尋求算理算法平衡，提升學生數學素養

王金秀

[摘要]數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養，運算能力是數學學科的核心素養之一。提高學生的運算能力，關鍵是要科學地處理好算理和算法的關系，尋求算理與算法的最佳平衡點。重算理輕算法，只會紙上談兵頻出錯;輕算理重算法，則使學生計算缺乏支撐，不利于學生思維發展，只有重算理明算法，才能提高學生運算能力，從而提升學生的數學素養。

[關鍵詞]算理算法 運算能力 數學素養

如何提高學生的運算能力，應該是數學教學的熱點問題。數的運算教學，首要問題是要科學地處理好算理和算法的關系，尋求算理與算法的最佳平衡點，從而提高學生的運算能力，提升學生的數學素養。

在計算教學中，算理與算法是兩個不可或缺的關鍵。那么何為算理，何為算法呢？從字面上不難理解，算理就是計算過程中的道理，解決為什么這樣算的問題;算法就是計算的方法，主要是指計算的法則，解決怎樣算的問題。算理是對算法的解釋，是理解算法的前提，算法是對算理的總結與提煉，它們是相互聯系、有機統一的整體。透徹理解算理和熟練掌握算法是提高學生運算能力的重要保證。但在實際教學中，我們教師往往難以把握二者之間的平衡關系，從而使學生的思維得不到應有的發展，阻礙了學生運算能力的提高。下文以《兩位數乘兩位數的筆算》的教學實錄為例，探尋出各種課型的利弊，找到算理與算法最佳的平衡點，以使達到最佳的教學效果。

一、重算理輕算法，眼高手低頻出錯

學生在學習兩位數乘兩位數之前，已經熟練掌握了兩位數乘一位數。而筆算兩位數乘兩位數時，實際上是用第一個乘數分別去乘第二個乘數個位和十位上的數，再把兩次乘得的結果相加;而乘第二個乘數十位上的數時，乘得的數的末位要和十位對齊，這是因為第二次相乘得到的是若干個十。由于筆算時的對齊方式與以前的大不相同，所以讓學生理解為什么這樣對齊就顯得尤為重要。某位教師在探索算法時是這樣處理的：

1.以舊引新，鋪墊算理

師：每箱南瓜24個，利用以前的知識，你能算出幾箱南瓜的個數嗎？

生1：我能算出2箱南瓜一共48個，24×2=48。

生2：我能算出5箱南瓜一共120個，24×5=120。

師：剛才同學們計算的都是不超過10箱的南瓜個數，請開動腦筋，想一想，你能算出更多箱南瓜的個數嗎？

生3：我能算出12箱南瓜的個數，24×10=240，24×2=48，240+48=288。

生4：我也能算出12箱南瓜的個數，我是這樣算的：24×6=144，144×2=288。

師：同學們真有辦法，利用兩位數乘一位數的知識，間接地算出了兩位數乘兩位數的得數，真厲害！而我們以前在學習兩位數乘一位數時還學過用豎式計算，其實用豎式計算也是表示計算過程的一種方式。

2.直觀理解，強化算理

師：你能用豎式算出2箱南瓜的個數嗎？（生集體說，師板書）

師：如果幼兒園購進12箱南瓜，一共有多少個？用豎式該怎樣算呢？其實我們可以借鑒剛才的方法，在豎式計算時分三步來算，先算2箱南瓜的個數，再算10箱南瓜的個數，最后合起來就是12箱南瓜的個數。

師：你能說出每一步算的是什么嗎？同桌之間互相說一說。

3.及時鞏固，深化算理

師：用豎式計算和剛才的算法相比，方便多了，我們一起來試一試吧。

這位教師對算理的處理很到位，學生理解得都很透徹，但是對算法的處理明顯欠妥，他把教學的重點放在了理解算理上，卻忽略了對計算過程的梳理與計算方法的總結。歸根結底，問題就在于輕視算法上，學生雖然對筆算的道理理解了，卻無法提高筆算的能力，學生也就“眼高手低”，自然不利于數學素養的提升了。

二、輕算理重算法，紙上得來終覺淺

還記得自己讀小學時，筆者對數學這門學科算得上情有獨鐘，印象也頗深刻。特別是計算課，仔細想來，一般都是教師先呈現一道例題，然后示范講解計算過程，最后總結計算法則，再讓我們把計算法則一字一句地背誦下來。考試時計算法則還會以填空題的形式出現。這樣看來，那時的計算教學是很明顯重算法輕算理的。即使課改多年的今天，在實際的教學中，依然有教師喜歡捷徑，直接講授算法，而忽略了學生對算理的理解。從下面這位教師對兩位數乘兩位數的處理上我們不難看出。

