在探究中理解，于理解中探究*
——一道課本題的反思與拓展

江蘇省興化市第一中學 (225700)

姜 馨

數學教育的本質就是培養學生用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析問題，用數學的思想解決問題.從數學教育的本質上講，就是要提升學生分析問題，解決問題的能力.積極有效的數學探究活動，有助于促進學生探究習慣的形成，有助于培養學生良好的數學思維習慣、抽象能力及交流合作意識，讓學生在探究的過程中不斷理解數學的本質，提升數學核心素養.

蘇教版選修2-1第37頁有這樣一條求橢圓離心率與范圍的題目，學生在解完之后，覺得意猶未盡，如果能在本題的基礎上做一些變動，做一些深入研究是不是更有意思一點呢？本文就是基于這一點和同學們一起開啟了探究之路.

1.引例

(1)若∠F1PF2為直角，求橢圓的離心率；

(2)若∠F1PF2為鈍角，求橢圓離心率的取值范圍.

本題清晰自然，點P位置確定，易在具體三角形中求值與求范圍，如果將點P改為橢圓上的一個動點，又該如何解決問題呢，不妨做下列探究.

2.探究新知

試問1 本題需要先做兩個方面的研究，如何理解∠F1PF2=90°？如何理解“存在”？

第四點直角的理解，就是本題的幾何解釋了，即當橢圓與以F1F2為直徑的圓有交點時，存在點P使得∠F1PF2=90°.如圖1所示.

圖1 圖2

上述的探究過程很好的解決了存在點P的問題，其實問題還可以進一步探究，點P在橢圓上移動∠F1PF2怎么變化呢，有沒有一定的規律？

試問2 當點P在橢圓上移動時，∠F1PF2能取到最大值嗎？此時點P位于何處？

借助于幾何畫板，發現當點P由左向右移動時，角先變大，再變小，當點P位于上下端點時角最大，如圖2所示.

證明：根據橢圓的定義可知，PF1+PF2=2a，在ΔF1PF2中，∠F1PF2∈(0,π)，由余弦定理得

有了這個結論，只需要用一個角就可以“控制”角的變化，即∠F1BF2≥90°時橢圓上就存在了一點P使得∠F1PF2=90°，以“靜”制“動”，萬變不離其宗.

3.拓展延伸

試問3 如果將橢圓的兩個焦點換作橢圓長軸的兩個端點，這時∠APB的變化情況又如何呢？

圖3

tan∠APB=tan(∠PBx-∠PAB)

tan∠APB=tan(∠APE+∠BPE)

有了這個結論就同樣可以利用“以‘靜’制‘動’”的方法來解決上面的問題了.

4.習題教學心得

習題教學，是否有效、高效，深刻地反映出一個教師的專業水平和素養.在習題教學中，教師是學生思維的引領者.教師對問題的理解深度直接影響著學生對問題的認識程度.教師在教學中把握好梯度，由淺入深，引導學生們去探索—理解—應用，在解題中逐步成長.

4.1 在探究中理解

章建躍博士指出，教師在教學過程中要學會理解數學、理解學生、理解教學，學生在學習過程中要理解題目的本質.在上述例題中，學生在探索求解方法時，對題目中的一些關鍵詞是不是真的理解了，如“存在”、“直角”等.“直角”我們如何理解，由直角可以聯想到哪些知識點，如何去運用直角這個條件，都需要老師帶領著學生去聯想、去理解、去體現.“存在”它的含義是什么，是單個存在還是共同存在，要使其存在，是不是只要達到一定的要求就可以了呢？等等這些都需要學生去探索、去理解.在探索中不斷完善對知識的理解才是實現學習的真諦.

4.2 在理解中探究

數學的學習過程就是一個需要不斷完善的過程，羅增儒教授提出“學會解題的四步驟程式是‘簡單模仿、變式練習、自發領悟和自覺分析’”.在對改編1的題目理解之后，是不是就止步了呢？如果條件再發生改變，能不能解決呢？這就需要在理解的基礎上再次探索.比如由對PF1+PF2=2a的理解，能否探索PA與PB的內在聯系；由∠F1PF2的變化情況能否聯想到∠APB的變化情況；由利用∠F1PF2的余弦值為載體證明最大角，能否探索出以何為載體來證明∠APB的最大值.通過問題的再提出，引導學生自發領悟和自覺分析，不斷總結，提出新思路，總結新結論，完善對新結論的理解，達到學習的新高度，最終實現在解題中成長，在成長后解題.

4.3 注重核心素養的培養

對于改編題，題目新，通過不斷改變點P的位置，觀察角的變化，歸納出一般性結論，對歸納的結論進行證明，形成定理，最后再對定理靈活應用.這樣的一個完整的研究數學問題的思路，符合學生認知規律，對培養孩子們思維的邏輯性、嚴密性起到了很好的引領作用.歷史上偉大的數學定理的發現都經歷了這個過程，本習題的講解，不但教會了學生如何解題，更教會了學生發現問題、處理問題的方法，培養了學生的核心素養，使學生受益終身.

總之，習題教學應符合學生的身心發展規律，關注數學內容、教學理論、教學實踐與核心素養的有機結合，有步驟、有梯度引導學生直面問題，不斷探索，讓學生從本質上理解數學，從技術上優化數學解題，從方法和思想上發展數學的理性思維，使素養之花在學生的心目中綻放.唯有這樣，才能讓學生領悟“在探究中理解，于理解中探究”，促進學生不斷成長.