基于T-Map的飛機部件交點軸線公差轉化方法

肖 歡 朱永國 劉春鋒 周結華

1.南昌航空大學航空制造工程學院，南昌，3300632.金航數碼科技有限責任公司，北京，1000283. 江西洪都航空工業集團有限責任公司部裝一廠，南昌，3300244. 南昌航空大學信息工程學院，南昌，330063

0 引言

飛機部件這種大型裝配件的對接裝配、測量過程中所使用的激光跟蹤儀、局部GPS等飛機數字化裝配精度檢測設備得到迅速發展與應用，但這些數字化檢測設備都是基于點測量模式的，以測量點的坐標值變動來評價裝配準確度[1]。考慮到裝配中的裝配可行性、定位穩定性等因素，采用數字化設備對裝配件進行精度檢測需要對傳統的裝配方案進行調整。由于調整后裝配基準的變化致使裝配特征間的約束關系、幾何公差都產生變化，故要滿足設計要求必須重新進行公差計算與分配。為了獲得基準變換后基于點測量模式裝配方案的幾何公差，需要探索合理的公差轉化方法。

國內外學者在公差表示和公差轉化方面已經取得了一些成果。DESROCHERS[2]提出了工藝和拓撲相關表面(TTRS) 的幾何尺寸和公差(geometric dimension and tolerance,GD&T)表示方法，通過構建TTRS的公差轉化模型進行了公差轉化分析。THIMM等[3]為實現公差方案從設計到工藝的轉化，依據幾何公差的類型定義進行規劃，以滿足設計與制造要求為前提，提高設計的可制造性為目的，進行了幾何公差轉化系統開發。LOUATI等[4]在小位移矢量簇(SDT)理論基礎上，通過功能幾何與基準幾何空間位置的變換求解，獲得了三維幾何模型的公差約束條件，提出了基于SDT的幾何公差直接轉換方法。CAUX等[5]為實現幾何公差的轉換，通過基準參考系下變動幾何空間位置的矢量變換，提出了一種基于矢量表示的公差轉換方法。ANSELMETTI[6]通過公差鏈的微分變動分析，提出了滿足ISO標準制造規范的線性模型公差轉換算法。胡潔等[7]提出了面向裝配的變動幾何約束網絡概念，將變動幾何進行統一描述，建立了形位公差與幾何公差綜合的公差轉化模型。張開富等[8]提出了基于關鍵特征和圖的裝配容差表示方法，建立了基于有向圖的、集成尺寸、形位及配合容差的裝配容差模型。胡偉等[9]建立了裝配精度信息模型，分析了航天器裝配關鍵節點的公差作用影響以及不同幾何坐標系下的裝配公差作用轉化機理，實現了裝配精度預測。鮑強偉等[10-11]為了研究尺寸及公差單元幾何特征之間的轉換關系，根據幾何特征與信息單元的映射關系對功能幾何相關的公差累積方程進行了推導，通過確定設計基準、定位基準和功能幾何位置信息，實現了裝配模型信息的層次化解析。

上述研究為公差轉化方法求解提供了不同思路，但仍存在以下問題：①TTRS理論、SDT理論都未對基準之間相互約束自由度下的公差轉化進行分析，只是從基準體系約束下功能幾何自由度的角度考慮公差轉化，容易導致基準體系冗余或過約束；②上述方法都是利用公差漂移邊界求解幾何公差變動區域，并且都是對部分幾何公差類型進行解析，缺乏對自由度約束下的幾何公差求解，與美國機械工程師協會(ASME)標準對幾何公差的定義不一致；③上述方法并沒有在測量點的坐標值變動層面考慮幾何公差的變化，不適用于基于點測量模式的數字化裝配設備。

針對上述總結的3點問題，本文提出了一種基于公差圖(T-Map)的公差轉化方法。T-Map公差模型是將幾何特征映射到歐氏空間的點空間模型，T-Map中的每個映射點對應幾何特征的每一個可能的變動位置，能夠直觀表示相同特征上的多個公差和在一個或多個指定修改材料條件的基準特征，其邊界表示偏差范圍。DAVIDSON等[12]建立了標準平面特征的T-Map公差模型，BHIDE等[13]建立了圓柱特征的T-Map公差模型，在此基礎上，JIANG等[14]通過構建T-Map，對零件加工過程中圓柱特征基準轉換后加工公差的合理性進行了驗證。本文基于T-Map與ASME標準兼容以及表達直觀簡潔等特點，將T-Map作為公差轉化的公差數學模型，以交點軸線為研究對象，構建交點軸線的T-Map，提出基于T-Map的飛機部件交點軸線公差轉化方法。

