計及二階效應的一種桁架臂幾何非線性方法

王 欣 喻豪杰 顧振華 胡偉楠

大連理工大學機械工程學院，大連，116023

0 引言

軸向力作用在產生撓曲的構件或豎直載荷作用在產生側移的結構上引起的附加作用效應稱作二階效應，也稱為軸力效應。結構或構件中的附加內力和附加變形是由幾何非線性產生的二階效應，因此二階效應分析方法是解決幾何非線性問題的一種方法，屬于幾何非線性方法之一。工程中有一大類結構在承載后有相對明顯的變形，如履帶起重機的桁架臂這種細長桁架結構，其橫截面積較小，柔度較大，存在剛性不足的問題，在自重載荷下會出現較大的初始下撓變形，當受到軸向載荷和橫向載荷共同作用后，易出現結構的“軟化”現象，因此不能忽略這種幾何非線性對結構受力和變形的影響。本文從結構二階效應入手，分析研究結構的幾何非線性方法。

結構二階效應的常見分析方法有有限元法和微分方程法。目前有限元法的理論研究已經取得了豐富的成果[1]。SCHARPF[2]運用矩陣位移法求解結構應力。BIRNSTIE等[3]運用Hermite插值研究梁單元的二階效應，但需要用3個或4個單元才能擬合一根桿件，取得較好的精度。TO[4]用三次多項式來研究梁的撓度，推導梁的剛度矩陣。LI等[5]通過運用Chebyshev多項式方法得到Timoshenko-Euler楔形梁的單元剛度矩陣。謝貽權等[6]推導了梁單元的切向剛度矩陣，并求出了其顯式表達式。陸念力等[7]運用普通的非線性有限元結合隨動坐標法，推導了大位移桿系結構的一般非線性的全量平衡方程和增量平衡。采用有限元法理論上可獲得高精度的全量與增量平衡方程和各剛度矩陣，但單元剛度矩陣由插值理論推導所得，且為顯式表達剛度矩陣，會省略某些高階非線性項，這兩者均會導致實際中最終梁桿有限元方程精度的下降。

本文基于二階效應，首先在變形后的位置上建立承受橫向均布載荷壓桿的彎曲平衡方程，然后將撓曲線方程變換成以待定的幾何參數表達的普遍形式[8]，再根據特定的邊界條件和平衡條件求解待定幾何參數，得到撓曲變形方程。最后，采用該方法分析求解存在二階效應的履帶起重機桁架臂標準節模型的撓度變形，并與常用有限元軟件ANSYS和ABAQUS幾何非線性的計算結果進行對比。

1 承受橫向均布載荷的壓桿彎曲問題的求解方法

1.1 壓桿彎曲的微分方程及其解

一承受橫向均布載荷q的等截面受壓桿力學模型見圖1，桿件長度為L，桿件兩端有軸向壓力P、橫向剪力Q以及彎矩M的作用，以桿變形前的軸線為x軸，側向撓曲變形方向為y軸建立坐標系，則桿變形后的撓曲微分方程為

圖1 壓桿受力簡圖Fig.1 Compression rod force diagram

(1)

式中,E為彈性模量;I為截面慣性矩。

令k2=P/EI，則式(1)可寫成：

(2)

則微分方程式(2)的通解為

y=A1coskx+A2sinkx+A3x2+A4x+A5

(3)

式中，Ai(i=1,2,…,5)為待定的積分常數，可由邊界條件求出。

引入參數φ和系數A，令

(4)

(5)

將式(4)、式(5)代入式(3)，可得

y=Asin(kx-φ)+A3x2+A4x+A5

(6)

引入參數μ，μ為壓桿有效長度系數，μL即為正弦曲線的兩個反彎點之間的距離，兩個反彎點之間的桿段是一個典型的二力桿的歐拉彎曲模型，則

(7)

將式(7)代入k的表達式，則

(8)

壓桿截面的彎矩

M=PAsin(kx-φ)

(9)

引入參數ζ，ζ為反彎點系數，ζL表示x軸正方向第一個反彎點到坐標原點的距離，在反彎點處，x=ζL，M=0，代入式(9)，則

(10)

將式(8)、式(10)代入式(6)，則用幾何參數表達的壓桿撓曲方程為

y=Asin((x/μL-ζ/μ)π)+A3x2+A4x+A5

(11)

式(11)為撓曲線微分方程式(1)的通解，適用于任意邊界條件的壓桿。對于給定邊界條件的壓桿，求其特解的問題可轉化為根據桿端的變形連續條件和力的平衡條件確定撓曲線方程的幾何參數問題。

1.2 壓桿彎曲變形撓曲線的分解

由式(11)可知，撓曲微分方程由正弦曲線Asin((x/(μL)-ζ/μ)π)和拋物線A3x2+A4x+A5兩部分組成，由于考慮了二階非線性，故簡單的疊加不適用于此處的非線性求解方法。若上述兩變形曲線均承受軸向壓力的作用，則可以將兩者變形疊加[9]。桿的受力分解疊加原理示意簡圖見圖2。撓曲線分解為兩部分：在任意截面上只承受軸向壓力P和彎矩Mx的正弦曲線；承受橫向載荷、桿端橫向剪力和軸向壓力P作用的二次拋物線，桿處于軸心受壓的曲線平衡狀態。

