計及摩擦的擺線輪齒與針齒的分形接觸模型

韓 炬 李 威 董 威

1.北京科技大學機械工程學院，北京，1000832.華北理工大學機械工程學院，唐山，063210

0 引言

擺線針輪傳動機構是工業機器人關節減速器的關鍵部件，目前關于擺線針輪傳動嚙合接觸特性的研究主要采用基于赫茲理論的方法[1-4]和有限元方法[5-8]，這兩類方法均未考慮接觸表面微觀形貌對接觸特性的影響。此外，文獻[9-10]提出了一種精確預估擺線針輪接觸時的嚙合齒數并確定接觸點的實際位置，進而獲取接觸載荷的動力學分析方法，并考慮軸承的影響，對擺線針輪接觸非線性力學系統進行建模與分析；文獻[11]應用影響系數法，對二齒差擺線針輪的接觸特性進行了分析。以上分析均是針對擺線針輪的宏觀接觸面進行的數值分析。文獻[12]綜合考慮了擺線針輪的宏觀輪廓、接觸應力以及齒面的粗糙度、傳遞效率等參數，建立了擺線針輪綜合潤滑性能分析模型，但在接觸應力的分析中并未考慮接觸面微觀形貌的影響。

自文獻[13]提出分形理論以來，其應用非常廣泛。文獻[14]指出機械加工面具備明顯的分形特征。文獻[15-16]提出的MB分形接觸模型是近年來眾多相關研究的基礎模型，MB模型采用Weierstrass-Mandelbrot函數(簡稱“W-M函數”)模擬粗糙平面的表面形貌，但由其推論出的“接觸面積小時發生塑性變形而接觸面積大時發生彈性變形”的結論，與經典接觸理論相左。MB模型以及針對MB模型的缺陷提出的ME模型[17-18]是現有分形接觸模型的典型代表，兩種模型的對象是兩粗糙平面之間的接觸，但實際的機械零件之間的接觸多是粗糙曲面之間的接觸。文獻[19-21]提出的HC模型對兩粗糙圓柱面之間的接觸特性進行了分析，該模型中引入了接觸系數，但該系數的構建只考慮了宏觀特征，且該接觸系數不能準確反映兩接觸曲面接觸面積的大小。

機械結合面的微觀形貌及表面接觸特性對零部件的表面摩擦磨損性能有顯著的影響。綜合宏觀和微觀因素，對機器人關節減速器中靜態及動態結合面的接觸機理進行深入研究，對提升我國工業機器人關節減速器的研發水平意義重大。本文以單對擺線輪齒與針齒接觸為研究對象，綜合考慮接觸曲面的宏觀和微觀特征，計及摩擦因素的影響，建立了其分形接觸模型，為進一步確定多齒嚙合的擺線針輪傳動機構的時變接觸特性提供了理論參考。

1 擺線輪齒與針齒的形貌模型

1.1 基于W-M函數與矢量函數的表面形貌模型

要準確分析擺線輪齒與針齒的接觸特性，需要構建合理的表面形貌模型。粗糙曲面可以看作是在光滑曲面上隨機分布高度、大小不等的微凸體，綜合應用W-M函數和矢量函數表征粗糙曲面的表面形貌。粗糙曲面的表面形貌見圖1，由圖1可知：

r*=r±z(s)m

(1)

式中，z(s)為向量r的方向上對應的微凸體的高度[22]；s為曲面截面曲線的弧長；m為曲線上K點的單位法向量；G為特征尺度[23]；Ra為接觸表面粗糙度，μm；D為分形維數，D=1.528Ra-0.042[24]；γn為粗糙曲面的空間頻率，γ>1，一般取γ=1.5；n為頻率指數；nmin為最低頻率指數;rθ、rθθ分別為r對θ的一階導數與二階導數；“±”與曲線的凹凸有關，當曲線內凹時取“+”，當曲線外凸時取“-”。

圖1 粗糙曲面表面形貌圖Fig.1 Plot of rough surface

由式(1)可知，針齒的表面形貌模型為

(2)

G=105.26Ra-0.042

式中，rp為針齒半徑。

圖2為在MATLAB中繪制的針齒表面形貌圖，其中，D=1.542 4，G=4.903 1 nm，nmin=1。

(a)原始比例

(b)100倍顯示

(c)1 000倍顯示圖2 針齒分形形貌圖Fig.2 Fractal topography of pin tooth

經過等距修形與移距修形的擺線輪齒的表面形貌模型為

(3)

rc(θ)=(x(θ),y(θ))

