蹊徑通幽處，精彩別樣來

丁建娣

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?在雙曲線軌跡問題的教學中，發(fā)現(xiàn)學生不能正確解釋軌跡方程xy=±k（k>0）是雙曲線的屬性，由此引發(fā)思考，通過建系角度轉換、雙曲線性質(zhì)深度探究、函數(shù)y=x+■（x≠0）圖象屬性廣度拓展以及跨度梳理，溝通了解析幾何與函數(shù)的關系，從而提升學生對數(shù)學的統(tǒng)一性認知，養(yǎng)成數(shù)學學習的良好思維品質(zhì)。

[關 ? ?鍵 ? 詞] ?函數(shù);雙曲線;挖掘

[中圖分類號] ?G712 ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻標志碼] ?A ? ? ? ? ? ?[文章編號] ?2096-0603（2019）14-0102-02

在高中階段的解析幾何雙曲線教學中，筆者重新引用了曲線與方程的一個例題：點M與兩條互相垂直的直線的距離的積是常數(shù)k（k>0），求點M的軌跡方程.這道題的常規(guī)解法，我們都很自然地以這兩條互相垂直的直線作為x軸、y軸，得到點M的軌跡方程為xy=±k（k>0）。但是在探究點M的軌跡時，學生無法解釋xy=±k（k>0）是雙曲線的屬性，由此引發(fā)了筆者的思考。筆者在教學過程中，通過建系角度轉換、性質(zhì)深度探究以及函數(shù)y=x+■（x≠0）廣度拓展與跨度梳理，溝通了解析幾何與函數(shù)的關系。

一、角度轉換，認識雙曲線

從軌跡方程xy=±k（k>0）入手考慮問題，學生很快轉化到函數(shù)y=■（k≠0）的形式，而函數(shù)是初中階段已經(jīng)學習過的反比例函數(shù)，初中數(shù)學教材中，已明確給出結論：函數(shù)的圖象是雙曲線，比例系數(shù)k的代數(shù)意義是反比例函數(shù)圖象上的點（x，y）具有兩坐標之積為常數(shù)的特征，幾何意義是圖象上任意一點向兩坐標軸作垂線，兩垂線與坐標軸圍成的矩形面積為k。若以函數(shù)觀點分析，無法抓住軌跡的屬性，可能時間耗盡卻收效甚微。我們不妨換個視角，通過角度變換來建系，使得軌跡的屬性簡單點。

解：如圖1，分別以這兩條互相垂直的直線的角

平分線作為x軸、y軸，則l1：x-y=0，l2：x+y=0。

設動點M（x，y），由題意可得

■·■=k， ∴|x2-y2|=2k2，

∴■-■=1或■-■=1。

對兩條確定的直線l1和l2，點M的軌跡是確定的。由于建系的不同，我們求得的軌跡方程形式上也不同，但這不會改變圖象的形狀，故課本中求得的曲線xy=±k（k>0）也是兩條雙曲線，而且是一對共軛雙曲線。這里我的感觸頗深，這種建系方法一般我們不會考慮，但其實如此建系不也一般嘛，中間的運算量也不算大，最主要地是輕松解決了我們的問題。

二、深度探究，研析雙曲線

通過建系角度的變換，我們發(fā)現(xiàn)直線l1、l2是求得雙曲線的兩條漸近線，而這兩條漸近線具有互相垂直的特點，那么我們在反思問題解決的過程時，提出了：

問題一：與兩條相交直線的距離的積是常數(shù)k（k>0）的點的軌跡是一對共軛雙曲線，這兩條相交直線是它們的漸近線。

證明：如圖2，以AB、CD的交點為原點O，以∠AOD角平分線所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，設動點M（x，y），

AB∶y=mx CD∶y=-mx（m是常數(shù)，m>0），

由題意可得，■·■=k，化簡得

■-■=1或■-■=1.

