“以形助數”巧解圓錐曲線離心率

黃瑤

摘 要：離心率是刻畫圓錐曲線性質的一個重要幾何量，是圓錐曲線的一個重要的性質。歷年來，求圓錐曲線離心率的值或其取值范圍，是圓錐曲線客觀題的考查重點，也是高考中解析幾何的高頻考點。因此，在離心率問題二輪復習過程中，除了要加強知識點鞏固、通法訓練，還可特別設置提升微專題，加強數形結合和方程思想的滲透，簡約思維、簡化計算、優化過程，幫助考生提高巧解圓錐曲線離心率問題的能力，進一步提升數學素養。

關鍵詞：圓錐曲線；離心率；數形結合；橢圓

高中數學學習內容多，教學進度快，高中內容學習完結后，學生對眾多知識點的掌握還不夠透徹，因此，需要進行一、二輪復習，梳理所學，強化訓練。大多數文科學生的數學學習水平比理科學生要低，而全國卷對文科的要求卻與理科相當，甚至出現不少同題，由于復習內容多，時間跨度大，如何提升文科數學復習質量，對高中數學教學質量的大面積提高有極其重要的意義。

一年來，經過高考第一輪復習，教師通過帶領學生回歸課本，理清知識系統，夯實基礎，注重思維訓練。一輪復習之后，學生基本能夠掌握高中階段所學的基礎知識、基本方法和解題技能。但這些知識經過梳理，只是加深了理解，還是比較分散和獨立。而全國卷高考的每一考題，都不只是針對一個知識點，往往是幾個知識點的融合，因此要求考生對知識點的掌握是透徹、綜合的。第二輪復習為專題復習，教師必須帶領學生對第一輪復習內容進行整合，使之更具備條理性、系統性和完整性，同時鞏固、提煉，構建高中數學解題的思想方法，最終達到提高解題能力，提升實戰技巧的目的。

本人從教十年，六次經歷高三畢業班教學，始終致力于探索精準教學，提升復習效率的方法。微專題的特點是“切入點小、角度新穎、有很強的針對性”。微專題復習可以從一個定理、一個公式、一種方法入手，也可以從學生的易錯點展開，單獨授課或在復習課上穿插講解，形式也可以多樣化，常態課、微課等，針對一個高頻考點或典型問題，一題多解開拓思維，變式訓練舉一反三，都可以很大程度提升學生的數學思維，對于學生知識的掌握和應用也是很有幫助的。

離心率是刻畫圓錐曲線性質的一個重要幾何量，是圓錐曲線的一個重要的性質。歷年來，求圓錐曲線離心率的值或其取值范圍，是圓錐曲線客觀題的考查重點，也是高考中解析幾何的高頻考點。本文主要針對求解圓錐曲線的離心率的值或其取值范圍進行微專題復習，探索離心率的巧解策略。接下來，通過幾道典型問題的解析說明，和大家一起探索“以形助數”巧解圓錐曲線離心率的策略。

例1.設橢圓C： + =1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1、F2，過F2作x軸的垂直線與C相交于A、B兩點，F1B于y軸相交于點D，若AD⊥F1B，則橢圓C的率心率等于 。

解法一：不妨設點A在X軸上方，則令x=c，得A（c， ）、B（c，- ）

∵F1（-c，0），則直線F1B的方程為：y=- （x+c）

令x=0，則y=- ，∴D（0，- ）

∴ =（-c，- ）， =（2c，- ）

∵AD⊥F1B，∴ · =0？圯-2c2+ =0

？圯3b4=4a2c2？圯3（a2-c2）=4a2c2？圯3c2-10a2c2+3a4=0

？圯3e4=10e2+3=0？圯（3e2-1）（e2-3）=0

∵0

評注：解法一先利用F1、B的坐標求出直線F1B的方程，并利用“F1B于y軸相交于D”求出D點坐標，從而確定向量 和 的坐標，最后根據向量垂直的坐標運算公式得到關于a，b，c的齊次式，進而得到關于e的一元方程，并根據橢圓離心率的取值范圍確定e的取值。用這樣的求解方式，思路易得，計算過程較復雜，但無疑較全面地考查了學生的數學基本功。

思考：確定D點坐標，除了利用直線方程，還能不能通過圖的特征尋求更快捷的方式呢？

解法二：由題意可知：A（c， ）、B（c，- ）、F1（-c，0）

∵AB//y軸，D為F1B的中點∴D（0，- ）

（以下同解法一，利用 · =0？圯e）

評注：解法二利用了圖像特征，利用中點坐標公式，快速得出D點坐標，簡化了計算，體現出數形結合的優勢。

思考：既然易知D為中點，還有沒有其他方式列出a，b，c的齊次式，從而求解出e呢？

解法三：由題意易知AD是△ABF1的垂直平分線。

∴AF1=AB，即AF12=AB2

∴（2c）2+（ ）2=（ ）2？圯4c2+ = ？圯4c2=

？圯4c2= ？圯3c4-10a2c2+3a4=0

？圯3e4-10e2+3=0？圯e=

評注：解法三利用垂直平分線的性質，得到線段相等的結論，從而根據兩點間的距離公式，得出a，b，c的齊次式，從而求解出e，再次體現出數形結合的優勢。

例2.已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足 · =0的點M總在橢圓內部，求橢圓離心率的取值范圍。