式中，rc(θ)為光滑擺線輪齒上一點的矢徑；Rb為基圓半徑；Rg為滾圓半徑；ΔRb為移距修形量；ΔRp為等距修形量；e為針齒中心與滾圓圓心的中心距；i0為擺線輪與針輪的相對傳動比；K1為擺線輪短幅系數，K1=eZp/Rg；Zp為針輪齒數；mc為光滑擺線輪齒上一點的單位法向量；s*為起點到嚙合點的弧長。

圖3為在MATLAB中繪制的單個擺線輪齒的表面形貌圖。

(a)原始比例 (b)100倍顯示

(c)1 000倍顯示圖3 擺線輪齒分形形貌圖Fig.3 Fractal topography of cycloid tooth

應用FEI QUANTA 650掃描電子顯微鏡，對擺線輪齒齒廓進行測試。圖4為線切割得到的單個完整擺線輪齒的電鏡測試圖，對比圖4與圖3，可以看出，式(3)對擺線齒輪輪齒表面形貌的模擬具有高度合理性。

(a)線切割擺線齒輪輪齒測試樣品

(b)電鏡測試放大100倍圖

(c)電鏡測試放大1 000倍圖圖4 擺線輪齒電鏡測試圖Fig.4 Electron microscope test images of cycloid tooth

1.2 擺線輪齒與針齒的接觸比例系數

現有基于分形理論的粗糙面接觸模型的研究對象大多為粗糙平面，但擺線輪齒與針齒均為粗糙曲面，其接觸面積遠小于平面之間的接觸面積，文獻[19-21，25]均提出了粗糙曲面接觸時的接觸系數概念，但已有文獻中對構建的曲面接觸系數只具備初步的合理性，且接觸系數體現了宏觀特征的影響。現有研究結論包括：接觸系數不大于1；內接觸時接觸系數大于外接觸時的接觸系數；當兩圓柱面半徑一致時，內接觸時接觸比例系數等于1。由文獻[19-21，25]的數據及曲線可知，當兩等半徑的圓柱面外接觸時，接觸比例系數的值接近0.85，該值顯然不合理。

結合曲面表面形貌模型，綜合考慮曲面的宏觀特征和微觀特征，采用筆者前期研究過程中構建的接觸比例系數λcp[26]：

(4)

式中，n*為微凸體等級；lt為微凸體的截斷長度；l為微凸體基底長度；ρp為針齒上接觸點的曲率半徑，此處為針齒半徑；ρci為擺線輪齒上第i個接觸點的曲率半徑；ρi為第i個接觸點的綜合曲率半徑[3]；φi為嚙合相位角，φi∈[0,2π]；Rz為針輪中心圓半徑；θp為針齒曲面與光滑平面的臨界接觸角度；θcp為擺線輪齒曲面與光滑平面的臨界接觸角度。

圖5所示為各參數對擺線輪齒與針齒的接觸比例系數的影響。從圖5中可知，擺線輪齒與針齒的接觸比例系數始終小于1，且針齒與擺線輪齒的內凹部分接觸時的接觸比例系數遠大于與擺線輪齒的外凸部分接觸時的接觸比例系數；接觸比例系數隨分形維數的增大而減??；隨特征尺度的增大而增大；隨擺線輪與針輪中心距的增大先增大后減?。浑S針齒半徑的增大而增大；隨針輪齒數的增加而增大。由以上分析可知，本文構建的接觸比例系數很好地體現了針齒與擺線輪齒接觸過程中的時變特性。

(a)分形維數(e=0.9 mm，rp=2 mm，Zp=40，G=4.903 1 nm) (b)特征尺度(e=0.9 mm，rp=2 mm，Zp=40，D=1.542 4) (c)中心距(rp=2 mm，Zp=40，D=1.542 4，G=4.903 1 nm)

(d)針齒半徑(e=0.9 mm，Zp=40，D=1.542 4，G=4.903 1 nm) (e)針輪齒數(e=0.9 mm，rp=2 mm，D=1.542 4,G=4.903 1 nm)圖5 各參數對接觸比例系數的影響Fig.5 Influence of parameters to contact coefficient

2 考慮摩擦因素的分形接觸模型

在分析中引入摩擦因素是近年來分形接觸模型的重點研究方向[20，27-29]，本文構建的擺線輪齒與針齒的分形接觸模型中也體現了摩擦因素的影響。

2.1 擺線輪齒與針齒接觸面積分布

擺線輪齒與針齒的嚙合接觸屬于典型的高副接觸，且接觸過程中，擺線輪齒的曲面曲率是時變量，結合所提出的接觸比例系數與文獻[15]中對分形接觸面積分布的推導可知，擺線輪齒與針齒嚙合時的接觸面積分布為

(5)

