考題中常見的切線問題

廣東

近期筆者在為學生解惑的過程中常遇到與切線有關的問題，有求函數圖象的切線方程，也有求圓錐曲線的切線方程.在指導學生解答2018年全國卷Ⅲ文科第21題的過程中，除了遇到求函數圖象的切線方程之外，還發現了利用曲線切線不等式的解題方法，此解法既為解決函數與導數的綜合考題開辟了新的解題途徑，也實現了復雜的解題過程簡單化.由于切線問題以各種形式頻繁出現于高考試題之中，所以深入鉆研高考試題中常見的切線問題是十分必要的.

一.高考對切線問題的考查

為了掌握高考對切線問題的考查力度和考查形式，筆者對2016至2018年全國卷Ⅰ、卷Ⅱ、卷Ⅲ的文、理科試卷進行了統計匯總成下表.從表格可以看出，各地每年的高考試卷都重視對切線問題的考查，而且考查力度有不斷加大的趨勢，2018年更為明顯.

近三年全國高考卷中考查切線問題的試題分布

二.函數圖象的切線問題

1.求函數圖象的切線方程

【例1】(2018·全國卷Ⅰ·文6理5)設函數f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函數，則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為

( )

A.y=-2xB.y=-x

C.y=2xD.y=x

解析：由于f(x)為奇函數，所以a-1=0，解得a=1，則f(x)=x3+x，f(0)=0.又由于f′(x)=3x2+1，則f′(0)=1，所以曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為y=x，則正確的選項為D.

【例2】(改編題)設函數f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函數，則曲線y=f(x)過點(1,2)的切線方程為________.

綜上所述，曲線y=f(x)過點(1,2)的切線方程為4x-y-2=0或7x-4y+1=0.

【評注】例1既是2018年全國卷Ⅰ文科第6題，也是理科第5題.考查的是求函數f(x)圖象上指定點(x0,f(x0))處的切線方程，解決方法也不難，就是先求函數f(x)在指定點處的導數f′(x0)，得到切線斜率，然后求切線方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).若所考查的是過指定點(m,n)的函數圖象的切線方程，則應該先設切點，再按上述方法求切線方程，然后將點(m,n)代入切線方程，從而求得切點坐標，進而得切線方程，如例2.

2.兩函數圖象的公切線問題

【例3】(2015·全國卷Ⅱ文·16)已知曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切，則a=________.

【評注】該題是2015年全國卷Ⅱ文科第16題，是兩函數圖象的公切線問題.由于可以直接求出函數y=x+lnx的圖象在指定點(1,1)處的切線方程y=2x-1，所以該題可以轉化為：已知切線方程y=2x-1，求函數y=ax2+(a+2)x+1解析式中的參數.考生可以先求函數的導函數，令導函數的值等于切線的斜率，便能確定切點的橫坐標，再將橫坐標代入曲線(或切線)方程就得到切點縱坐標，將切點坐標代入曲線(或切線)方程便可求得參數的值.如果函數為二次函數，那么也可以由聯立方程組，消元得一元二次方程，然后由Δ=0去求解.

三.圓錐曲線的切線問題

1.求拋物線的切線方程

(Ⅰ)當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；

(Ⅱ)y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？請說明理由.

(Ⅱ)存在符合題意的點.證明略.

【評注】該題是2015年全國卷Ⅰ理科第20題，考查求拋物線x2=2py的切線方程，教材(新課標人教A版)介紹了兩種解法，其中“判別式法”是通性通法，解答的過程為：如果切線的斜率存在，那么設切線的方程為y=kx+b，聯立得方程組，消去x(或y)，由Δ=0得到斜率(或斜率的關系式)；如果切線的斜率不存在，那么由圖形確定切線的方程.另外一種方法就是利用函數在某一點處導數的幾何意義去求切線的斜率，筆者稱其為“導數法”.由于利用“導數法”的運算量少，并且解答過程也不煩瑣，所以備受師生青睞.但是教材只介紹了利用“導數法”去求拋物線x2=2py的切線方程，那么方程為y2=2py的拋物線和其他的圓錐曲線,它們求切線方程是否也可以使用“導數法”呢?

