統(tǒng)計(jì)學(xué)中幾個(gè)容易混淆的問題

張明亮

摘要：統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門重要的學(xué)科，在日常生活中有著極其廣泛的應(yīng)用。本文對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)中幾個(gè)容易混淆的問題進(jìn)行闡明，旨在幫助學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一些概念有個(gè)正確的理解。

關(guān)鍵詞：統(tǒng)計(jì)學(xué)；直方圖；總體；相關(guān)系數(shù)

中圖分類號(hào)：C81 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2019）24-0188-02

統(tǒng)計(jì)學(xué)是一套處理和分析數(shù)據(jù)的方法和技術(shù)，是一門數(shù)據(jù)分析的學(xué)科。統(tǒng)計(jì)學(xué)作為一門基礎(chǔ)課程，越來越受到人們的重視，呈現(xiàn)著新的發(fā)展趨勢(shì)及活力。但是，學(xué)生往往對(duì)一些概念產(chǎn)生模糊認(rèn)識(shí)，甚至一些教科書中，也出現(xiàn)對(duì)一些概念表述不清的情況，這里就學(xué)生在學(xué)習(xí)中容易產(chǎn)生混淆的幾個(gè)問題進(jìn)行闡述，旨在幫助學(xué)生對(duì)一些概念有一個(gè)正確的理解。

一、直方圖與條形圖

直方圖是統(tǒng)計(jì)學(xué)中對(duì)數(shù)據(jù)描述的一個(gè)圖形，在高中教材中也有介紹，但有一部分學(xué)生對(duì)這個(gè)概念理解不清。曾對(duì)學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)一年以后的大三學(xué)生做過一項(xiàng)統(tǒng)計(jì)學(xué)方面的調(diào)查，班級(jí)共有68名學(xué)生，有36名學(xué)生對(duì)直方圖與條形圖不能很好地區(qū)分開來，約占53%。有的學(xué)生把二者混為一談，對(duì)于二者的應(yīng)用范圍分不清楚。條形圖是用寬度相同的條形的高來表示數(shù)據(jù)多少的圖形，每一矩形表示一個(gè)類別，其寬度沒有實(shí)際意義，每個(gè)小矩形不相連。條形圖有單式條形圖和復(fù)式條形圖之分，它一般適應(yīng)于品質(zhì)數(shù)據(jù)。

直方圖是用于展示定量數(shù)據(jù)分布的一種常用圖形，它是用矩形的寬度和高度來表示頻數(shù)的分布，矩形的寬度表示分組數(shù)據(jù)的組距，由于分組數(shù)據(jù)具有連續(xù)性，所以每個(gè)矩形是相連的，通過直方圖可以觀察數(shù)據(jù)分布的大致情況。一般用每個(gè)小區(qū)間內(nèi)的頻率比上組距來表示小矩形的高度，這樣做是為了使得直方圖圍成的面積為1，因?yàn)橐痪S連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)與x軸圍成的面積為1，通過對(duì)直方圖的折線近似擬合，觀察這條折線與已知分布的哪個(gè)概率密度函數(shù)擬合得比較好，可得出這組數(shù)據(jù)的大致分布。

但是，在有的教材中，往往把直方圖的高這一數(shù)據(jù)標(biāo)錯(cuò)，給學(xué)生理解帶來困難。右圖為某公司電腦銷售額分布的直方圖，從圖中可以看出，縱坐標(biāo)標(biāo)出的高度都不是頻率與組距的比，直方圖圍成的面積自然也不能保證是1。

二、對(duì)總體的理解

總體是指研究的對(duì)象的全體或試驗(yàn)的全部可能的觀察值。由此可見，總體是指研究對(duì)象，一般是一些具體的數(shù)值。如，要考察一個(gè)班級(jí)《統(tǒng)計(jì)學(xué)》期末的考試成績(jī)，不能把這個(gè)班的學(xué)生看作總體，而應(yīng)是每個(gè)學(xué)生的《統(tǒng)計(jì)學(xué)》成績(jī)組成的集合為總體，因?yàn)檫@里考察的僅僅是《統(tǒng)計(jì)學(xué)》的成績(jī)，而不是其他學(xué)科的成績(jī)。有的學(xué)生對(duì)總體理解不到位，甚至一些教材上也犯有同樣的錯(cuò)誤。

