共形時域有限差分技術在戲場八字墻中的應用?

黃武瓊 盧義剛

(華南理工大學建筑學院 廣州 510640)

0 引言

中國傳統戲曲是我國乃至世界珍貴的藝術文化遺產，與之相應的演出場所也具有其獨特的形式和布局。中國傳統戲場主要與宗教活動有關，多建于廟宇之間，從“露臺”逐漸變成三面圍觀的形式，部分戲臺還設有八字形側墻、穹頂等建筑構件。據考察，山西省介休市襖神樓、太原市陽曲縣大卜村關帝廟、晉中市榆次城隍廟懸鑒樓等部分戲樓都設有八字墻[1]，這類八字形側墻集中出現在山西省內的戲場中。薛林平等[2]認為，八字墻的設置是古人有意識地改善戲場音質的行為。然而，目前對這一建筑構件的研究還較欠缺，因此本文將利用時域有限差分法(Finite-different time-domain,FDTD)對這類八字墻在戲場中產生的聲音效果進行研究。

時域有限差分法最初由Yee[3]提出并應用于解決電磁場問題，隨后被應用于其他領域的研究。20世紀90年代，Botteldooren等[4]開始將其引入了聲學領域。在電磁場問題中，傳統的FDTD方法都是基于Yee直角網格對研究目標進行離散化，對于含有曲面等結構比較復雜的邊界采用階梯近似法。然而，階梯近似法會帶來較大的階梯近似誤差和數值色散誤差。為了克服這些缺陷，主要從兩個方面解決。其一，減小網格步長。但網格的減小會增大存儲內存，增加計算時間。其二，就是采用共形技術。從90年代開始，學者們便提出了多種共形處理方法。1992年，Jurgens等[5]提出了環路法，但這一方法缺乏靈活性，在計算編程時較難實現，并沒有得到推廣。1997年，Dey等[6]提出了用于電磁場的共形時域有限差分法(Conformal finite-difference time-domain,CFDTD)，該方法僅對磁場進行求解，不需要對電場進行處理，結果精度較高而且編程也較容易，但是，CFDTD技術亦存在計算不穩定的問題，當共形網格的面積很小時，需要減小有效網格步長，相應的最大穩定時間步長也需要減小。2000年，Yu等[7]提出一種將變形網格面積近似為規則網格面積的共形技術，雖然精度不如前者，但多用于解決實際的工程問題。2003年，Li等[8]提出簡化的共形時域有限差分法(simplified CFDTD,SCFDTD)將面積小于1/6的變形網格近似為規則網格的1/6。2007年，Zagorodnov等[9]提出了有限積分法(Finite integration technique,FIT)，不用減小最大的穩定時間步長，運算量和算法邏輯也與階梯法一樣，在現有的FDTD代碼中較易實現。之后，學者們主要致力于介電參數和多種方法混合使用方面的研究[10?12]。

建筑聲學問題的計算機仿真方法，主要有基于幾何聲學的聲學仿真軟件和基于波動聲學的有限元法、邊界元法、時域有限差分法。時域有限差分法算法比較簡單有效，可以直觀地反映聲波在房間里的傳播情況，能夠直接得到房間任意點的脈沖響應，從而實現對房間內音質參量的分析。對于戲場中的非直角邊界，本文將借鑒電磁場的共形網格CFDTD技術，引進聲壓更新方程中研究戲場八字墻的聲學問題。

1 FDTD共形網格技術

為了便于觀察聲場變化，本文先考慮二維情形。在理想空氣介質中，聲波運動方程和連續性方程為

其中，p表示聲壓；ux和uy分別表示空氣質點速度沿著x、y方向的分量；c為空氣中的聲速；ρ0為空氣的靜態密度。對于常規均勻直角網格，式(1)～(3)的中心差分交錯格式為