1 基于T-Map的交點軸線公差模型構建

飛機裝配協調中，交點軸線指兩交點連線，屬于直線類特征，其公差域為圓柱域。圖1表示交點軸線的變動區域，受4個自由度方向約束，其理論軸線可沿兩個平動方向Tx、Ty和繞兩個轉動方向Rx、Ry變動，理論軸線軸長為l，公差域大小為T，圓柱域的坐標系Ocxcyczc位于圓柱幾何中心。

圖1 交點軸線的變動區域Fig.1 The variable domain of Intersection axis

將交點軸線的變動映射為T-Map，T-Map的每個坐標軸對應一個自由度方向，但由于轉動與平動的單位分別是角度與長度，使得T-Map各坐標軸的單位不統一,因此，利用等效線性變換對T-Map各坐標軸單位進行統一。三維空間中的直線可由Plücker坐標(L,M,N,P,Q,R)表示，其中，L、M、N表示直線的方向變動量，P、Q、R表示直線的位置變動量[15]。圖1中，實際軸線相對理論軸線在Rx、Ry方向的變動量分別對應M、L，在Tx、Ty方向的變動量分別對應P、Q。設圓柱域上下表面中任意點的坐標分別為p1(x1,y1,z1)和p2(x2,y2,z2)，則有z1=l/2，z2=-l/2。建立三維空間直線Plücker坐標與p1、p2的關系：

(1)

式(1)中，理論軸線軸長l是定值，所以N為定值；R是T的2階小項，可忽略不計。依據式(1)，利用Mv=lM/2和Lv=lL/2，對轉動變動量進行等效線性變換。考慮N為定值和R為可忽略的高階小項，將交點軸線對應于T-Map中的映射點表示為Ω(P,Q,Mv,Lv)，該映射點能夠在歐氏空間中進行表示。另外，各自由度方向的偏差波動彼此相關，受公差域約束的交點軸線T-Map的邊界方程為

(2)

式(2)的幾何意義是四維空間中的兩個曲面相交的部分為交點軸線T-Map邊界。為此，設Ω(P,Q,Mv,Lv)中某項為0，則可在三維空間中表示映射點的波動范圍，如Mv=0時的交點軸線T-Map見圖2。

圖2 Mv=0時的交點軸線T-Map Fig.2 T-Map of intersection axis when Mv=0

2 交點軸線基準變換模型構建

交點軸線裝配方案調整后，基準的變換致使特征的相對位置和GD&T發生改變，為了方便描述基準變換前后交點軸線相對位置與GD&T的關系，需構造一個表示基準變換前后相關參數轉化關系的模型。

2.1 交點軸線相對位置關系構建

圖3 集成GD&T的交點軸線基準變換相對位置關系Fig.3 Integrated GD&T’s intersection axes datum transformation relative positional relationship

(3)

式(3)說明裝配方案調整后，目標特征與裝配基準的位置關系已發生變化，為此，將相對位置關系與GD&T進行統一表示：

(4)

i∈{1,2,…,n}j∈{1,2}

2.2 基于GD&T的T-Map解析

裝配基準變換會使裝配方案中的參考關系發生改變，導致特征的約束關系也發生改變，為滿足設計要求，此時需要重新求解合適公差。對于實際裝配過程，以目標特征的實際參考為裝配基準，目標特征與裝配基準不一定一致。

圖4 基于有向圖的基準變換前后GD&T關系模型Fig.4 The GD&T relation model with before and after datum transformation based on directed graph

(5)

(6)

圖5 GD&T關系調整后的公差回路Fig.5 The adjusted tolerance loop of GD&T relationship

3 基準變換下的交點軸線T-Map重構

裝配方案調整后，交點軸線的變動會因基準變換影響其他特征，交點軸線的T-Map也會相應改變,為此，需要對基準變換后交點軸線T-Map公差模型進行重構。首先，通過解析交點軸線變動關系得到目標特征在各自由度上的變動量；然后，求解各自由度上的變動量，獲得目標特征T-Map映射點坐標；最后，依據基準變換關系，得到基準變換后的交點軸線T-Map公差模型邊界。

3.1 面向基準變換的交點軸線變動分析

利用文獻[16]給出的偏差傳遞狀態空間方程可得f1、g1和g2間的累積變化公式：

(7)

