車削粗糙表面形貌的小波頻譜分析*

安 琪1 索雙富 林福嚴1 時劍文

(1.中國礦業大學(北京)機電與信息工程學院 北京 100083；2.清華大學機械工程系設計工程研究所 北京 100084)

表面粗糙度是評價機加工零件的重要指標，直接影響零件性能，如耐磨損性能、耐腐蝕性能、配合面的接觸剛度以及配合性質，結合面之間的接觸行為對機械系統的性能和壽命有著重要的影響[1]。微觀表面形貌蘊含豐富的信息，若將其中的信息提取出來并在加工之前進行控制，將會大大改善加工表面的質量。基于信號分析的思想，復雜信號可以看做是若干簡單信號分量之和，可以針對這些分量的組成情況來分析原信號的特征[2]。表面形貌可看做是一種多因素耦合影響的信號，信號分析較為成熟方法之一是頻譜分析[3]。

表面形貌信號并非平穩信號，高低頻信息相互干涉，直接進行形貌的頻譜分析很難提取出直觀的信息。近幾年，信號的小波分析彌補了頻譜分析的不足。以多尺度、多分辨率的優勢被廣泛應用于信號處理[4]。粗糙表面形貌包含多尺度的特征，為了準確合理地評價這種多尺度信號，需要一個靈活的時域和頻域分辨率[5]。LEE等[6]利用小波變換描述工程表面的形貌，提出了該方法可適用于控制產生一定粗糙度的表面。LIN等[7]將小波變換用于提取二氧化鈦納米晶體薄膜的表面形貌特征，得出表面粗糙度增加的原因。JIANG等[8]采用3種不同的小波建立表面信號過濾方程，將其應用于微細表面奇異特征值的提取。隨后，許多學者將小波分析與不同機加工方式所形成的表面形貌特征相結合，進行了相關研究工作[9-15]。但是上述研究大都基于小波變換的多尺度分層優勢，對于表面形貌數據沒有進一步地進行分析處理。

本文作者結合小波分析的信號多尺度分解優勢，對復雜的表面形貌信號進行處理。在驗證方法可行性過程中，發現若將原始信號直接進行小波分層，每層重構信號會出現頻率混淆與錯誤頻率的問題。對此，采用信號處理相關算法的過程分別進行分析與糾正。采用自定義構造函數的方式驗證了算法的正確性與合理性。最終將改良算法應用于三維白光干涉表面形貌儀所測試的車削表面的分析與處理，得到信號數據在各頻帶范圍下的真實頻譜，并開展了導致表面形貌變化的因素分析。

1 小波頻譜分析改進算法

1.1 信號的小波分析

小波信號分解原理：小波對原始信號進行逐層分解，每一層信號都可看作是高頻與低頻兩種成分的疊加，分解的過程則是將信號中的高頻信號提取出來，繼而對低頻信號進行下一層的分解。隨著分解層數的增加，低頻信號就能很好地分解出來，實現對原始信號的多尺度、高分辨率解讀。

圖1所示為小波三層分解的原理圖，圖中λ1(z)、λ2(z)、λ3(z)與γ1(z)、γ2(z)、γ3(z)為分解層數i=1，2，3下的逼近信號與細節信號。h(z)、h(z2)、h(z4)與g(z)、g(z2)、g(z4)為分解層數i=1，2，3下的低通濾波器與高通濾波器。其中x(z)=λ1(z)+γ1(z)=λ2(z)+γ2(z)+γ1(z)=λ3(z)+γ3(z)+γ2(z)+γ1(z)，按照三層分解的原理，可實現分析信號的多尺度分解。

圖1 小波分層原理圖

(1)

式中：2-m為尺度因子；k為平移因子。

任意信號f(t)∈L2(R)(平方可積函數空間)的離散小波級數表示為

(2)

小波分解系數可表示為

(3)

1.2 信號的頻譜分析

頻譜分析則是一種將復雜信號分解為簡單信號的技術。直接對復雜信號進行傅立葉變換，得到各分解信號的幅值在不同頻率下的信息。信號的傅立葉變換公式[16]如下所示：

(4)

式中:ω為頻率；t為時間；f(t)為原函數；e-jωt為復變函數；f(ω)為象函數。

對信號進行頻譜分析時，由于頻譜變換的對稱性，頻率范圍一般取采樣頻率的1/2，即[0，fs/2]。并且信號的采樣點數需要取2n個，否則在信號頻譜分析過程中會將缺失的點補零，把信號補到2n的長度，頻譜計算將失準。

如上所述，結合頻譜分析的信號頻譜特征表現與小波分析的信號多尺度分解優勢，將車削表面形貌復雜信號進行頻帶劃分，對各頻帶重構信號進行頻譜分析，可以實現信號各頻帶信息的特征提取。

