百轉千回妙用隱零點

江蘇省盱眙中學 (211700)

梁 義

函數零點是新課標教材中的新增內容之一，縱觀近幾年各地模擬試題，經常出現一些與零點有關的問題，它可以以填空題的形式出現，也可以在解答題中與其他知識交匯考查，可以說“零點”已經成為了新的熱點、亮點和思維生長點.特別是有些零點不是顯性給出時，我們稱之為“隱零點”(既能確定其存在，又無法用顯性的代數式進行表達)，這時就需要根據相關知識進行轉化，本文通過范例歸納出隱藏零點的轉化方法.

引例(2019屆高三徐州期中)已知函數f(x)=x|x2-a|-a，若f(x)有三個零點，則實數a的取值范圍是．

解析：(1)a=0時，f(x)=x|x2|=x3，只有一個零點，不合題意.

(2)a<0時，f(x)=x(x2-a)-a=x3-ax-a，f′(x)=3x2-a>0，f(x)在R上單調遞增，所以，f(x)=x3-ax-a=0不可能有3個解，也不合題意.

圖1

(3)a>0時，f(x)=

評注：本題解決函數零點個數問題時，通過對問題的轉化：函數零點?方程的根?方程組的解(兩個函數圖像的交點)，進而實現了問題解決.

從引例可以看出，解決該類型問題時往往需要靈活、合理的轉化，下面以近年各地的試題為例說明這部分內容的常見題型及求解策略，以期對各位讀者有所啟示.

一、顯隱混搭，圖像相助

評注：此類函數給出了某一部分區間內的表達式背景新穎、構思巧妙，將顯、隱函數完美的結合.解決這類問題時，可以通過函數與方程形式的轉化，結合圖像變換(平移、伸縮、翻折等)，讓圖像成為解決問題的一把利器.

二、虛設零點，整體代換

例2 已知函數f(x)=ax2-x-lnx，a∈R．

(1)若-1≤a≤0，證明：函數f(x)有且只有一個零點；

(2)若函數f(x)有兩個零點，求實數a的取值范圍．

綜上，當-1≤a≤0時，函數f(x)在(0，+∞)有且只有一個零點．

(另：可以考慮放縮，利用lnx≤x-1，則f(x)≥ax2-2x+1，則必然存在x0∈(0，1)，使得f(x)>0)

當x∈(0，x0)時，g(x)<0，f′(x)<0；當x∈(x0，+∞)時，g(x)>0，f′(x)>0．∴函數f(x)在(0，x0)上單調遞減；在(x0，+∞)上單調遞增．

以下驗證：當0

三、數值估算，步步為營

例3 已知函數f(x)=lnx-ex+ax-a，若關于x的方程f(x)=0有唯一解x0，且x0∈(n,n+1)，n∈N*，求n的值.

N*知n=1.

點評：對于此類問題的處理，一般沒有現成的規律和方法可循．我們只能通過一些手段去探求問題的正確思路．比如：①化歸，嘗試著將問題轉化為一個我們較為熟悉的問題或者是另外一種表達方式，看看是否有益尋找正確的思路；②結合已知的表達式，看清影響函數取值的主要因素，合理有效地去猜測、驗證，調整，再驗證，必要的話，不斷重復這樣的過程；③結合常見的不等式去放縮，看看是否對解題有幫助．