1.開門見山，揭示任務

師：幼兒園購進12箱迷你南瓜，每箱24個，一共有多少個？你會列式計算嗎？

生：24×12。

師：這是一道兩位數乘兩位數的題目，今天我們就來學習兩位數乘兩位數。

2.古今中外，了解算法

師：你想知道，在我國的古代，人們是怎樣計算兩位數乘兩位數的題目嗎？一起來看。

多媒體介紹：我國明朝的《算法統宗》里講述了一種“鋪地錦”的乘法計算方法，是利用方格來算的。例如，計算62×37時，先把乘數寫在方格的上面和右面，然后把一個乘數各位上的數分別和另一個乘數各位上的數相乘，積寫在相應的方格里，再從右下方開始，把斜對著的數相加，就得到相乘的積2294。

3.簡明扼要，介紹算法

師：現在，我們一般用豎式來計算兩位數乘兩位數。用豎式計算24×12時，第一步用12個位上的2去乘24，乘得的末位要和2對齊;第二步用12十位上的1去乘24，乘得的數的末位要和1對齊;第三步要把兩次乘得的結果相加。現在就請同桌之間相互交流一下筆算24×12的計算過程。誰再來復述一遍。

生：第一步，用……

4.及時鞏固，掌握算法

師：你會用豎式計算兩位數乘兩位數了嗎？我們一起來試一試吧！

這位教師對兩位數乘兩位數的處理，明顯急功近利，目的就是讓學生直接掌握筆算方法。雖然他為學生介紹了古今中外的各種算法，開闊了學生的視野，但是學生只是簡單地接受算法，照著葫蘆畫瓢，對每一步為什么這樣算毫無思考，雖然經過大量的練習，學生的計算正確率也能得到保證，但是這種做法的后果，將會是限制學生思維的發展，由于沒有算理的支撐，一段時間以后，學生很快就把算法遺忘了，這當然也不利于學生數學素養的提升。

三、重算理明算法，融會貫通有成效

實踐證明，在計算教學中，我們不能一味地重視算理，忽略算法，更不能簡單地強調算法，省略算理。我們要讓學生在透徹理解算理的基礎上熟練掌握算法，下面的教師就是這么做的：

1.嘗試計算

師：24×12是一道兩位數乘兩位數的試題，你能利用以前的知識，嘗試算出答案嗎？

生1：我先算出6箱有多少個，再算12箱有多少個：24×6=144，144×2=288。

生2：我先算10箱和2箱各有多少個，再合起來：24×10=240，24×2=48，240+48=288。

2.理解算理

師：其實，計算24×12時，我們也可以像剛才那樣，先算2箱南瓜的個數，用2×24，得數寫在橫線下面;再算10箱南瓜的個數，用10×24，得數接著往下寫，最后把兩次乘得的得數相加。你能看著算式說一說每一步算出的是幾箱南瓜的個數嗎？

生3：48是2箱的個數，240是10箱的個數，288是12箱的個數。

3.梳理過程

師：在筆算24×12時，我們一般這樣算：第一步用12個位上的2去乘24，乘得的末位要和2對齊;第二步用12十位上的1去乘24，乘得的數的末位要和1對齊;第三步要把兩次乘得的結果相加。想一想：用1乘24時，乘得的數末位為什么要和1對齊？

生1：因為十位上的1表示1個十，得到的結果表示24個十，所以要和1對齊。

生2：因為這一步算的是10箱南瓜有240個，所以4要和十位的1對齊。

師：同學們理解得都很正確，我們一起把筆算的過程說一說吧。

4.掌握算法

師：知道了筆算的過程，也明白了每一步算的是什么，我們就能正確地計算兩位數乘兩位數了，一起來練一練。

這位教師在處理算理與算法的關系時，避免了傳統的計算教學只注重計算結果和計算速度，一味強化算法演練，忽視算理的推導的弊端，也避免了一些年輕教師在理解算理上大做文章，過分強調為什么這樣算，還可以怎樣算，卻缺少對算法的提煉與鞏固，造成學生理解算理過繁，掌握算法過難的另一種極端。

對此筆者認為，處理計算教學中算理與算法的關系時還應注意從思想上認識到算理與算法是計算教學中有機統一的整體，形式上可分，實質上不可分，重算法必須重算理，重算理也要重算法。算法形成不能依賴形式上的模仿，而要依靠算理的透徹理解，只有在真正理解算理的基礎上掌握算法、形成計算技能，才能算是找到了算理與算法的平衡點。

對于計算教學來說，算理與算法是同等重要的，就像天平的兩端，哪一方偏重了，課堂都會失衡。我們在教學中應力求讓學生透徹理解算理，熟練掌握算法，這樣才能促進學生在數學上得到健康的發展，使學生的數學素養得到全面提升。