2 算法的實現與改進

2.1 算法的驗證

結合小波分析與頻譜分析，可以將復雜的表面形貌數據進行各頻帶信號的提取與表征。在處理表面形貌信號時，首先采用自定義構造函數的方法進行算法上的驗證。

假設信號為正弦波疊加而成，各子信號的頻率分別為5、35、75、150 Hz，則構造的函數形式如下所示：

x=sin(10πt)+sin(70πt)+sin(150πt)+sin(300πt)

(5)

選取采樣頻率為400 Hz，采樣長度為2 s，可得到構造信號圖像如圖2所示。

圖2 自定義構造函數圖

直接對構造信號進行頻譜分析可以得到頻譜圖如圖3所示?？梢?，對于平穩信號直接進行頻譜分析，可以得到信號的頻率構成與各頻率幅值的大小，得到的分析結果與之前構造函數的頻率相同。

圖3 函數頻譜圖

下面采用小波分層方法對所構造的信號進行頻帶劃分，根據所構造的信號頻率，將小波的分解層數定為三層。信號分層后，對每一層的重構信號進行頻譜分析，所得結果如圖4所示。

圖4 函數的小波重構頻譜圖

按照小波分析中Mallat算法所得到的頻帶，理論上每個層次上的頻率成分如表1所示。

由表1所示的實際分層得到的頻譜可以看出，對小波分層重構信號的頻譜分析出現兩方面的問題：(1)出現與劃分頻帶不相符的頻率，即理論頻帶中出現其他頻率的信號；(2)出現錯誤的頻率，即出現與模擬信號不同的頻率。

表1 小波分解理論頻率分布

2.2 算法改進

想要找到問題的關鍵點，就需要分析信號小波分解與重構過程中數據的處理流程。信號分解與重構的流程包括3個步驟：(1)信號數據與濾波器進行卷積計算；(2)對濾波后的數據進行隔點采樣操作；(3)對數據進行隔點插零處理。對于問題一，所出現的頻率與模擬信號相同，但其幅值相比頻帶信號較小。最有可能的就是在數據與濾波器卷積的過程中，由于小波濾波器的邊界效應所導致的頻率泄漏，解決辦法只有提高小波的階數N，文中選取最大值N=10。而對于第二個問題，出現錯誤頻率，并且與構造信號的頻率完全不同?？赡艿脑蚓褪菙祿诟酎c采樣與隔點插零過程中出現錯誤而導致的。根據對Mallat算法重構信號展開分析，倘若對信號數據分別進行隔點采樣與隔點插零，這都將產生新的頻率，若兩者同時作用，所產生新頻率會相互抵消，但是如果只是對信號其中的頻帶進行重構，由于濾波器的缺陷，隔點采樣與插零的過程中則會產生新頻率分量無法抵消的情況，從而導致了錯誤頻率的出現。

上述分析表明，出現錯誤頻率的根本問題在于濾波器的非理想截止特性，這是濾波器的固有特性，無法改變。所以文中直接采用傅立葉變換與逆變換對數據的頻域直接截取的方法，去掉分析過程中無關的頻率成分，同時保證了隔點取值與隔點插零頻率分量相互抵消，進而實現數據在各頻帶分析中不會產生頻率的混淆與錯誤頻率產生的問題。經改進的算法，得到的各頻帶的頻譜圖如圖5所示。

圖5 改良算法得到的小波頻譜分析圖

由圖5可看出，通過改進算法對平穩信號進行小波分解得到的頻譜圖，各劃分頻帶沒有頻率混淆與錯誤頻率出現。通過信號直接頻譜分析與自定義函數頻率對照兩項結果的對比分析，驗證了改進小波頻帶頻譜分析處理信號算法的正確性與可行性。

3 車削表面信號分析

將信號處理的改進算法應用于車削表面形貌信號的處理，對表面形貌復雜信號進行頻帶劃分，對各頻帶重構信號進行頻譜分析，從頻率(波長)的角度對車削表面形成的各影響因素進行了劃分，最終實現信號各頻帶信號的特征提取。

3.1 車削表面形貌的采集

用三維白光干涉表面形貌儀對車削試樣表面形貌進行測量，白光表面形貌儀采用非接觸式白光掃描干涉原理，垂直分辨率可達0.1 nm，具有較高的測試精度。圖6、7所示分別為粗糙度Ra1.6 μm的車削試樣表面形貌，選取采樣長度分別為3、0.83 mm，對應的采樣間隔分別為2.931、0.815 μm。