∵這兩條雙曲線是共軛雙曲線，且漸近線是y=±m(xù)x，∴求證結論成立。

問題二：雙曲線上的任一點到它的兩條漸近線的距離之積

是常數(shù)。

證明：如圖3，選擇雙曲線：■-■=1（a>0，b>0）研究雙曲線這一幾何性質(zhì)，漸近線：bx±ay=0。

設m（x，y）是雙曲線：■-■=1（a>0，b>0）上任一點，則得b2x2-a2y2=a2b2。

∴點M到雙曲線的兩條漸近線的距離之積

■·■=■=■，∴求證結論成立。

綜合問題一、問題二可得：

（Ⅰ）與兩條相交直線的距離的積是常數(shù)k（k>0）的點的軌跡是一對共軛雙曲線，這兩條相交直線是它們的漸近線。該結論可作為共軛雙曲線的定義和雙曲線漸近線的定義，對教材中雙曲線漸近線的描述性定義進行了突破，前者更可用于對曲線形狀的判斷。

（Ⅱ）雙曲線上的任一點到它的兩條漸近線的距離之積為常數(shù).這一關系反映了雙曲線的一個幾何性質(zhì)，也反映了雙曲線和它的漸近線之間的緊密聯(lián)系。

三、廣度拓展，挖掘雙曲線

從函數(shù)y=x+■（x≠0），到函數(shù)y=x+■，再到一般函數(shù)y=ax+■（x≠0），其中（a>0，b≠0，a、b是常數(shù)），我們在研究完它的單調(diào)性后，對其函數(shù)圖象形狀或者避而不談，或者直接通過函數(shù)的一些性質(zhì)畫草圖，對圖象的本質(zhì)屬性問題總是存在一定的欠缺。

通過對（Ⅰ）、（Ⅱ）兩個結論的探討，現(xiàn)在我們可以明確地說，函數(shù)的圖象是雙曲線。函數(shù)y=ax+■（x≠0）和y=ax-■（x≠0）的圖象是一對共軛雙曲線，其中a>0，b>0，a、b是常數(shù)，直線y=ax和y=0是它們的兩條漸近線。

證明：設M（x，ax+■）是函數(shù)y=ax+■（x≠0）上任一點，點M到直線x=0的距離d1=x，M到直線y=ax的距離d2=■=■

∴點M到直線x=0和直線y=ax的距離之積

d1×d2=■為常數(shù)。

同理可證，函數(shù)y=ax-■（x≠0）也具有以上性質(zhì)。

由（Ⅰ）、（Ⅱ）的兩個結論可知：函數(shù)y=ax+■（x≠0）和y=ax-■（x≠0）的圖象是一對共軛雙曲線，其中a>0，b>0，a、b是常數(shù)，直線y=ax和x=0是它們的兩條漸近線，突破了對以上兩個函數(shù)圖象形狀確定的難點。

四、跨度梳理，融通雙曲線

平面解析幾何是用代數(shù)方法研究平面幾何問題的一門學科，平面解析幾何通過平面直角坐標系，建立點與實數(shù)對之間的一一對應關系以及曲線與方程之間的一一對應關系，運用代數(shù)方法研究幾何問題，或用幾何方法研究代數(shù)問題。代數(shù)式與幾何圖形水乳交融，合為一體。而函數(shù)在代數(shù)中扮演著十分重要的角色，尤其在高中數(shù)學的學習中具有提綱挈領的作用。而函數(shù)學習，函數(shù)圖象是研究的手段，與函數(shù)密切聯(lián)系，如影隨形.數(shù)學的學習是一個從“特殊→一般→特殊”不斷演變、不斷發(fā)展的過程，上述兩者之間的關系可通過“函數(shù)解析法y=f（x）（x∈A）的表示”與“曲線及其方程概念的理解”來加以區(qū)別。從這一點上來看，我們可以說函數(shù)內(nèi)容是平面解析幾何內(nèi)容的特殊情況，形象地用韋恩圖加以描述，如圖5。

筆者認為，無論是我們教師自身的學習還是指導學生的學習都應該源于課本，又高于課本。對問題的思考不是淺嘗輒止，拘泥于某些定性思維，而是倡導創(chuàng)新思維，敢于打破常規(guī)分析問題，蹊徑通幽解決問題。我們應經(jīng)常有意識地鼓勵學生對一些看起來“風馬牛不相及”的知識內(nèi)容進行深入挖掘，使之融會貫通，進一步達到思維的升華，這對幫助學生積極主動地學習、提升數(shù)學的統(tǒng)一性認識，養(yǎng)成數(shù)學學習的良好思維品質(zhì)大有裨益。

編輯 王 敏