基于元認知理論的高三數學解題教學思考

江蘇南通師范高等專科學校 (226000)

梁 瑾

高三第二輪的復習是在第一輪復習的基礎上，以專題訓練的形式進行查漏補缺，將整個高中的知識點進行提煉、重組，使其網絡化、系統化，從而提高解題能力.在這個關鍵的二輪復習過程中，學科組的老師們可謂費盡心思，使出渾身解數，收效是有的，但卻不容樂觀.學生解題往往是：解題前缺少對題意的審視和方法的選擇、比較；解題過程中缺乏“瞻前顧后”、及時糾錯；解題后沒有驗證答案正確性的意識，更不會自主性的舉一反三、觸類旁通.

解題教學本質上是一種思維教學，教師不僅要向學生展示“怎樣解題”的思維過程，更要向他們滲透“為什么這樣解”以及“怎樣學會解”的解題認知，從源頭上解決問題.

下面通過筆者的一個教學案例具體談談高三解題教學的思考.

師：這是2012年天津卷第19題第2問，從同學們的完成情況來看，發現很多同學對這個題目不是完全無從下手，但最終能完整做出的卻并不多，下面我們就一起來探討下這個題目.

師：題目要求我們證明直線OM斜率k的范圍，大部分同學們都想到設點M的坐標(x1,y1)，表示出斜率k，這是解題的目標意識.本題有兩個顯而易見的條件：(1)點M是橢圓上的點；(2)|AM|=|OA|.

生：根據這二個條件可以得到以下方程：k2=

我想把x1解出來.但是然后就進行不下去了，(不少同學露出深有同感的表情)，(我深知不少同學是這么做的，這種思路符合學生的思維特點，順乎一般思維規律，接下來算不下去，被卡了，這時我不能簡單的告訴他們如何做，更不能輕描淡寫的加以否定.尊重學生的思維，通過提出一些具有指向性的問題進行啟發，順其自然地幫助學生.在教學設計中有時需要采用稚化思維的設計策略.所謂稚化思維，就是教師把自己外在權威隱藏起來，在教學時不以一個知識豐富的教師自居，而是把自己的思維降格到學生的思維水平上，親近學生，接近學生，有意識地退回到與學生相仿的思維狀態，設身處地地揣摩學生的學習水平、狀態等以與學生同樣的學習情緒、同樣的思維情境、共同的探究行為來完成教學的和諧共創.[1])

師：不要被問題的表象所蒙蔽！觀察一下方程②，它的真相是？

生：哦，一元二次方程！(學生一下子被點醒，看到了曙光，開始投入運算)

生：利用求根公式得

生：必須化簡，但是二個根從哪一個先入手？(學生們嘀咕著)

師：不急著化簡，先回頭再來觀察一下題目，有沒有其他條件了？(很多學生解到這里就會中途放棄，這時需要學生學會回頭看題，挖掘條件)

生：好家伙，括號里還有個條件a>b>0(學生像發現了新大陸，對自己的發現很興奮)

師：往往括號里的內容就藏著解題的鑰匙啊，這需要我們今后重視！這樣我們就可以舍去一個根了，而且還會解決化簡問題.

(b2-a2)，則k2=-1-2a/x1=-1+2a/(a3-

師：嗯，勝利就在眼前了！這里舍根使用了放縮的方法，放縮必須要不等關系(及時歸納總結)

生：出現兩個變量，不能消元(學生又一次體驗了成功的滋味，積極性很高)

師：一定要消元嗎？如遇到二個甚至二個以上的變量，我們以往還有什么辦法處理？

生：整體思想！整體換元，把a2/b2視為整體,

師：這種證法雖然計算量大，但思維較流暢，同學們容易想到，當然這種證法中也有不少難點：一元二次方程的舍根、換元的思想、函數單調性的應用，還有題目中看似不起眼但卻是很關鍵的條件a>b>0的處理.(關注學生的意愿和學習過程中的情緒反應，并充分利用學生的反應，分享學生數學學習情境中的各種努力，呵護好學生的數學幸福感，充分尊重學生的元認知體驗，這對學生的學習投入和成績具有重要的影響.)

師：還有沒有其他的方法呢？換個角度敘述條件|AM|=|OA|.

生：|AM|=|OA|=a，說明點M的軌跡是圓(x+a)2+y2=a2.

生：哦！點M既是直線與橢圓的交點，還是直線與圓的交點，這樣通過聯立方程組，算出點M橫坐標(用k表示)從而得到關于k的方程，再根據已知條件a>b>0得到關于k的不等式，就能解出k的范圍.

師：邏輯思維很強！要求k的范圍，就想得到關于k的不等式……(正確的解題認知要在潛移默化中傳遞給學生)

學生甲出示了他的解題過程:

師：嗯,你的解法也很好！這兩種解法的本質是一樣的，都是在x0和k之間找到橋梁，由條件a>b>0產生不等關系.這種解題的思路方法或應納入我們的解題認知結構中去.

(數學問題解決的教學中，要善于通過“多解歸一”的方式，尋求不同解法的共同本質，乃至不同知識類別及思考方式的共性，最好能上升到思想方法、哲理觀點的高度，從而不斷地抽象出具有共性的數學方法，讓元認知的統攝作用有了真正的著落點.)

師：要實現目標求k的范圍，有時我們也可以將問題轉嫁，正難則反嘛.

師：這個問題變得有趣了！如何得到x1的范圍？大家討論一下(學生的積極性高漲，投入激烈的討論中)

師：這位學生解題時有較強目標意識，牢牢抓住目標與結論的差異與聯系，優化解法的同時大大減少了運算(教師在教學過程中，可以引導學生采用目標意識(一種元認知意識)，即抓緊目標，從要證明的結論出發，考慮要得到結論所需要的條件，這些條件能否直接從已知條件來？有沒有隱含條件？即從已知條件變形、轉換、推理過來.如果這樣還是不行，則考慮進行調節，將結論變形，化歸成一個熟悉的問題.在學生的解題過程中，引導他們主動地進行自我監控和調節)

這時教室后面一只手高高舉起.

師：你的觀察很敏銳！也就是我們還可以考慮數形結合的方法來處理

生A:可以先考慮∠AOM的范圍,需要將它放入一個三角形中，而且最好是直角三角形，如何構造一個直角三角形呢？

學生B在下面輕輕的提示：|AM|=|OA|.

師：想法很棒！可以說是另辟蹊徑，出奇制勝！

師：解題后的總結和反思是我們每個同學都必須養成的習慣，它有比解出題目更深遠的意義.

生：證法1通過尋找k和x1之間的關系將問題轉化為函數的單調性問題來求解.

生：證法2對結論進行追根溯源，找到解決問題的簡便方法，對我很有啟發.

生：證法3和證法1的本質是一樣的.

生：證法4利用了k的幾何意義，借助三角函數的單調性利用數形結合的方法.

生：我想應該還有別的方法，但不管哪種證法，條件a>b>0的放縮使用都起到了關鍵的作用，是解這道題的突破口.

師：同學們都總結的很到位！今天我們共同學習了這一道題，相信大家一定有不少的收獲.希望我們同學能通過這道題的共同探究找到數學解題的感悟.

“數學是思維的體操”，解題教學就是要教會學生去思考，培養學生自主、合作、探究的學習方法，積累學生的解題認知，形成自我監控的意識和習慣，這是我們解題教學的硬道理.