初中幾何教學中問題鏈的應用

清華大學附屬中學上莊學校 蔡田雨

數學教學不僅要教給學生一些基本數學知識和方法，更主要的是培養一種學習習慣，一種思維方式，一種應用數學來解決問題的方法。對于我們老師來說，不僅要讓學生知道這個知識是什么，怎么學會這個知識，更應該讓學生知道這些知識間有著怎樣的聯系，要教給學生本源的內容，讓學生通過知識的學習提升分析、解決問題的能力。

如果說總目標是課堂教學的指南針，那么子目標就是實現總目標的具體指路牌。我采取的是以問題為教學主線，使整節課在提出問題、質疑問題中推進發展，以發現問題——解決問題——再發現問題為過程主線。我以《與角平分線有關的角的計算》為例，談談如何通過問題鏈的方式引導學生進行學習，在潛移默化中培養學生數學素養。

【問題1】請大家利用手中的這兩個角擺出可能的位置關系。（提前做好2個角的教具）

【問題2】共頂點時的圖形位置關系有哪些？

通過電腦演示可以發現：當∠COD繞點O旋轉時，其角平分線在∠COD兩側的情況相同，因此只需研究OF在OE一側的情況即可。因此存在5種情況。

【問題3】這些圖形根據公共元素可以怎樣分類呢？

學生動手擺放，體會兩角之間的位置關系，體會不同位置關系對圖形關系帶來的影響。讓學生初步建立有位置關系就確定了數量關系，但數量關系定了位置關系可能不確定。 滲透分類討論的思想，培養學生全面分析、考慮問題的好習慣。通過從動態角度思考問題，培養學生思維的有序性。接著引導學生繼續思考：如果從動態角度看，這些圖形是怎么形成的呢？這些角可以看作是∠AOB不動，將∠COD繞點O旋轉而成的圖形。

【問題4】圖1中分別存在哪幾個角？這些角之間存在怎樣的數量關系？

圖1

【問題5】如果在圖1中添加一條角平分線，可以怎樣添加呢？

【問題6】若∠AOB=70°，∠BOC=36°，在此條件的基礎上，請你在上圖中添加一條角平分線，并提出數學問題。

我們可以發現，當添加一條角平分線后，可求圖中新增的角，即可建立由OE形成的角與原來的角∠AOB、∠COB之間的關系。

【問題7】如果添加兩條角平分線時，會有哪些情況呢？又會產生哪些問題呢？舉例：在圖6，若∠AOB=α，∠BOC=β，我們可以任作兩條角平分線，那么可以出現哪些情況呢？

（1）作∠AOB、∠BOC的平分線；（2）作∠AOB、∠AOC的平分線；（3）作∠BOC、∠AOC的平分線。

下面我們從一般情況開始，以作∠AOB、∠COD的角平分線的情況為例進行研究。

【問題8】設∠AOB=α，∠COD=β，∠BOD=γ，不妨設α＞β，OE平分∠AOB，OF平分∠COD，試確定∠EOF與α、β、γ之間的數量關系。

學生獨立分析，猜想結論，并說明理由。由于角平分線的位置不同，會導致不同的數量關系：

【問題9】這些不同的位置下存在不同的結論，那么它們之間是否存在一定的聯系呢？

請學生繼續觀察，當∠COD繞著點O逆時針轉動的過程中，α，β，γ這三個量中，哪些量發生改變，哪些量沒有變化呢？通過觀察可以發現：α，β的位置發生變化，而大小沒有變化，但是γ是位置和數量都發生了改變，并且∠EOF是隨著γ的變化而變化，所以我們只需找到γ是如何變化的就可以了。從（1）到（2），我們可以發現減少了γ度的角，所以結論由隨著轉動得到：∠EOF=當圖形轉動到（3）時，又減少了γ度的角，從而得到結論∠EOF=當繼續轉動到（4）時，此時β=γ，得到結論：∠EOF=當∠COD兩條邊都在∠AOB內，在（5）的狀態時，此時減少了（γ-β）度角，從而得到結論：∠EOF=

在這個過程中，通過圖形運動，建立從動態視角認識幾何問題形成的過程，在圖形運動過程中把握圖形的不變關系，體會圖形位置，數量之間的內在聯系。同時，滲透由特殊到一般的研究方法以及分類思想，體會特殊位置關系下圖形的關系。

通過具體問題的解決，體會角平分線夾角與原角之間的關系，再次滲透由特殊到一般的研究方法，在分析問題的過程中初步體會、建立學習平面幾何的基本模式。以動態視角研究幾何問題，引導學生分析：在圖形運動的過程中，哪些角在變？又有哪些角不變？∠EOF的變化是由誰引起的？從而找到解決問題的方案。理解幾何問題的研究方法，關注新圖形的加入對原圖產生的影響，體會問題圖形形成的過程，并學會從動態角度理解幾何問題，建立思維的有序性。

這個問題鏈從學生思維的起點（對角和角平分線概念的認識）到思維的終點（學會從特殊到一般、數形結合的研究函數問題），是通過一個個小問題引導學生逐步攝入理解體會的。課堂的整個過程中都是引導學生自己發現學習這個知識的必要性以及研究圖形的方法和思考問題的方式，教給學生學習的方法。

這種問題鏈的設計，實現了課堂上的互動生成。真正關注的是人，是學生主動、健康發展的意識與能力，關注課堂上的動態生成；關注學生的探究意識和合作能力；關注的是學生的終身發展。我們教師要以問題為出發點，探究知識的起點，在此基礎上設計環環相扣的問題，從知識的起點出發不斷生長，充分調動學生主動參與的熱情，培養學生有序思維，提升學生的學科素養。