三、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的單位

隨機(jī)變量X的方差用D（X）或Var（X）表示，若E[X-E（X）]存在，則D（X）=E[X-E（X）]稱為隨機(jī)變量X的方差。它刻畫了隨機(jī)變量X的取值與其數(shù)學(xué)期望E（X）的偏離程度，若方差較小，意味著隨機(jī)變量X的取值比較集中在E（X）附近，反之，說明隨機(jī)變量X取值比較分散。方差的開平方稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。方差和標(biāo)準(zhǔn)差是否有單位，應(yīng)該怎樣定義單位呢？關(guān)于這個(gè)問題有很多人認(rèn)識(shí)不清，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是否有單位，取決于“樣本數(shù)據(jù)”，若“樣本數(shù)據(jù)”有單位，那么方差和標(biāo)準(zhǔn)差均有單位；若“樣本數(shù)據(jù)”是沒有單位的數(shù)值，那么方差和標(biāo)準(zhǔn)差均沒有單位。由方差的定義知，一個(gè)隨機(jī)變量X的方差，是這個(gè)隨機(jī)變量與它的數(shù)學(xué)期望的差的平方的數(shù)學(xué)期望，若這個(gè)隨機(jī)變量X有單位，它的數(shù)學(xué)期望就與這個(gè)隨機(jī)變量具有相同的單位，二者差的平方的單位應(yīng)該是原單位的平方，再求數(shù)學(xué)期望則單位不變，因此，方差的單位應(yīng)該是“樣本數(shù)據(jù)”單位的平方，而標(biāo)準(zhǔn)差是由方差開方得到，所以標(biāo)準(zhǔn)差的單位與“樣本數(shù)據(jù)”的單位相同。如果數(shù)據(jù)的單位是千克，方差的單位就是千克的平方，標(biāo)準(zhǔn)差的單位就是千克；如果數(shù)據(jù)的單位是秒，方差的單位就是秒的平方，標(biāo)準(zhǔn)差的單位就是秒。只是現(xiàn)在教科書中對(duì)方差的單位比較淡化，一般考試中，所求的方差不要求寫單位。但是，在有的教材中仍會(huì)出現(xiàn)單位標(biāo)注錯(cuò)誤。有本教材給出的例題是這樣的：

例：根據(jù)例4.1的數(shù)據(jù)，計(jì)算9名員工月工資收入的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。

四、無限與不可數(shù)

可數(shù)和無窮多是兩個(gè)不同的概念。可數(shù)可以簡(jiǎn)單地認(rèn)為是可以按一定順序排列出來，所以也稱為可列。如所有自然數(shù){0，1，2，3，…}是可數(shù)個(gè)，只要能與自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)就是可數(shù)的，如所有奇數(shù)、所有偶數(shù)、所有有理數(shù)都是可數(shù)的。不可數(shù)就是沒有辦法一一排列出來，如區(qū)間[0，1]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)就是不可數(shù)的。

五、相關(guān)系數(shù)及其含義

當(dāng)r=1時(shí)，稱隨機(jī)變量X與Y正相關(guān)；當(dāng)r=-1時(shí)，稱隨機(jī)變量X與Y負(fù)相關(guān)；當(dāng)r=0時(shí)，稱隨機(jī)變量X與Y不相關(guān)。說明相關(guān)系數(shù)定量地刻畫了隨機(jī)變量X、Y的線性相關(guān)程度，這里需注意的是：相關(guān)系數(shù)為零，只能說明隨機(jī)變量X與Y不具有線性相關(guān)關(guān)系，未必沒有關(guān)系；相關(guān)系數(shù)為1，也只能說明隨機(jī)變量X與Y之間以概率1存在著線性關(guān)系，直觀來說，就是幾乎所有的點(diǎn)（X、Y）都在直線Y=aX+b上，允許個(gè)別點(diǎn)不在這條直線上，不在這條直線上的點(diǎn)的概率應(yīng)為0，但不能說二者具有函數(shù)關(guān)系。在有些教材中，把r=1與二者具有函數(shù)關(guān)系等同起來，此教材這樣描述相關(guān)系數(shù)：“可以證明，相關(guān)系數(shù)的取值范圍在+1和-1之間，即-1

六、一元線性回歸模型

總之，有些概念在一些教科書中介紹不清，老師在講授時(shí)又不夠重視，使得學(xué)生對(duì)這些概念不能很好地掌握，這是造成學(xué)生錯(cuò)誤的根本原因，值得重視。

參考文獻(xiàn)：

[1]賈俊平.統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)[M].第3版.北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2013.

[2]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].第4版.北京：高等教育出版社，2011.