“問題串”在高中數學概念教學中的應用*

廣東省惠州市第一中學 (516007)

余 軍

1.引言

數學概念是數學學習的起點，是構成定理、法則、公式的基礎，是學好其它數學知識的前提.對于數學學科而言，數學概念就有如樓之地基，水之源頭[1].在實際教學中，不少數學課堂教學重解題輕概念,有的教師還是刻意的追求概念教學的最小化和習題教學的最大化,并譽名“快節奏、大容量”.實際上這是應試教育下典型的舍本逐末的錯誤做法，這也是造成學生低效學習的一大原因.那么，數學概念教學應該如何更好的進行呢？筆者在教學實踐中發現，教師可以設計“問題串”來促進數學概念的有效生成，數學問題通過“問題串”的形式來對某種數學概念進行表達，有助于揭露數學概念的本質.“問題串”的教學形式能夠很好地使學生了解、掌握概念的形成過程及其結構.“問題串”的設計目的是加強學生的自主學習能力，從而培養學生的學習興趣，提升學生思維品質和數學素養，并使學生能夠積極參與到教師的課堂教學交流中來.

2.“問題串”的概念

對于“問題串”的定義，筆者搜索了相關的參考文獻，借鑒了何敏老師的定義[2]，并增加了自己對“問題串”的理解.“問題串”是指在一定的學習范圍和主題之內，教師圍繞一定目標或某一個中心問題，按照一定的邏輯結構而精心設計的一組問題.通過幾個問題的前后聯系以及解決這些問題的方法的變化，形成一種更高層次的思維方法，以達到對問題本質的了解、問題規律的掌握、知識技能的鞏固、思維的拓展與遷移等目的.

3.“問題串”在數學概念教學中的應用

以筆者的教學實踐來看，在數學概念課上使用“問題串”的情況是比較多的,數學概念和命題是最重要的數學基礎知識之一,很多問題都是由它演變而來,它反映了數學對象的本質屬性.我們知道每一個數學概念都具有兩個作用,一是判斷作用,二是性質作用,即我們從任何一個數學概念,都可得到兩個真命題,教師要引導學生體會到直接利用概念的兩個作用來解決問題,將一些原本復雜的題目轉變成簡單的判斷型或應用型題目,加深學生對概念的理解.對數學概念的教學,既要把握它的內涵,又要了解它的外延.這樣才有利于學生對概念的理解[3].對于概念中的各項規定,各種條件,都要逐一認識,綜合理解,使之印象清晰,掌握牢固.

下面以人教版必修2中“直線的點斜式方程”一課為例，闡述“問題串”在數學概念教學中的應用：

3.1 教學構思

本節課是學生在學習了《直線的傾斜角和斜率》和《兩條直線平行與垂直的判定》的基礎上，學習直線方程單元序列的第一課時《直線的點斜式方程》，知識儲備充分，過渡自然合理，求曲線方程的一般方法和解析幾何的思想開始滲透.

在學習本節課之前，學生剛剛學習了直線的斜率與傾斜角的概念，經歷了探索確定直線位置的幾何要素的過程，“(已知)一個點和直線方向(斜率)”就是學生已經熟悉的條件之一；過已知兩點的直線的傾斜角(幾何意義)可以用斜率(數)刻畫，這為探索直線的點斜式方程奠定了知識基礎；學生之前經歷了探索用代數方法表示直線斜率(幾何意義)的過程，為探索直線的點斜式方程提供了可借鑒的探索經驗.

本節課設想通過數學“問題串”的設計，讓學生探索并自然得出直線點斜式方程的一般形式，并從中滲透求動點軌跡的一般方法，同時通過“問題串”強化方程純粹性和完備性的分析，培養學生建立推導曲線方程的嚴謹性意識，最后再設置“問題串”來鞏固新課知識.

限于篇幅，舍去了教學目標，教學重難點等內容，著重說明教學過程的片段設計.

3.2 教學設計

3.2.1 復習導入

回顧2：下列判斷正確的有.

(1)任何一條直線都有一個對應的傾斜角；已知直線的傾斜角可以確定一條直線；

(2)任何一條直線都有對應的斜率；

(3)經過兩定點可確定一條直線；

(4)已知直線上一點和直線的斜率(或傾斜角)可確定一條直線.