其中，?t表示離散時間間隔；?h表示離散空間間隔；n表示離散時間刻度；i和j分別表示在直角坐標系x和y方向的位置。對于曲線邊界，需采用共形網格技術。在二維直角坐標系下，曲邊經過的共形網格如圖1所示，深灰色的區域1為墻體，深灰色以外的區域2為墻體外側，圖中斜線陰影網格為曲邊附近的共形網格，需利用共形網格技術來計算。設聲壓位于直角網格的中心，不管該中心在區域2或區域1。共形網格中，質點速度遞推方程與常規網格的遞推方程一樣，只需處理聲壓的更新方程[13]。

圖1 直角坐標系下的共形網格Fig.1 Conformal grids in rectangular coordinates

對式(3)兩邊進行二重積分，得

由格林公式，式(7)右邊可化為

綜合式(7)與式(8)，可以得到

設墻體邊界為剛性邊界，那么墻體上的質點速度為零，僅需考慮網格中墻體外的質點速度的貢獻，于是由式(9)可得共形網格的FDTD遞推方程：

其中，lx和ly分別為質點速度對應的棱邊在墻體外的長度，A為元胞在墻體外的面積。當lx=ly=?h，A=?h2時，式(10)就退化為常規直角網格的遞推公式(6)，可見，共形網格的更新方程可以用于所有網格的更新方程。為了便于編程，引入相對長度與相對面積

共形網格的更新方程最終化為

共形網格技術的一個關鍵點在于相對長度和相對面積的求取。若曲線邊界是由規則的方程決定，可由方程與網格的交點算出相對長度，以下部分討論的橢圓房間與八字墻都是規則方程，可以容易計算得到相對長度。共形網格的相對面積一般直接取規則網格面積或者規則網格面積的一半，顯然這樣處理太粗糙，本文利用雙加權平均法求得相對面積[14]。共形網格處理受到變形網格特性的制約，共形面積過小會使程序不穩定，因此，本文利用SCFDTD方法[8]，將相對面積小于1/6的網格近似為常規網格面積的1/6，以此來改善計算的穩定性問題。

2 精度驗證

為了驗證共形網格技術的精確度，模擬一個橢圓房間內的聲場變化。根據費馬原理，波總是沿著“波程”為極小值的路徑傳播，從橢圓一焦點發射出的聲線，經過界面的各種反射，最終會聚集在另一焦點[15]。以下利用共形網格技術和傳統的階梯法模擬橢圓的曲線邊界，比較兩者聲場結果的精確度。

圖2為在6 ms、131 ms、189 ms 3個時刻，3種情況下橢圓房間內的聲場分布圖。聲源采用微分高斯脈沖[16]，圖2(a)將聲源設在偏離焦點水平位置0.7 m處，圖2(b)和圖2(c)的聲源都設在其中一個焦點上。根據穩定性條件，空間步長設為0.07 m，時間步長設為0.117 ms；橢圓形墻壁設為剛性邊界。計算的總網格數為180×300。計算用Matlab軟件編寫。

在6 ms時，波前未到達反射面，波陣面幾乎一致，圓形波前向前傳播，可以看出利用FDTD方法計算聲波方程的精確性和穩定性較好。當聲源不設在焦點上時，聲線不能在另一焦點聚集，如圖2(a)所示；而當聲源設在焦點上時，共形網格技術和階梯法都有聚集焦點的現象，驗證了費馬原理在聲學上的正確性。比較圖2(b)與圖2(c)可以看出，利用共形網格技術得到的聚焦的聲波波前基本上保持圓形波前，而階梯法得到的聚焦聲波波前不夠圓。共形技術得到的聚焦區域更集中于焦點，而階梯法得到的聚焦區域較大，不夠集中，共形網格技術比階梯法的精確度高。

圖2 三種情況下橢圓房間內的聲場分布Fig.2 Sound field of three cases in the oval room

3 八字墻的聲音效果分析

圖3 4類戲臺平面圖Fig.3 Four types of stage plan

圖4 設有八字墻戲臺的庭院模型Fig.4 A courtyard model of an theater stage with the splayed walls

