例談數學抽象素養的表征與養育
——高考數學中的識別、理解、轉化、概括、直覺

江蘇浙江

高考數學中學生呈現的數學抽象能力是平時數學教學養育而成的，是較長時間訓練積累的爆發，因此研究高考數學抽象能力應該關注日常復習教學的養育過程及其表征.

數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程.主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并且用數學符號或者數學術語予以表征.數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學的產生、發展、應用的過程中.數學抽象使得數學成為高度概括、表達準確、結論—般、有序多級的系統.通過數學抽象核心素養的養育，學生能夠更好地理解數學的概念、命題、方法和體系，形成一般性思考問題的習慣，能夠在其他學科的學習中化繁為簡，理解該學科的知識結構和本質特征.

為什么提“養育”，而不是培養或訓練？主要體現筆者長期堅持的一種教育理念——任何一種素養的形成都是在一個較長時期才能形成的，如同我們養育一個孩子一樣，形成一種良好習慣和素養更是如此.目前中小學數學教學中有一種現象：數學教學中，教師關心最多的是學生的“算術頭腦”特征——即解題與結果，看重人工計算速度和準確度，而忽略學生的“數學頭腦”特征——即數學概念的形成及抽象過程，看重數學對象之間的關系，這一現象的文化背景就是“急功近利”思想在教育中的反映.

高考數學復習教學中如何真正的養育中學生的數學抽象素養，是一個值得冷靜思考的問題.即在課堂上，知識傳授過程中；在輔導時，問題求解過程中；在測試時，問題設計過程中，是否真正關注到數學抽象語言的識別，數學抽象符號的理解，數學抽象語言的轉化，問題抽象的表達與概括，數學抽象意識的直覺等.數學抽象的“識別，理解，轉化，概括，直覺”五個層次，從教學角度而言，個個重要，個個都需要花很大氣力才能有所收獲，下面通過具體例題來解讀，以引起教學實踐者的注意.

1.數學抽象語言的識別能力

學習數學的符號語言，特別是抽象的符號語言，首先要學會識別它.在中學數學教材中，有許多基本的符號語言，一要讀它認識它，比如人民教育出版社A版數學必修1在閱讀材料中有符號“card(A)”，但是許多學生不認識，在高考數學命題時，命題專家還要特別指明，多么可悲的一件事；二是學會理解它，比如集合列舉法與描述法，是集合語言的兩種基本表示方法，然而在下列一組檢測題中，第(3)題都有考生出錯.

例1.(1)設集合A={x|y=x2}，B={x|y=2x}，則A∩B=________.

(2)集合A={y|y=x2}，B={y|y=2x}，則A∩B=________.

(3)集合A={y=x2}，B={y=2x}，則A∩B=________.

(4)集合A={(x,y)|y=x2,x≥0}，B={(x,y)|y=2x}，則A∩B=________.

養育指導：4道題中集合的表示的語言都不同，有明顯差異，應該區別與理解，測試結果令人費解，100多名高三學生接受測試，最好的結果是做對2.5題，由此引起數學教師的教學思考，課堂復習教學在數學抽象符號語言的識別中做了什么，是否到位，一個連題干都看不懂的試題，還能應試解決它嗎？諸如“∑”“ln”“card”也一直是學生不認識的符號，為此建議在教學中引導學生關注數學抽象語言——符號語言，以及用符號語言編織的表達形式，強調這種關注的必要性.

2.數學抽象符號的理解能力

數學語言是由文字表征語言、符號抽象語言、圖形直觀語言所組合的語言系統，其中的符號抽象語言也是數學學科最重要的特征之一，面對由抽象符號語言組成的問題或命題，只有理解它才能解決它，抽象的符號語言從識別到理解，經過的路越短，理解力就越強.

信息“c與a-b所成的角為120°”說明：∠ADC=120°，從而∠ODM0=60°.

養育指導：由抽象的符號語言編織的數學表達形式濃縮著豐富的數學信息，挖掘它才能理解它，引導學生善于挖掘題干條件，對待問題不能線性思考，而是多角度多方向思考，并成為解題的一種思考習慣.

3.數學抽象語言的轉化能力

數學問題由數學語言組成，對于抽象的數學語言，要理解題意，尋找解題途徑，首先就是能將抽象語言轉化下去，尋找到可以直觀地理解的形式，這種能力建立在對數學概念、方法、思想的深刻理解.

例4.若函數y=log2(ax2+2x+1)的值域為R，則a的取值范圍為________.

問題轉化為“由y=log2u的值域為R，則u要取到大于0的一切實數，因此u=ax2+2x+1的判別式Δ=4-4a≥0，所以a≤1”.