解析：(1)任何一條直線都有一個對應的傾斜角，但傾斜角相同的直線有無數條，它們互相平行，所以已知傾斜角一個幾何要素確定不了一條直線(的位置)，故(1)錯誤；(2)傾斜角為90°的直線沒有斜率，故(2)錯誤；(3)，(4)正確.

問題1既然由(3)(4)可以確定一條直線，并且平面直角坐標系內的一個定點可以用坐標即一個有序的實數對來表示，那么直線如何用代數形式來表示呢？

解析：結合初中所學的關于一次函數的圖像為一條直線的事實，引導學生形成一個關于直線代數形式的初步印象——關于x,y的二元一次方程.

設計意圖：在學生此前已獲得的知識儲備和已有的認知水平的基礎上，通過基本公式回顧和設置一些問題來為新課引入做好準備，不但列出接下來點斜式方程推導過程當中所需要的公式基礎，而且通過設問提到一次函數的圖像為直線，也在思維上給學生做好鋪墊，即本節課所推導出的直線的代數形式為關于x,y的二元一次方程.

3.2.2 直線的點斜式方程的推導

問題2若直線l過定點A(-1,3),斜率為-2,由(4)可知直線l就確定了，請完成以下問題：

(1)寫出直線l上除A點之外任意一點B的坐標，能否用數字寫完直線l上所有點的坐標？

(2)若在直線l上任取除A點之外的一點P(x,y),試寫出有序實數對(x,y)所滿足的關系式.

解析：(1)因直線l上有無數個點，故用數字不能寫完直線l上的所有點，只能去探求直線l上所有點所滿足的一般規律(或關系式)；

問題3將問題2推廣，若定點A的坐標改為一般的已知點(x0,y0),設直線l的斜率為k,則在直線l上的一個動點P(x,y)所滿足的關系式又是什么？

問題4由以上問題3可知，直線l上的任意一點都是方程(*)的解；反之以方程(*)的解為坐標的點，是否都在直線l上呢？

答：說明直線P1A的斜率和直線l的斜率相同，即它們的位置要么平行，要么重合，非此即彼.由于P1A與l有一公共點A，所以P1A與l不會平行，只會重合.也就是說點P1只能在直線l上.

若要是點A(x0,y0)與點P1(x,y)重合呢，毫無疑問，點P1(x,y)肯定在直線l上.故以方程(*)的解為坐標的點都在直線l上.經過定點A(x0,y0)斜率為k的直線l的方程為：y-y0=k(x-x0).這個方程是由直線上一定點及其斜率確定，所以我們把它叫做直線的點斜式方程.

問題5點斜式方程能表示所有的直線嗎？若不能，此時該直線怎么表示？

解析：特例1：當直線l的傾斜角α=0°時，即k=0，則直線l的方程：y-y0=0(x-x0),即y=y0.

特例2：當直線的斜率不存在，即傾斜角α=90°時，直線l與x軸垂直，l上每一點的橫坐標都為x0,此時直線的方程為x=x0.

設計意圖：通過一系列“問題串”的設置，本著“從特殊到一般”的認識規律，逐步引導學生探索并導出直線點斜式方程的一般形式，并從中滲透求動點軌跡的一般方法以及推導曲線方程的一般過程，為后續直線其它形式方程及圓的方程甚至于圓錐曲線方程的學習奠定基礎；同時通過對點斜式方程純粹性和完備性的分析培養學生建立推導曲線方程的嚴謹性意識.

3.2.3 直線的點斜式方程的應用

例1 已知直線經過點P(-2,3),斜率為2,求這條直線的方程.

問題6由以上可知：直線l:y-3=2(x+2),即y=2x+7，所以直線的點斜式方程可以轉化為y=kx+b的形式，現在我們知道x的系數k表示直線的斜率，那么b的含義是什么呢？

解析：當x=0時，y=b，故直線y=kx+b與y軸的交點坐標為(0,b)，故當直線的斜率為k且過點(0,b)時其方程就為y=kx+b,即y-b=k(x-0),所以也是由點斜式方程變形而來的.即為點斜式方程的一種特殊形式.

3.2.4 直線的斜截式方程

如果直線l的斜率為k,且與y軸的交點為(0,b),則直線l的方程：y-b=k(x-0)，即y=kx+b，把b稱為直線l在y軸上的截距,y=kx+b稱為直線的斜截式方程.