參考多處戲臺的構造，如圖3所示，榆次市聶店村戲臺的前臺在山墻之外，新降縣樊店村關帝廟戲臺的前臺在山墻之間，對于設有八字墻的戲臺，太谷縣靜信寺戲臺的八字墻的寬度相對于戲臺前臺較短，介休市襖神樓戲臺的八字墻的寬度相對于戲臺前臺較長。綜合以上戲臺的構造和大小，建立大小為23.45 m×23.45 m的含有戲臺的庭院模型，如圖4所示，戲臺兩側設有3.5 m的山墻，緊連著山墻設有八字墻，八字墻的寬度L設為3 m或5 m，八字墻與山墻所在直線之間的夾角θ設為30?、45?或者60?。在戲臺中軸線上的5個位置設有聲源點，聲源采用上述微分高斯脈沖。以中軸線為基準，在庭院內觀眾席處設兩個相鄰的測區1和測區2，山墻旁邊設測區3。測區1正對山墻之間，測區2緊鄰著測區1，面積與測區1相同。山墻與八字墻均設為剛性邊界。在實際戲場中，考慮聲能消耗，庭院模型四周圍合墻壁設為阻抗邊界條件[17]，平均吸聲系數為0.15。

3.1 各個區域的聲能分析

為了研究戲臺構件的聲學作用，考察各個測區獲得的聲強大小。本文以1 s時長內測區的所有聲能疊加作為總聲能強度，各個測區內的總聲能強度由式(15)計算：

由圖5的結果可見，對于無八字墻的戲臺，不論聲源設在山墻之間或是超過山墻很多距離，在測區1和測區2獲得的聲能強度都比有八字墻的小。在測區3獲得聲能強度反而比有八字墻的大。顯然八字墻的存在減小了測區3的衍射聲能。從圖6波陣面可見，聲場在山墻頂端產生了次聲源，八字墻把衍射聲能反射到觀眾區，無八字墻時，則有較多聲能傳播到了山墻旁的測區3。當聲源距離超過一定位置后，測區2接收到的聲強驟減，因此，欲使測區2能接收到較高的聲能，聲源應盡量在山墻之間，即前臺不應凸出山墻太多。

當八字墻的寬度都取5 m或3 m時，如圖5和圖7所示，聲壓變化與角度之間沒有明顯的正比關系，這可能是山墻與八字墻的共同作用導致的混亂現象。當夾角θ為30?、聲源距離在2.8 m時，測區1得到的聲強都大于其他兩種夾角；但當夾角θ為30?、八字墻寬為5 m時，在測區2得到的聲強較其他兩種角度的聲強都小。因此，若觀眾席集中在戲臺正前方時，八字墻的夾角設為30?更佳，若希望觀眾席的范圍擴到兩側更遠的地方，八字墻的夾角選擇45?或者60?更佳，但要綜合考慮戲臺正前方與兩側都能得到較強的聲能，夾角最好取中間值45?左右。

圖6 27 ms時刻兩種戲臺模型的波形圖Fig.6 Waveforms of two stage models in t=27 ms

圖7 八字墻角度對聲能強度的影響Fig.7 The Influence of the angels of the splayed walls on the sound energy strength

當夾角都為30?時，除了聲源距離為5.95 m時在測區2得到的特殊值外，不管八字墻的寬度為3 m或是5 m，聲能強度隨聲源距離的變化趨勢大致相同，如圖8所示。當夾角為45?或是60?時，聲能強度隨聲源距離的變化趨勢也是大致相同的，比較圖5與圖7即可看出，在此不贅述。取同一夾角時，八字墻的寬度越大，測區1和測區2的聲能強度越大，而測區3的聲能強度越小，顯而易見，八字墻的寬度越大時，觀眾區接收到的反射聲必然會越多，從而也驗證了利用FDTD計算聲場的正確性。

圖8 八字墻寬度對聲能強度的影響Fig.8 The Influence of the widths of the splayed walls on the sound energy strength

3.2 側向反射聲及早期聲分析

20世紀60年代末，聲學家們發現了側向反射聲能對于聽覺空間感的重要性，據此提出了若干評價指標，較重要的是側向能量因子(Lateral energy factor,LEF)，LEF的定義為