解析：∵ · =0，易知點M的軌跡為以F1F2為直徑的圓，且半徑為c。

設P為橢圓上任意一點，則OP≥b>c

∴b2>c2？圯a2-c2>c2？圯a2>2c2？圯0

評注：本例從 · 入手，構造出以F1F2為直徑的圓，并根據題意結合圓與橢圓的幾何性質，找出不等關系，綜合性較強，要求學生對動點軌跡有深刻理解，對圖形幾何特征掌握到位，并將知識融會貫通。本例也充分體現了數形結合在求解離心率取值范圍問題中的巧妙應用。

例3.已知雙曲線 - =1（a>0，b>0）的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個焦點，則此雙曲線的離心率的取值范圍（ ）

A.（1，2] B.（1，2） C.[2，+∞） D.（2，+∞）

解析：如圖所示，作l1和l2分別與雙曲線的兩條漸近線平行，直線l為過F且傾斜角為60°的直線.

要使l與雙曲線的右支有且只有一個交點，

則 ≥tan60°= ，e= ≥2

評注：此處利用雙曲線的幾何性質，用所給定的直線和漸近線的關系確定漸近線斜率的范圍，從而求出離心率的范圍，數形結合，簡化計算。

例4.已知雙曲線C： - =1（a>0，b>0）的右焦點為F，左頂點為A.以F為圓心，FA為半徑的圓交C的右支于P、Q兩點，△APQ的一個內角為60°，則C的離心率（ ）

A. B. C. D.

解析：如圖，設左焦點為F1，設圓與x軸的另一個交點為B，由題意可知，△APQ是等邊三角形∠PAB=30°

∵在圓F中，PA⊥PB，∴∠PFB=60°

且FA=FP=FB=PB=a+c

∴∠AFB=120°

由雙曲線定義可知：PF1-PF=2a，∴PF1=3a+c

在△PFF1中，由余弦定理得：

PF12=PF2+FF12-2PF·FF1·cos120°

（3a+c）2=（a+c）2+（2c）2-2·（a+c）·2c·（- ）

整理得：3c2-ac-4a2=0？圯3e2-e-4=0

∵e>1，∴e=

評注：本題利用雙曲線及圓的幾何性質，結合雙曲線的定義確定線段長，并在三角形中利用余弦定理構造關于a，c的齊次式，從而求解出雙曲線的離心率。整道題解答過程充分體現了用圖的重要性，足見數形結合的思想方法在解題中的重要應用。

例5.若F（c，0）是雙曲線 - =1（a>b>0）右焦點，過F作該雙曲線一條漸近線的垂線，與兩條漸近線交于A、B兩點，0為坐標原點，△0AB的面積為 ，則該雙曲線的離心率e=（ ）

A. B. C. D.

分析：本題可利用點斜式求得直線AB的方程，聯立直線AB與兩漸近線方程可分別解得點A、B的坐標，并利用面積建立關于a、b、c的齊次式，求得e。但坐標運算及面積計算顯然很復雜，不是最佳的解題辦法.不妨分析圖形，找出圖形特征，借助雙曲線及直角三角形的結合特征，尋求巧解本題的方法。

解析：設雙曲線漸近線y= x的傾斜角為α，

∵a>b>0，∴0< <1，則0<α<45°

由圖可知，BF是F（c，0）到漸近線y= x的距離，則BF=b，

又∵OF=c，則在Rt△OBF中，OB= =a

在Rt△OBF中，∠AOB=2α，且tanα=

則tan∠AOB=tan2α= =

∴S△AOB= ·a· = ？圯 = ，∴e=

評注：本題求解離心率的關鍵在于利用圖形建立a，b，c三者的關系式，利用圖形的幾何性質簡化計算，但圖形特征和幾何性質的尋求是學生的難點，教師在教學過程中注重引導、啟發，讓學生逐漸滲透數形結合的數學思想方法。

以上5道典型例題，無不反映出數形結合在求解圓錐曲線離心率中的重要應用。通過數形結合，找出等式或不等關系，往往可以起到事半功倍的效果。

縱觀十年高考全國卷及各地模擬試題，圓錐曲線離心率或離心率的取值范圍，無疑是高頻考點，題型多樣，不斷翻新，內涵豐富，立意新穎。大部分題型以客觀題的形式出現，其中有些題目綜合性強，解法極富靈活性。因此，在離心率問題二輪復習過程中，除了要加強知識點鞏固、通法訓練，還可特別設置提升微專題，加強數形結合和方程思想的滲透，簡約思維、簡化計算、優化過程，幫助考生提高巧解圓錐曲線離心率問題的能力，進一步提升數學素養。

總之，“微專題”是對“做、評、論、談”畢業班復習模式的有益補充和完善。同時對教師提高了要求，促進教師研究、思考、總結，是作為促進教師更快成長的有效途徑之一。潛心研究高考題，理出高考常考點，根據學情，針對重點知識點的薄弱環節、難點知識點的突破口進行研究，精心設計教學環節，并以微專題進行強化和突破，幫助學生及時鞏固復習內容，補缺補漏，夯實基礎，提高解題能力和解題技巧，這樣的授課方式更高效。這種高三微專題復習方式有利于學生突破學習困惑，彌補漏洞，提高學習成績，值得高三老師深入研究。

參考文獻：

[1]劉蘭華.剖析圓錐曲線離心率的求法[J].中學數學（高中版），2014（3）.

[2]武增明.求解圓錐曲線離心率的四種數學意識[J].數學金刊（高考版），2018（4）.

編輯 王彥清