圖6 3 mm采樣長度下的表面形貌

圖7 0.83 mm采樣長度下的表面形貌

3.2 車削表面形貌信號的處理與分析

由圖7、8所示的表面形貌可以看出，車削加工表面在長度方向具有很強的規律性，形貌的重復性較強，就直觀表現而言，車削加工的表面形貌呈現各向異性，可以進行三維形貌的二階譜矩判斷，這已有相關文獻證實[17]，這里不再贅述。運用車削表面的各向異性與各截面較高的相關性，可以將三維表面分析進行降維處理，簡化處理過程。因選取的試樣為外圓車削表面，為方便分析對其進行平面化處理，三維重構形貌如圖8、9所示。對原始數據進行重構，并采集了一組截面數據進行了二維小波分析。不同采樣長度下的二維形貌如圖10、11所示。

圖8 3 mm采樣長度下的三維重構形貌

圖9 0.83 mm采樣長度下的三維重構形貌

圖10 3 mm采樣長度下的二維形貌

圖11 0.83 mm采樣長度下的二維形貌

由圖12、13可以得到以下結論：(1)同一車削表面在不同采樣間隔下，表面形貌大致相同，頻譜的主頻信號大致相同；(2)不同采樣間隔下得到的表面形貌略有差別，采樣間隔更小時，獲得的表面形貌更精細，這就導致在采樣間隔小的情況下，出現更高的頻率；(3)信號直接的頻譜分析，頻率成分較多，無法直接判斷各個頻率信號影響因素的來源，并且反映細節部分的高頻信號在整體頻譜圖上幅值相對較低，直接分析難度較大。

圖12 3 mm采樣長度下的頻譜

圖13 0.83 mm采樣長度下的頻譜

下面將采用小波分層對信號進行各頻帶的分解，針對各頻帶重構信號進行頻譜分析，對影響車削表面形貌的各個因素進行對應尋找。

3.3 車削表面形成的影響因素分析

對于實際的粗糙形貌可分為3個組成部分：表面粗糙度、波紋度與形狀誤差。由于文中選取的處理信號總采樣長度為0.83 mm，由經驗與理論的結論，兩波峰或者波谷之間的距離(波距)λ<1 mm時，按表面粗糙度處理，因此文中只考慮粗糙度形成的影響因素。

將影響車削表面形貌的影響因素按照頻率(波長)劃分為3個部分，頻率(波長)由高到低依次為機床主軸的高頻振動、刀具的振動、加工參數(刀具的形狀、加工的進給量與背吃刀量等)。其中刀具的振動又可分為機床引起的振動與切削過程切削力變化引起的振動。針對表面形貌形成的各影響因素，基于第一節小波改進算法，文中將車削表面信號進行6層分解，經分析，信號的采樣頻率(波長)相對于信號的頻率(波長)較大，前兩層的信號頻率較高，簽于篇幅限制文中不予顯示，最終得到其他頻帶的頻譜如圖14所示。由各頻帶頻譜圖結合車削表面形貌形成的原因可以得到如下結論：(1)信號波長為0.02～0.06 μm-1時，為波長相對較大的成分，又可將其劃分0.02～0.04 μm-1和0.04～0.06 μm-1兩個部分，分別對應機床的刀具振動與機床主軸的高頻振動，振動的幅值在0.2 μm以內，只是在波長范圍內存在差異；(2)信號波長為0～0.01 μm-1范圍內，對應信號幅值為2 μm，這與加工參數的影響相互對應；(3)信號波長為0.01～0.02 μm-1范圍內，對應信號幅值為0.4 μm，這表現為切削過程中切削力變化所引起的影響。

針對影響粗糙度形成的多種因素，結合車削表面形貌頻帶的頻譜分析，找到了各頻帶與各影響因素的對應關系，進而可通過改變各影響因素達到控制最終表面形貌的目的。其中對于高頻信號，產生原因可歸為振動所造成的，只能通過改變機床的性能進行改進。對于低頻信號，則是由于加工參數(刀具的形狀、加工的進給量與背吃刀量等)等因素造成，屬于人為可控的因素。在保證加工件表面質量的的理想前提下，改變各加工參數，可以得到更加符合實際需求的、接近理想要求的表面形貌。

圖14 小波分解各頻帶信號頻譜

4 結論

(1)對小波變換信號的頻譜分析算法進行了改進，解決了分解過程中出現的頻率混淆與錯誤頻率產生的問題，采用自定義組合函數的方式驗證了改進算法的正確性與可行性。

(2)利用小波分析的信號多尺度優勢，將改進的信號處理算法應用于車削表面形貌的信號分解，對表面形貌信號進行頻帶劃分，對各頻帶重構信號進行頻譜分析，最終實現信號各頻帶信息的提取。

(3)結合車削加工表面粗糙度形成的各影響因素，得到各頻帶信號與影響因素之間的對應關系，為改善車削加工表面的粗糙度提供了理論支持。同時，也為車削表面模擬，也就是車削表面的數字化，提供了相關技術基礎。