1.3 待定系數的確定

根據邊界條件和平衡條件求解二次拋物線的系數A3和A4，二次拋物線可表示為

yi=A3x2+A4x+A5

(12)

拋物線轉角θi的方程為

(a) (b)圖2 壓桿受力分解疊加原理示意簡圖Fig.2 Schematic diagram of force decomposition and superposition principle of pressure bar tanθi=2A3x+A4

(13)

在桿端x=0處，拋物線的斜率等于軸向力P和桿端水平反力Q0的合力作用線與x軸的夾角的正切值，即

(14)

同理，在x=L處有：

(15)

又y方向力的代數和為零，有qL=QL-Q0，代入式(15)，可得

(16)

則拋物線可表示為

(17)

桿的彎曲變形為

(18)

式(18)中的A、ζ、A5均可由邊界條件和平衡條件求出，壓桿的轉角方程和截面上彎矩方程分別為

(19)

(20)

2 承受橫向均布載荷的懸臂壓桿公式求解

承受橫向均布載荷的等截面懸臂壓桿受力分解疊加原理示意圖見圖3，由式(18)～式(20)即可求出系數A、ζ、A5。

(a) (b)圖3 橫向均布載荷懸臂壓桿受力分解疊加原理示意簡圖Fig.3 Schematic diagram of force decomposition and superposition principle of cantilever pressure bar under transverse uniform load

桿固定端轉角等于零，可得x=0，θ0=0，代入式(19)，得

(21)

桿自由端彎矩等于零，可得x=L，ML=0，代入式(20)，得

(22)

聯立式(21)、式(22)，整理得

(23)

解得

式中，μ由式(7)確定。

求出ζ后，將ζ代入式(21)中，可得

將邊界條件x=0、y=0代入式(18)，可得

則壓桿撓曲線方程為

(24)

令x=L，則壓桿頂端撓度為

(25)

3 算例分析

使用本文所提出的方法，對280t級履帶起重機桁架臂標準節模型進行分析，求解其撓度變形，并與ANSYS和ABAQUS兩種有限元軟件非線性分析計算結果進行對比。

履帶起重機空間桁架臂標準節模型實際結構見圖4，由外徑159 mm、內徑139 mm的弦桿和外徑76 mm、內徑67 mm腹桿焊接而成，長度為L，桁架臂左端為固定端，懸臂自由端承受軸向壓力P和橫向力Q0，圖5為桁架臂的等效模型，IL為將上述履帶起重機不同長度的格構式空間桁架臂等效為實腹式結構后的等效慣性矩[10]，q為臂架自重均布載荷。在通用有限元軟件ANSYS中運用BEAM188單元分別建立不同長度的如圖6a所示的履帶起重機桁架臂的真實結構模型，在臂節其中一端施加全約束，對不同長度臂架施加相同大小的軸向壓力P和橫向力Q0，且均施加于與周圍四肢節點形成剛性區域的節點之上，同理，在有限元軟件ABAQUS中建立圖6b所示臂架真實結構模型，約束與載荷施加方式方法與ANSYS模型相同，然后分別在ANSYS和ABAQUS中對不同長度的起重機臂架模型進行非線性分析，不同長度臂架的ANSYS和ABAQUS非線性分析的結果與本文計算結果如表1所示，其中y為懸臂端的撓度變形大小。

圖4 履帶起重機桁架臂標準節模型Fig.4 Standard section model of trussed boom of crawler crane

圖5 起重機臂架等效懸臂梁模型Fig.5 Equivalent cantilever beam model of the crane boom

(a)ANSYS模型 (b)ABAQUS模型圖6 有限元模型Fig.6 Finite element model表1 不同長度臂架的計算變形Tab.1 Calculation of different lengths of boom deformation

L(m)y(mm)本文方法ANSYSABAQUS相對誤差er1(%)相對誤差er2(%)1075.7178.8978.954.214.2812109.78114.72114.764.454.5414147.94155.12155.244.854.9316192.06202.32202.485.345.4618240.49254.56254.855.855.9720293.71312.39313.806.366.50

從計算結果可以看出，本文計算所得的撓度變形與ANSYS、ABAQUS軟件非線性分析計算結果吻合程度較好，說明本方法是可信和有效的，可用來分析桁架臂的撓度變形，具有實用性；計算結果誤差隨著臂架長度的增大而有所增加，主要原因是隨著L的增大，臂架的幾何非線性越來越明顯，臂架的等效慣性矩轉化還存在一定的局限性，這是本文需要進一步深入研究和改進的工作。

4 結語

根據幾何非線性引起的二階效應的特點，建立壓桿在變形位置后的撓曲微分方程，將微分方程變換成以待定的幾何參數表達的普遍形式，求得承受橫向均布載荷的懸臂壓桿的變形方程，分析計算了存在二階效應的起重機空間桁架臂標準節的撓曲變形，對比計算結果表明了本文方法的可行性與實用性。