用“定點(diǎn)加定長(zhǎng)”，做“隱形圓”

若圖形中出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)不動(dòng)，為定點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)出發(fā)的線段是定值，則利用圓的定義，得到這個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，所以破解此類題的核心是利用“定點(diǎn)加定長(zhǎng)”，做“隱形圓”。如：翻折問(wèn)題

例1、如圖5，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△AEF沿EF所在直線折疊得到△GEF，連接GC，則GC長(zhǎng)度的最小值是（ ? ? ? ? ）。

本題作法：

如圖所示：點(diǎn)E為定點(diǎn)，不管怎么折，EG=EA=1，根據(jù)折疊的性質(zhì)，△AFE≌△GFE，利用“定點(diǎn)加定長(zhǎng)”，做“隱形圓”，所以點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是以E為圓心，EG=1為半徑的隱形圓，當(dāng)G、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值為。

2.利用“定邊對(duì)定角”，做“隱形圓”

若幾何動(dòng)態(tài)圖形中始終有出現(xiàn)一條邊是定值，它所對(duì)的角度數(shù)不變，那么這個(gè)角的頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是“隱形圓”的雙弧。所以破解此類題的核心是利用“定邊對(duì)定角”，做“隱形圓”。

例2、（2017年陜西省中考第25題第3問(wèn)）如圖6，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)是邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，E從B開始運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)從C開始運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)速度相同，BF，AE交于P，連接PC，求：1.PC的最小值為（ ? ?）2.△ABP面積最大值為（ ? ? ? ）3.△ABP周長(zhǎng)最大（ ? ? ? ? ?）

本題作法：

如圖所示：AB為定值，所對(duì)的∠APB=90°， “定邊對(duì)定角”的“隱形圓”，（1）當(dāng)O、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，PC最小值為。考查的是點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值。（2）求△ABP面積最大值，實(shí)質(zhì)是圓上一點(diǎn)到直線AB的最小值，即線到圓上點(diǎn)的最值，過(guò)圓心做垂線與圓相交，即當(dāng)△ABP為等腰直角三角形時(shí)，△ABP面積最大，最大面積為1.（3）求△ABP周長(zhǎng)最大，實(shí)質(zhì)是點(diǎn)A到圓上點(diǎn)的最值，化折為直將BP通過(guò)等長(zhǎng)截取，存在等腰三角形△BPM， △ABP周長(zhǎng)最大即為AM最大值，存在△ABM的外接圓，當(dāng)AM為直徑時(shí)，周長(zhǎng)最大，有最大值為。

在“隱形圓”方面還需要學(xué)生多多的做練習(xí)，解題時(shí)時(shí)刻牢記定點(diǎn)定長(zhǎng)走圓周，定邊定角跑雙弧，直角必有外接圓，對(duì)角互補(bǔ)也共圓，處理中考?jí)狠S題就可以得心應(yīng)手，游刃有余。

參考文獻(xiàn)：

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[2]邵新虎、王鳳進(jìn)、羅新展.利用幾何畫板探究數(shù)學(xué)問(wèn)題.陜西：北京師范大學(xué)出版社

[3]馬學(xué)斌.挑戰(zhàn)中考?jí)狠S題.上海：華東師范大學(xué)出版社