式中，A為粗糙表面微凸體的接觸面積；Amax為微凸體的最大接觸面積。

2.2 摩擦影響下的擺線輪齒與針齒接觸模型

2.2.1微凸體接觸變形模型

李小彭等[27]以MB模型為基礎，進行了考慮摩擦的結合面分形模型分析，得出了微凸體彈塑性變形的臨界面積，然而MB模型假設微凸體變形量為微凸體的整個高度，該假設并不合理。從圖6所示的微凸體接觸變形簡圖中可知，微凸體的變形量ω與微凸體的高度δ不一致，且0≤ω≤δ，ω的表達式為

(6)

δ=GD-1l2-D

圖6 微凸體與剛性平面接觸變形簡圖[11]Fig.6 Schematic of deformation of an asperity with a rigid flat plan in contacting[11]

由赫茲接觸理論可知，微凸體的臨界彈性變形階段的接觸面積

(7)

式中，R為微凸體頂端曲率半徑。

發生塑性變形的臨界變形量

(8)

式中，H為材料的硬度；K′為硬度系數，一般取K′=0.454+0.41ν；E為彈性模量；ν為泊松比。

此時的接觸載荷[17]

(9)

綜合式(7)、式(9)可得

(10)

當接觸曲面之間存在滑動摩擦時，接觸壓力P[24]滿足：

P=1.1kμσy

(11)

式中，σy為材料的屈服強度；kμ為摩擦因子μ的分段函數，當0≤μ≤0.3時，kμ=1-0.228μ，當0.3<μ≤0.9時，kμ=0.932e-1.58(μ-0.3)。

將式(11)代入式(10)可知，計及摩擦影響時，彈性變形面積

(12)

從式(12)可知，彈性變形面積為尺度相關量。

微凸體發生彈塑性變形的臨界變形面積[27]

(13)

2.2.2擺線輪齒與針齒的接觸面積及接觸載荷

粗糙曲面接觸時，參與接觸的微凸體可能存在3種變形狀態，依次為完全彈性變形、彈塑性變形和完全塑性變形，彈塑性變形階段又可以分為第一塑性變形區域與第二塑性變形區域。KOGUT等[30]對微凸體的3種變形狀態進行了細致的研究，成雨等[31]根據KOGUT等的研究對粗糙面的接觸面積與接觸載荷進行了推導。

擺線輪齒與針齒的真實接觸面積

Ar=Are+Arep1+Arep2+Arp

(14)

ψ=5.453e-D/0.628+1.499 1

式中，Are為發生彈性變形的微凸體的總接觸面積；ψ為分形區域擴展系數[32]；Arep1為發生第一塑性變形的微凸體的總體接觸面積；Arep2為發生第二塑性變形的所有微凸體的接觸面積；Arp為發生完全塑性變形的微凸體的接觸面積；Aepc為微凸體第一塑性變形的臨界面積；Aμpc為微凸體完全塑性變形的臨界面積。

擺線輪齒與針齒的接觸載荷

Fr=Fre+Frep1+Frep2+Frp

(15)

[(205.382 7Aμec)1.102 1-0.5D-

式中，Fre為彈性變形部分的接觸載荷；Frep1為第一彈塑性變形部分的接觸載荷；Frep2為第二彈塑性變形部分的接觸載荷；Frp為完全塑性變形部分的接觸載荷。

擺線輪齒與針齒的接觸載荷與真實接觸面積之間的量綱一關系為

(16)

2.2.3微凸體的等級

微凸體等級系數n*(n*≤nec)直接決定了微凸體所處的狀態，根據成雨等[31]的研究，可知微凸體彈性臨界等級:

(17)

第一彈塑性臨界等級

(18)

第二彈塑性臨界等級

(19)

當n*≤nec時，微凸體處于完全彈性變形狀態；當necnpc時，微凸體變形包括彈性變形、第一彈塑性變形、第二彈塑性變形和完全塑性變形。

3 擺線輪齒與針齒分形接觸模型特性分析

以RV-20E型減速器為例，其基本參數如表1所示。

取G=4.903 1 nm，D=1.542 4，l=0.01 mm，可知本例中微凸體的等級n*=12，而nec=10，nepc=14，即nec

表1 RV-20E型減速器擺線輪基本參數Tab.1 Parameters of cycloid in RV-20E reducer

3.1 摩擦因素對接觸特性的影響

根據式(16)的分形接觸模型，不同摩擦條件下擺線輪齒與針齒接觸時，量綱一接觸載荷與接觸面積之間的關系見圖7，圖7中的數據為最大的接觸面積與相應的接觸載荷，由于擺線輪齒與針齒接觸時其接觸載荷和接觸面積為時變量，通過對其他接觸點的相應接觸載荷和接觸面積的分析，發現該變化規律與圖7相同，因此圖7具備代表性。

