看似無圓勝有圓 多解之中本質現

北京市陳經綸中學 (100020)

張留杰 孫丕訓

解三角形問題是歷屆高考的熱點之一，作為填空題的壓軸題在高考模擬試題中倍受青睞，試題雖小，但思辨味兒濃、解法多樣，內涵豐富．

圖1

題目(湖北省八校2018屆高三第二次聯考16)如圖1，平面四邊形ABCD中，△ABD為等邊三角形，且BC=2，CD=1，則△ABC面積的最大值為．

一、解法剖析

評注：由已知條件，先聚焦于△BCD，借助正、余弦定理分別表示正△ABD的邊長和△ABC的面積，最終用關于角α的三角函數求出面積最大值，屬通性通法．

圖2

評注：解析法是用代數方法解決幾何問題的主要手段，若固定線段BC，不難得出點D在單位圓上運動，由等邊三角形想到向量的旋轉，所以借助復數及其幾何意義快捷得出△ABC面積的最大值，思路自然，過程簡潔．

圖3

解法三：如圖3，將線段BC繞點B，按逆時針方向旋轉60°至BE，連結EC、AE，易得△BCE為等邊三角形，又等邊△ABD，易證△BAE?△BDC，所以AE=DC=1．

評注：題目條件中只有邊長沒有角度，利用等邊三角形的中心對稱性，旋轉線段BC，構造另一等邊三角形，則點A相對于正△BCE而言，總在以點E為圓心半徑為1的圓上運動，由圖形特征不難得出BC邊上高線的最大值．方法巧妙，思維靈活，對直觀想象能力要求較高．

二、問題的幾何本質揭示

回顧以上解題過程，發現此問題的形成過程源起一對同心圓，經過一番探究，我們得出問題的一般模型，揭示了試題的幾何本質．

結論B、D是半徑分別為a、b(a>b)的同心圓C上的兩動點，CB=a，CD=b，以BD為邊作等邊△BDA，則

圖4 圖5

(2)線段AC的最大值為a+b；最小值為a-b(如圖6、7)．

類比上述解法三，以上結論不難證明(這里從略)．

圖6 圖7