有限群中非交換子群的共軛類數

楊桂芳, 孟 偉, 盧家寬

(1. 廣西師范大學 數學與統計學院,廣西 桂林 541000;2. 云南民族大學 數學與計算機科學學院,云南 昆明 650500)

0 引言

設G是有限群.F表示一個非空的群類,δF(G)表示群G的非子群的共軛類數. 顯然,δF(G)=1 當且僅當G是極小非F-群(G非F-群, 但G的每個真子群皆為F-群). 關于極小非F-群的研究已取得很多經典的結果, 如極小非交換群[1]、極小非冪零群[2]、 極小非超可解群以及極小非p-冪零群. 因此研究給定數量的δF(G)有限群是一個比較有意思的問題. 特別地,當F為循環群類時已取得豐富的結果(見文獻[3-7]).

本文主要關注非交換子群的共軛類數. 文中用τ(G)表示G中非交換子群的共軛類數,π(G)表示G的所有素因子的集合. 1903年, Miler和Moreno[1]給出τ(G)=1的有限群同構分類. 史江濤和張翠[8]證明了滿足條件τ(G)≤3的有限群必可解, 并且決定了τ(G)=4的非可解群僅有5次交錯群A5. 周志浩和郭秀云[9]給出了非交換子群共軛類個數為2的有限群的完全分類.

2015年, 孟偉[10]研究了滿足條件τ(G)≤|π(G)| 的有限群, 證明了這類群必可解并得到這類群的同構分類分類. 同時決定了滿足條件τ(G)=|π(G)|+1 的有限非可解群僅有A5. 后來, 文獻[11]又進一步決定了滿足條件τ(G)=2|π(G)|-1和τ(G)=2|π(G)|-2的有限群. 作為以上研究的繼續, 本文主要研究滿足條件τ(G)=|π(G)|+1 的可解群, 得到這類群的素因子個數不超過3 .

本文所涉及的所有群都是有限群, 沒有特別說明的概念和術語均是標準的, 可參見文獻 [12-15].

1 預備引理

引理1[1]設G是一個群,則τ(G)=1 當且僅當G同構于下列群之一:

1)四元數群:Q8;

2)亞循環群:Mn,m,p=[a,b|ap=bpm=1,ab=a1+pn-1];

3)非亞循環群:Nn,m,p=[a,b,c|apn=bpm=cp=1,[a,b]=c,[a,c]=[b,c]=1,ab=a1+pn-1];

引理2[10]令G是一個非交換的可解群,且 |π(G)|≥2, 則:

1)如果G的每個 Sylow-子群皆交換,那么τ(G)≥2|π(G)|-2;

①全面推行河道采砂可行性論證制度。在采砂權拍賣前，要全力推行河道采砂可研論證制度，保證河道采砂的科學性和合理性。

2)如果G至少有一個非交換的 Sylow-子群, 那么τ(G)≥2|π(G)|-1.

引理3[11]G是有限非可解群, 則τ(G)=|π(G)|+1 當且僅當G?A5.

引理4{11}若G?A5, 則τ(G)=|π(G)|+1=4.

2 主要結果

命題1設G是可解群,并且 |π(G)|≥4. 如果τ(G)=|π(G)|+1, 那么G的Sylow-子群皆交換.

證明假設G存在一個非交換的Sylow-子群. 因為G可解, 所以由引理2可知,τ(G)≥2|π(G)|-1. 另一方面, 由于τ(G)=|π(G)|+1, 故有|π(G)|+1≥2|π(G)|-1. 不等式成立迫使 |π(G)|≤3. 這與 |π(G)|≥4 相矛盾. 所以G的所有Sylow-子群皆交換.

命題2設G可解, 如果τ(G)=|π(G)|+1, 那么 |π(G)|≤4.

證明假設 |π(G)|≥5. 由命題1知,G的每個Sylow— 子群皆為交換群. 因此根據引理1知,τ(G)≥2|π(G)|-2. 另一方面, 因為τ(G)=|π(G)|+1, 所以有|π(G)|+1≥2|π(G)|-2.

定理3設G是有限群. 如果τ(G)=|π(G)|+1 時, 那么 |π(G)|≤3.

證明首先假設G非可解. 根據引理3知,G?A5. 顯然有 |π(G)|=3.

接下來假設G可解. 由命題2知, |π(G)|≤4. 假設|π(G)|=4. 此時τ(G)=5. 由命題1可知,G的每個Sylow- 子群皆交換. 令π(G)={p1,p2,p3,p4}. 則對每個pi, 可適當選取G的Sylow-pi-子群Pi使得集合{P1,P2,P3,P4}為G的Sylow系. 因此, 每個PiPj皆為G的子群.

若每個子群PiPj皆交換, 則G亦交換. 這與τ(G)=5 矛盾. 所以必存在一個形如PiPj的非交換子群. 不失一般性, 假設H=P1P2非交換. 我們聲明每個PiPj({i,j}≠{1,2}) 皆交換. 若否, 假設K=PiPj({i,j}≠{1,2}) 非交換. 如果(|H|,|K|)=1, 那么K=P3P4. 這樣便得到G至少擁有形如以下的非交換子群:G,H,K,HP3,HP4,KP1,KP2.

顯然這些子群階互不相同, 從而兩兩互不共軛. 故有τ(G)≥7. 這與τ(G)=5 矛盾. 所以(|H|,|K|)≠1. 不失一般性, 可假設K=P1P3. 這樣依然可以找到G至少擁有6個非交換子群:G,H,K,HP3,HP4,KP4.故有τ(G)≥6. 又一次矛盾. 所以每個PiPj({i,j}≠{1,2}) 皆交換.

根據上述討論可知,G=H×P3×P4. 顯然,G.H,HP3,HP4皆為G的非交換子群且彼此互不共軛. 由于τ(G)=5, 所以必有τ(H)≤2.

如果τ(H)=2, 那么H有一個非交換的真子群Q. 顯然,QP3與QP4也為G的非交換子群. 這導致τ(G)≥6, 與τ(G)=5 矛盾. 因此τ(H)=1.

接下來聲明Pi(i=3,4) 是素數階群. 若否, 不失一般性, 可假設 |P3|>p. 此時對P3的任一個非平凡的子群R. 顯然,HR與HRP4也為G的非交換子群. 這依然迫使τ(G)≥6, 矛盾.

綜上可知,G=H×Zr×Zs且τ(H)=1. 此時容易計算出τ(G)=4. 再一次與τ(G)=5 矛盾. 所以原假設不成立, 故有 |π(G)|≤3. 定理得證.