式(16)表示直達聲到達后延遲5～80 ms之內的能量與80 ms之內到達的總能量之比。為了得到八字墻對側向反射聲的作用，將庭院模型中除了后墻的其他三面墻設為完全匹配層(Perfectly matched layer,PML)吸收邊界，即忽略側墻的側向反射聲。在戲臺模型的正前方設3個接收點R1、R2、R3，八字墻的正前方另設3個接收點R4、R5、R6，如圖4所示，以下只討論八字墻寬度為5 m時三種夾角的聲場情況。經計算，各個模型的側向能量因子如表1所示。圖9是4個模型R1點、R3點和R4點的脈沖響應。

表1 各接收點在4個模型中的側向能量因子Table 1 Lateral energy factors of receivers in four models

表1的結果顯示，有八字墻的側向能量因子基本都比無八字墻的要大，最大的差值可達0.21，如果LEF值能達到0.2左右或者更大，說明有較豐富的早期側向反射聲，其音樂聽感也較好[17]。而且，靠近八字墻正前方接收點的側向反射聲比正對戲臺接收點的側向反射聲豐富。從圖9中也可以看出，接收點R1的脈沖響應中的反射聲沒有接收點R3和R4多。此外，60?夾角時，接收點R4、R5、R6的側向能量因子明顯小于30?與45?。從圖9(c)亦可見，夾角為60?時，直達聲與后墻第一次反射聲之間的脈沖響應與無八字墻的差不多，而夾角為30?和45?時在直達聲與第一次反射聲之間還有一次較強的反射聲，此為八字墻提供的早期側向反射聲，比后墻第一次反射聲還先到達了接收點。因此，為了使八字墻提供更多的早期側向反射聲，夾角不宜取太大。

此外，從圖9各接收點脈沖響應可看出，八字墻對早期聲(直達聲之后延遲50 ms內到達的反射聲)亦有一定的加強作用。表2列出了有八字墻與無八字墻模型的早期聲能比，即

其中，p0表示無八字墻時的聲壓值，p1表示有八字墻時的聲壓值。由表2中結果可知，夾角取30?與45?時，早期聲能都大于無八字墻的情況，而夾角取60?時，接收點R1、R2、R3的早期聲能大于無八字墻的情況，接收點R4、R5、R6的早期聲能小于無八字墻的情況?？梢?，八字墻的存在會提供更多的早期聲，早期聲可以加強直達聲，提高聲源清晰度，但夾角仍然不宜取太大。

圖9 3個接收點在4個模型中的脈沖響應Fig.9 Impulse responses of three receivers in four models

表2 有八字墻與無八字墻模型的早期聲能比Table 2 The ratios of early sound energy between models with splayed walls and without splayed walls

4 結論

共形時域有限差分法引入到聲波動方程，有利于對曲面邊界建筑聲學問題計算分析，相比于階梯近似法具有更高的精確度。共形時域有限差分法分析表明：(1)含有八字墻的戲臺比不含八字墻的戲臺能加強觀眾席的聲強。(2)八字墻與山墻之間的角度越小，越能加強正面觀眾席的聲音。若將觀眾席擴充到更大的范圍，八字墻的夾角取45?或60?時比夾角取30?時的效果更好，但要綜合考慮戲臺正前方與兩側都能得到較強的聲能，夾角取中間值45?左右最好。(3)當夾角一定時，八字墻的寬度越長，越能加強觀眾席的聲能大小。(4)八字墻對早期側向反射聲起到一定的加強作用，使聽覺空間感更好，但夾角不宜取太大。(5)八字墻可提供更多的早期聲，加強直達聲的清晰度。

盡管沒有確切的八字墻起源的歷史記載，古人在戲臺設八字墻或許只是主觀經驗，但從本文計算分析結果看，八字墻對戲臺的聲場起到了一定的加強作用，在類似的自然聲演出場所可參考八字墻構件改善聲音效果。