(8)

由式(8)可得

(9)

同理，建立fi、g1和g2間的累積變化關系：

(10)

(11)

將式(9)代入式(11)得

(12)

(13)

3.2 目標特征T-Map映射點坐標計算

(14)

(15)

式中，li為特征fi的理論軸長。

(16)

3.3 基準變換后的T-Map邊界解析

(17)

根據式(2)和式(17)，基準變換后，fi的T-Map邊界方程為

(18)

(19)

依據式(18)和式(19)，基準變換后fi的T-Map映射點的約束條件為

(20)

圖6 當Mv=0時，基準變換后的交點軸線T-MapFig.6 The intersection axis T-Map after the datum transformation(Mv=0)

4 ST-Map最小約束條件求解

4.1 基準變換后T-Map的2維空間域求解

依據式(20)，選用Lv-Q或Mv-P方向的二維空間域作為判斷依據。基準變換后在Lv-Q與Mv-P方向二維空間域的約束條件分別為

(21)

(22)

(23)

圖7 基準變換后Lv-Q方向的二維空間域Fig.7 The Lv-Q direction’s two-dimensional spatial domains after the datum transformation 表1 圖7中4個極限映射點坐標Tab.1 4 limit map point coordinates in figure 7

Ω1(0,|z(1)i|t(j′)1/l1,lit(j′)1/(2l1),0)Ω2(0,-t(j′)1/2,0,0)Ω3(0,-|z(1)i|t(j′)1/l1,-lit(j′)1/(2l1),0)Ω4(0,t(j′)1/2,0,0)

4.2 ST-Map的二維空間域求解

(24)

依據式(21)、式(22)和式(24)，可得ST-Map在Lv-Q和Mv-P方向二維空間域的約束條件：

(25)

(26)

4.3 二維空間域幾何關系的比較

在基準變換前的T-Map中，Lv-Q與Mv-P方向的二維空間域形狀依據式(2)可知都為正方形，那么在正方形邊界上任意一點的坐標值之和必為定值。由此，為得到某方向的最小約束條件只需確定ST-Map對應方向二維空間域上最大坐標值之和的映射點即可。用Lv-Q方向的二維空間域進行說明，ST-Map由變換后的T-Map累積獲得，其Lv-Q方向的二維空間域為凸多邊形，則映射點最大坐標值之和在其邊界的4個極限映射點之中。通過表2的信息可獲得圖9所示ST-Map與基準變換前T-Map的二維空間域幾何關系。最小約束條件為

圖8 ST-Map在Lv-Q方向的二維空間域Fig.8 The Lv-Q direction’s two-dimensional spatial domains of ST-Map 表2 圖8中4個極限映射點坐標Tab.2 4 limit map point coordinates in figure 8

Ω11(0,(t(1′)1+t(2′)1)|z(1)i|/l1,(t(1′)1+t(2′)1)li/(2l1),0)Ω22(0,-t(1′)1+t(2′)1/2,0,0)Ω33(0,-(t(1′)1+t(2′)1)|z(1)i|/l1,-(t(1′)1+t(2′)1)li/(2l1),0)Ω44(0,t(1′)1+t(2′)1/2,0,0)

Lvi=

(27)

類似地，可得圖9所示Mv-P方向的二維空間域幾何關系。最小約束條件為

Mvi=

(28)

圖9 Lv-Q方向和Mv-P方向二維空間域 幾何關系比較Fig.9 The geometrical comparison of Lv-Q direction and Mv-P direction’s two-dimensional spatial domains

5 基于T-Map的交點軸線公差轉化

在實際裝配中，交點軸線的約束自由度方向因位置、方向及基準優先性而被基準特征限制，故在公差轉化過程中僅需考慮部分自由度的約束。另外T-Map與ST-Map的變動范圍在基準變換公差轉換過程中會因公差大小而受限制，為此，可比較不同自由度約束情況下T-Map與ST-Map的幾何關系，分別進行最大可能公差值的求解，從而獲得基準變換前后公差的約束條件，即基于T-Map的公差轉化關系。

5.1 4自由度約束的最大公差值求解

4個自由度方向約束下的交點軸線，其T-Map的Lv-Q方向與Mv-P方向的二維空間域的約束條件都必須滿足，那么基準變換前的T-Map與滿足式(27)及式(28)條件的ST-Map的二維空間域相等，T-Map的邊界方程為

(29)

(30)

