數(shù)學(xué)試題“不會(huì)解”現(xiàn)象的剖析及反思

陳銀會(huì)

摘 要：從學(xué)生對(duì)一道試題“不會(huì)解”各種現(xiàn)象進(jìn)行剖析，反思教師教學(xué)應(yīng)關(guān)注的問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：“不會(huì)解”現(xiàn)象 剖析反思

作為中學(xué)生，天天都在解數(shù)學(xué)題，作為數(shù)學(xué)老師，天天都在關(guān)注學(xué)生解題的結(jié)果。最近，筆者在對(duì)學(xué)生進(jìn)行高一期末復(fù)習(xí)過(guò)程中，對(duì)學(xué)生解一道數(shù)學(xué)試題出現(xiàn)“不會(huì)解”現(xiàn)象進(jìn)行剖析，反思我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)關(guān)注的問(wèn)題。

原題展示：例. 若則=_____

現(xiàn)象1：部分學(xué)生對(duì)已知條件不知如何入手。教師啟發(fā)問(wèn)“”之間有什么關(guān)系，學(xué)生回答不上來(lái)。

剖析：出現(xiàn)這類(lèi)現(xiàn)象的原因是學(xué)生關(guān)于同角三角函數(shù)的基本知識(shí)點(diǎn)：平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系不具備，所以解題無(wú)從下手。

反思：這類(lèi)學(xué)生是因?yàn)榛A(chǔ)知識(shí)有漏洞。不理解運(yùn)算對(duì)象導(dǎo)致不會(huì)解。解題研究的一代宗師波利亞說(shuō)過(guò)：“貨源充足和組織良好時(shí)的知識(shí)倉(cāng)庫(kù)是一個(gè)解題者的重要資本”，數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)能力密不可分。數(shù)學(xué)知識(shí)是形成數(shù)學(xué)能力基礎(chǔ)。章建躍博士說(shuō)：“無(wú)知者無(wú)能”，對(duì)學(xué)生而言，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力主要來(lái)自于課堂教學(xué)。所以我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，完善數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的體系，使學(xué)生能夠理解運(yùn)算對(duì)象。

現(xiàn)象2：部分學(xué)生在練習(xí)本中寫(xiě)出“”，然后不知所向。

剖析：出現(xiàn)這類(lèi)現(xiàn)象的原因是學(xué)生不具備方程思想。沒(méi)有意識(shí)到由已知等式與平方關(guān)系聯(lián)立，可得關(guān)于的二元方程組進(jìn)行求解得出：

進(jìn)而根據(jù)商數(shù)關(guān)系得出。

反思：數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是認(rèn)識(shí)具體數(shù)學(xué)概念、命題、規(guī)律、方法等的過(guò)程中提煉概括的基本觀點(diǎn)和根本想法，是數(shù)學(xué)活動(dòng)的指導(dǎo)思想。方程思想是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為方程，再具體用消元法使得問(wèn)題得到求解。我們?cè)诮虒W(xué)中，不僅要給學(xué)生基本知識(shí)點(diǎn)，還應(yīng)積極提煉滲透學(xué)科思想。

現(xiàn)象3：部分學(xué)生想到對(duì)原式兩邊進(jìn)行平方，得到：

，然后不知所向。

剖析：這類(lèi)學(xué)生欠缺的是基本問(wèn)題的解題方法。這個(gè)基本問(wèn)題就是三角求值中關(guān)于正（余）弦“齊次式”的求值問(wèn)題：通過(guò)利用平方關(guān)系把原式變形為：

然后分子、分母同除以余弦平方可得：

解此方程可得：。

反思：解題方法需要解題實(shí)踐來(lái)強(qiáng)化，解題經(jīng)驗(yàn)的積累，有助于直覺(jué)性題感的形成。這一策略體現(xiàn)了化歸的思想，同時(shí)，它還是類(lèi)比、聯(lián)想思維活動(dòng)得以展開(kāi)的基礎(chǔ)，并與直覺(jué)相練習(xí)。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，積累“基本問(wèn)題”也就成為提高這一策略效率的捷徑。

現(xiàn)象4：部分學(xué)生想到輔助角公式對(duì)原式進(jìn)行變形，得到：，即，然后不知所向。

剖析：這類(lèi)學(xué)生是因?yàn)閷?duì)輔助角公式?jīng)]有理解，生搬硬套。遇到非特殊值就不會(huì)了。具體求解過(guò)程如下：

反思：在進(jìn)行數(shù)學(xué)公式、定理、法則、性質(zhì)教學(xué)時(shí)，要幫助學(xué)生熟記公式、定理、法則、性質(zhì)，更要讓學(xué)生明確知識(shí)產(chǎn)生的前因后果，來(lái)龍去脈和內(nèi)在聯(lián)系。性質(zhì)、公式、法則成立的條件和適用范圍。建立在理解基礎(chǔ)上的記憶才是有效的、靈活的。

現(xiàn)象5：只有極少數(shù)學(xué)生想到了利用三角函數(shù)的定義將原式變形為：。然后不知所向。

剖析：這類(lèi)學(xué)生首先缺乏解題的目標(biāo)意識(shí)，不知道正切函數(shù)的定義。或者不知道如何由得到結(jié)果，其本質(zhì)缺乏方程思想與轉(zhuǎn)化思想。只要意識(shí)到上述等式即為x，y的方程，即可通過(guò)計(jì)算得到x與y的關(guān)系，從而使問(wèn)題得到求解。具體計(jì)算如下：

兩邊平方可得：

反思：在進(jìn)行解題教學(xué)時(shí)，要訓(xùn)練學(xué)生解題的目標(biāo)意識(shí)。即首先我們必須清楚要求的是什么？其次，我們必須了解已知與所求之間有怎樣的聯(lián)系？然后再在已知到所求之間探求運(yùn)算的方向與途徑。選擇運(yùn)算方法，進(jìn)而求得運(yùn)算結(jié)果。

課堂教學(xué)是學(xué)生獲取知識(shí)的重要場(chǎng)所。而學(xué)生對(duì)一個(gè)問(wèn)題的理解水平有差異。思維方向也各有不同，我們不能強(qiáng)制所有同學(xué)想法一致。所以，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)注意引導(dǎo)和觀察，立足于學(xué)生思維“最近發(fā)展區(qū)”，拓展學(xué)生思維的深度與廣度。