養育指導：數學思想中“等價轉化與化歸思想”是一個重要而難以掌握的思想，但是積極引導、不斷示范、深刻地揭示，使學生慢慢地體悟，學生開竅了教師就成功了.

4.問題的抽象表達概括能力

現實生活中的數學問題有兩個方向進入人們的視野，一是建立數學模型，即數學化；二是由特殊到一般，建立反映本質特征的一般結論，這兩個方向都需要抽象表達的概括能力，而這種數學能力已成為其他學科，如物理、化學、生物等研究結論、規律表達的基本形式.

例5.出自人民教育出版社A版數學必修1，P82第6題：比較log67與log76的大小.

歸納問題1.比較大小：logn(n+1)與log(n+1)n，n為正整數.

歸納問題2.比較大小：loga(a+1)與log(a+1)a，a>0，a≠1.

探究后得到的結論：

結論1.當a>1時，loga(a+1)>logaa=1，log(a+1)alog(a+1)a；

然后引伸到冪指數的比較：

歸納問題3.比較大小：aa+1與(a+1)a(a>0，a≠1).

結論4.當0

例6.在2019年央視春晚小品《占位子》中，幾位家長為了給孩子占到教室的C位各施技巧，鬧出了一場令人啼笑皆非的笑話，現有編號為1，2，3，…，n的n個學生，入坐編號為1，2，3，…，n的n個座位，每個學生規定坐一個座位，設學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數為ξ，已知ξ=2時，共有6種坐法.

(Ⅰ)求n的值；

(Ⅱ)求隨機變量ξ的概率分布列和數學期望.

(Ⅱ)因學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數為ξ，由題意知ξ的取值為0，2，3，4，

當ξ取值0時，表示學生所坐的座位號與該生的編號都相同；

當ξ取值2時，表示學生所坐的座位號與該生的編號有2個相同；

當ξ取值3時，表示學生所坐的座位號與該生的編號有1個相同；

當ξ取值4時，表示學生所坐的座位號與該生的編號有0個相同，

所以隨機變量ξ的概率分布列為

ξ0234P124141338

一般模型：在2019年央視春晚小品《占位子》中，幾位家長為了給孩子占到教室的C位各施技巧，鬧出了一場令人啼笑皆非的笑話，現有編號為1，2，3，…，n的n個學生，入坐編號為1，2，3，…，n的n個座位，每個學生規定坐一個座位，設學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數為ξ，求隨機變量ξ的概率分布列和數學期望.

解析：ξ的取值為0，2，3，4，…，n，

養育指導：此問題的數學模型是概率論中著名的“裝錯信封問題”，用數學眼光看春晚，數學建模的意識與能力在養育中形成.

以上2個問題的抽象表達是在數學研究性學習中形成的概括，在復習教學中也應成為常態，這一能力也是在探尋過程中養育的！

5.數學抽象意識的直覺潛力

具體問題的數學抽象，從抽象意識層面必須建立在直覺思維的前提下，并不是每個問題每個人面對具體問題時都能夠想到去抽象、去一般化，如何養育這種直覺潛力？最接近學生認知水平的學習方式就是數學研究性學習，在國外教育中，許多從小學就開始訓練的專題或項目研究，學生從小學就開始小課題研究，學會提出有意義的數學問題，學會思考從特殊到一般的數學問題，只有經過如此過程的養育，數學抽象的意識、抽象的直覺潛能才能得到呈現.

在例5中，面對兩個結構明顯的對數“log67與log76”，真數與底數的數字交換，此問題一直在數學教材中，沒有數學抽象意識的直覺潛力，也無法想象出一般的兩個對數“loga(a+1)與log(a+1)a，a>0，a≠1”比較與研究，而通過數學抽象更加能提升學生創新能力的培養，在例6中，從春晚一個小品中思考其數學問題，提出數學問題本身就需要直覺意識.

養育指導：學生的直覺思維養育關鍵在于引導，在特定的課程上，比如數學研究性學習的課堂上，給出一些問題情境，讓學生經過一些思考后，立即表達自己的想法，對于具有直覺思維的表達給出評判與鼓勵，作出示范引導，只有在交流中才會產生直覺思維！

學生在高考數學應試中呈現的數學抽象思維正是對問題的“識別、理解、轉化、概括、直覺”，所以數學復習教學設計中，五大表征訓練要努力達到：

問題識別無障礙——順利通過審題關；

語言理解真到位——解題制定策略關；

模型轉化到本質——積累突破思想關；

表達概括求簡潔——腦海處處模型關；