式中，Ti為變換前T-Map的公差值；ci為2種情況下最小約束條件的統一系數。

ST-Map與T-Map的二維空間域必須相等，因此需確定Ti的最大值。由式(29)可知：

Ti=

(31)

(32)

5.2 3自由度約束的最大公差值求解

假設受P、Lv和Mv方向約束，則原T-Map應滿足：

(33)

由式(33)和式(28)可知，Ti的T-Map的邊界方程為

(34)

式(34)右邊項可認為是如下兩個橢圓坐標軸X和Y的坐標：

(35)

由于式(35)表示的兩橢圓形狀相同，則其Minkowski和為

(36)

依據式(36)，Ti的最大值為

(37)

(38)

由式(38)可知，式(37)中的max(Ti)與式(32)中的max(Ti)相同。

5.3 2自由度約束的最大公差值求解

假設受P和Q方向約束，則原T-Map應滿足：

(39)

Ti的T-Map邊界方程為

(40)

Ti=

(41)

(42)

5.4 1自由度約束的最大公差值求解

若受P方向約束，原T-Map應滿足：

(43)

Ti應滿足：

(44)

5.5 不同自由度約束下公差轉化關系解析

(45)

將式(45)與如下基于特征公差尺寸鏈的傳統公差轉化方法中的公差轉化關系相比：

(46)

6 實例應用

圖10 基準變換前的叉耳式飛機機身-機翼 對接簡化圖Fig.10 Fork-type aircraft fuselage-wing docking simplified diagram before the datum transformation

在圖10傳統裝配方案中，通過平面幾何特征f1間接傳遞公差檢驗l3相對于l2的同軸度，不滿足基于點測量布設及測量簡單的數字化裝配需求。為此，對該方案優化調整，如圖11所示。裝配基準A的位置用雙耳片接頭的交點構成的交點軸線替代，同軸度分別為tx和ty。根據圖10與圖11中的三維尺寸標注信息，將公差轉化過程中需要的各參數值統計列于表3。設定如下：基準變換前的裝配基準A對應特征，j=1，i=1；基準變換后的裝配基準A對應特征，j=2，i=2；目標特征為機翼單耳片接頭交點構成的交點軸線，i=3。

圖11 基準變換后的叉耳式飛機機身-機翼 對接簡化圖Fig.11 Fork-type aircraft fuselage-wing docking simplified diagram after the datum transformation表3 公差轉化過程中的各參數值Tab.3 The value of each parameter during the tolerance conversion process

mm

由式(32)和式(45)可得各參數間的約束關系：

(47)

由式(46)可得各參數間的約束關系：

(48)

對比式(48)、式(47)可知，基于T-Map的公差轉化方法相比于基于特征公差尺寸鏈的公差轉化方法，考慮了軸向偏移、理論軸線軸長對轉化結果的影響。尺寸鏈與T-Map公差轉化方法得到的同軸度tx與ty關系見圖12。

圖12 尺寸鏈與T-Map公差轉化方法下同軸度 tx與ty的關系Fig.12 Relationship of concentricity between tx and ty under dimension chain and T-Map tolerance conversion method

由圖12可得，基于T-Map的公差轉化方法獲得的公差值相比于基于特征公差尺寸鏈的公差轉化方法得到的公差值更精確。如，同軸度tx=0.013 mm時，基于T-Map的公差轉化方法獲得的同軸度(ty=0.008 mm)小于基于特征公差尺寸鏈的公差轉化方法獲得的同軸度(ty=0.012 mm)。

7 結論

(1)利用映射點表示裝配特征，利用T-Map幾何關系表示裝配特征變動關系，將裝配特征變動轉化為T-Map點空間模型的坐標變換，可直接建立裝配特征偏差波動的空間域，滿足了面向點測量模式的數字化裝配容差控制的需求，通過T-Map求解幾何公差變動區域與ASME標準對幾何公差的定義一致。

(2)將基于T-Map的公差轉化方法與傳統的尺寸鏈公差轉化方法相比，通過基準變換過程中的幾何尺寸及公差關系，建立了面向裝配的公差轉化關系，通過基準間相互約束的自由度個數，解析了不同自由度方向約束的偏差，從點的坐標值變動層面，對自由度約束的幾何公差進行了完整求解，符合三維公差空間特征間的關系，使轉化得到的公差值更精確。

(3)本文考慮的幾何特征類型單一，還存在一定的局限性，接下來將對基于T-Map的其他特征類型及多基準變換的公差轉化方法進行研究。