2.借助導數求圓錐曲線的切線方程

同理可證得以下雙曲線和拋物線的切線方程.

公式三：若點P(x0,y0)在拋物線y2=2px上，則在該點處的切線方程為yy0=p(x+x0).

公式四：若點P(x0,y0)在拋物線x2=2py上，則在該點處的切線方程為xx0=p(y+y0).

第一，雖然隱意處于所言與含意的中間層，但受語境影響，它的中介作用具有臨時性。如果聽話者的交際期待在隱意階段得以實現，隱意成為最終交際意義，就不需要用進一步的語用加工來理解含意。

3.圓錐曲線的切線綜合問題

( )

【評注】該題考查求橢圓的離心率，也考查求圓錐曲線的切線方程，是中檔題.如果考生熟悉橢圓和雙曲線的切線方程，那么該題就可以被快速解決.

四.曲線的切線不等式問題

1.兩個重要的曲線切線不等式

由于函數y=ex的曲線在x=0處的切線方程為y=x+1，并且曲線在直線的上方(如圖所示)，則ex≥x+1(x∈R)，當且僅當x=0時等號成立.

公式五：ex≥x+1(x∈R)，當且僅當x=0時等號成立.

證明：設f(x)=ex-x-1，則f′(x)=ex-1.因為當x>0時，f′(x)>0；當x<0時，f′(x)<0，所以f(x)min=f(0)=0，則當x∈R時，ex≥x+1，當且僅當x=0時等號成立.

由于函數y=lnx的曲線在x=1處的切線方程為y=x-1，并且曲線在直線的下方(如圖所示)，則lnx≤x-1(x>0)，當且僅當x=1時等號成立.

公式六：lnx≤x-1(x>0)，當且僅當x=1時等號成立.

2.曲線切線不等式在解決數列綜合問題中的應用

【例6】(2018·浙江卷·10)已知a1，a2，a3，a4成等比數列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1，則

( )

A.a1a3,a2

C.a1a4D.a1>a3,a2>a4

解析：因為lnx≤x-1，所以a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)≤a1+a2+a3-1，得a4≤-1，即a1q3≤-1，所以q<0.若q≤-1，則a1+a2+a3+a4=a1(1+q)(1+q2)≤0，a1+a2+a3=a1(1+q+q2)≥a1>1(矛盾).所以-10，a4-a2=a1q(1-q2)<0.所以a1>a3，a2

【評注】該題為2018年浙江卷第10題，是數列與不等式的綜合問題，也是難度比較大的試題.考生如果熟練掌握曲線的切線不等式lnx≤x-1，那么自然可以由a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)看出a4≤-1，這就是該題的解題突破口.

3.曲線切線不等式在解決導數與不等式的綜合問題中的應用

【例7】(2018·全國卷Ⅰ文·21)已知函數f(x)=aex-lnx-1.

(Ⅰ)設x=2是f(x)的極值點,求a，并求f(x)的單調區間；

4.曲線切線不等式在解決導數與函數零點綜合問題中的應用

【例8】(2018·全國卷Ⅱ理·21)已知函數f(x)=ex-ax2.

(Ⅰ)若a=1，證明：當x≥0時，f(x)≥1；

(Ⅱ)若f(x)在(0,+∞)只有一個零點，求a.

解析：(Ⅰ)略；

【評注】該高考試題第(Ⅱ)小題是“導數與函數零點”的綜合問題，常規的處理方法是：利用導數研究函數的單調性，得知函數的大致圖象，分析函數圖象與x軸交點的情況，進而得出參數的取值范圍.可是，筆者在處理該題的過程中發現，靈活應用“曲線切線不等式”也可以解答該題，也就是說，“曲線切線不等式”為該題的解答開拓了新途徑.