圖7 摩擦因素對接觸特性的影響Fig.7 Influence of friction factor to contact characteristic

從圖7可看出相同載荷下，接觸面積隨摩擦因素增大而增大，當μ≤0.3時，相同載荷下，真實接觸面積的增幅很小，μ>0.3時，真實接觸面積的增幅較大。本文的結論與文獻[33]所得結論相反，文獻[33]的接觸模型是基于MB模型的，其結論是當接觸面積較大時發生彈性變形，接觸面積較小時發生塑性變形，該結論有悖于常識及經典接觸理論。

相同載荷條件下，結合面越粗糙，其接觸面積越大是顯而易見的，本文的結論與文獻[32，34]的結論一致。

3.2 微觀特征對接觸特性的影響

分形維數D與特征尺度G兩個微觀特征均與表面粗糙度Ra有關，圖8所示為固定量綱一接觸載荷下，結合面粗糙度對接觸面積的影響。

圖8 結合面微觀特征對接觸面積的影響Fig.8 Influence of contact area by microscopic feature

當粗糙度為0.4 μm時，微凸體處于完全彈性變形狀態；當粗糙度為0.8 μm時，微凸體處于彈性變形與第一彈塑性變形狀態；當粗糙度為1.6 μm、3.2 μm、6.3 μm時，微凸體處于彈性變形、第一彈塑性變形與第二彈塑性變形狀態。

從圖8可知，量綱一接觸面積隨結合面粗糙度先增大后減小。當粗糙度為1.6 μm時，量綱一接觸面積最大；當粗糙度為0.4 μm時，由于結合面較光滑，微凸體的高度差相對較小，微凸體均處于彈性變形；當粗糙度增大到1.6 μm時，接觸面粗糙程度加大，發生塑性變形的微凸體增多，使得量綱一接觸面積增大；當粗糙度繼續增大時，微凸體起伏加劇，雖然部分微凸體已經處于第二彈塑性變形狀態，但由于接觸面粗糙程度進一步增大，微凸體高度增加，實際發生接觸的微凸體反而減少，致使量綱一接觸面積減小。由此也可推知擺線輪與針輪的粗糙度并不是越大越好。

3.3 宏觀特征對接觸特性的影響

擺線輪的齒廓相對比較復雜，圖9所示為結合面在相同量綱一接觸載荷下，各宏觀特征對量綱一接觸面積的影響。從圖9中可看出，量綱一接觸面積隨針齒半徑的增大而減小，隨中心距的增大而減小，隨針輪中心圓半徑的增大而增大，隨針輪齒數的增加而減小。

4 結論

(1)構建的擺線輪齒與針齒的接觸比例系數與擺線輪齒的輪廓曲率相對應，具有時變性。結合面的宏觀特征與微觀特征對接觸比例系數均有影響，當擺線輪齒的外凸部分與針齒接觸時，接觸比例系數遠小于擺線輪齒的內凹部分與針齒接觸時的接觸比例系數，接觸比例系數的值始終小于1。

(a)針齒半徑對量綱一接觸面積的影響

(b)中心距對量綱一接觸面積的影響

(c)針輪中心圓半徑對量綱一接觸面積的影響

(d)針輪齒數對量綱一接觸面積的影響圖9 結合面宏觀特征對接觸面積的影響Fig.9 Influence of contact area by gross feature

(2)考慮摩擦因素，構建的擺線輪齒與針齒的分形接觸模型中，結合面的接觸載荷與接觸面積不僅與摩擦因素有關，還與結合面微觀特征以及宏觀特征有關，相同載荷下，接觸面積隨摩擦因素的增大而增大，當μ≤0.3時，真實接觸面積的增幅較小，μ>0.3時，真實接觸面積的增幅較大。

(3)結合面粗糙度變化時，由于表面形貌的變化，微凸體的變形狀態也存在動態變化，相同載荷下，接觸面積隨結合面粗糙度的增大先增大后減小，因此擺線輪齒與針齒的粗糙度并不是越大越好。

(4)相同載荷下，接觸面積隨針齒半徑、中心距、針輪齒數的增大而減小，隨針輪中心圓半徑的增大而增大。

(5)本文構建的分形接觸模型重點研究了單對擺線輪齒與針齒的接觸特性，關注了微觀形貌與宏觀特征對接觸特性的影響。擺線針輪傳動機構屬于多齒嚙合機構，后續將考慮潤滑介質的影響，并結合本文構建的模型，通過針對性試驗對擺線針輪機構的總體接觸特性及熱特性進行深入分析。