問題7斜截式方程能表示所有的直線嗎？截距是否等同于距離？

解析：(1)同點斜式一樣斜截式方程不能表示斜率不存在即與x軸垂直的直線；

(2)截距b不是距離的意思，是直線與y軸交點的縱坐標，是一個可為正、負、零的數.

例2 已知直線過點(0,-1)，且與直線y=3x-2平行，求該直線的方程.

解析：所求直線的斜率為3，截距為-1，則所求直線的方程為：y=3x-1.

變式已知直線過點(0,-1)，且與直線y=3x-2垂直，求該直線的方程.

設計意圖：強化并鞏固新課知識，讓學生自然的感受到斜截式方程來自于點斜式方程，斜截式方程是點斜式方程的特例，讓學生體會它們之間的聯系.當直線與y軸交點坐標已知時，利用斜截式方程求解更簡捷.

3.2.5 課堂小結

(1)直線的點斜式方程(已知直線的斜率及直線上一點)：y-y0=k(x-x0).

適用范圍：不能表示斜率不存在(即與橫軸垂直)的直線；

(2)直線的斜截式方程(已知直線的斜率及截距)：y=kx+b.

適用范圍：不能表示斜率不存在(即與橫軸垂直)的直線.

3.2.6 思維拓展

問題8下列直線方程各表示什么幾何特征的直線？

(1)y=2x+m,(2)y=kx+2,(3)y=kx+2k-3.

解析：(1)表示斜率為2的平行直線系，(2)表示截距為2的共點直線系，(3)表示恒過定點(-2,-3)且斜率存在的直線系.

設計意圖：對已有的問題進行變式拓展，能開闊學生的解題思路，激起學生的求知欲和學習興趣，而強烈的求知欲和濃厚的學習興趣是創新能力發展的內在動力.

3.2.7 課后作業

必做題:課本(人教A版必修2)P95頁練習1，2，3.

選做題 1.a為何值時,直線l1:y=-x+2a，與直線l2:y=(a2-2)x+2平行?

2.求過點P(3,-2)且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等的直線方程.

設計意圖：練習的設置有梯度，有層次感，適合不同層次的學生學習，體現分層教學.選做題是兩道開放性題目，有助于培養學生的發散思維，為學有余力的學生安排的.從而體現了新課程理念：以學生為本，讓不同的學生在數學學習上得到不同的發展.

3.3 教學設計評析

筆者認為教學中，所設計的問題應當符合學生的實際，否則，如果問題過大、過難，學生往往無從下手，難以形成有效的探究活動；同樣道理，問題也不能過小、過碎，這樣的引導，在很大程度上就失去“發現”的意義．因此，所設計的“問題串”，要留給學生恰到好處的思維空間，而且所設計的“問題串”，不僅包含知識層面，還應包含認知層面.

本節課通過一系列“問題串”的設計，本著“從特殊到一般”，再從一般到特殊的認識規律，符合學生的認知特點.首先從學生熟悉的直線的“形”入手，轉為用斜率進行“數”的表達，反過來再分析所得“數集”與原圖形的對應關系.本節課讓學生經歷幾何問題代數化、代數形式幾何化的轉變過程是教學關鍵，理解直線的點斜式方程及形成過程是教學重點，正確認識新出現的“直線的方程”概念是教學難點.通過“問題串”強化并鞏固新課內容，讓學生更深刻的掌握數學知識.

4.結束語

“問題是數學的心臟”，在數學教學中“問”是很重要的，也是很有技巧的.數學教學應該圍繞著數學問題進行，數學教學過程應貫穿于提出問題和解決問題的始終.“問題串”在高中數學概念教學中的應用正體現了：數學課堂教學設計的理念應完成由知識主線到思維活動主線再落實到問題為主線的轉變.數學課堂“問題串”教學既有利于學生提高學習效率和學習能力，也有利于激發和強化學生學習的動機.通過探究問題和情境的設置，能夠充分調動學生學習的能動性，還能夠提高學生發現問題、提出問題、解決問題的能力，從而能夠有效地將數學概念的掌握與數學能力的提高進行有機的統一.由此可見數學課堂“問題串”教學是一種高效的教學，可以減輕學生學習的負擔，使學生學得主動而快樂，符合數學教學新課程改革的要求.因此，我們應學會用“問題串”，善用“問題串”，用好“問題串”，努力為教育事業拓展一片新的世界.