高屋建瓴應悟道 柳暗花明又一解
——以2018年浙江卷17題為例

廣東省廣州市從化區第四中學 黃 強

數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的。數學學科核心素養的本質反映了數學思維品質，其關鍵是能從數學的角度思考問題。 發散性思維又稱輻射思維，是根據已有的信息，從不同的角度思考，尋求多樣性答案的思維活動。在解決問題中表現了根據已知條件，能從不同的角度進行思考，探究多種不同的解決辦法的思維活動，其具有思考角度多變、解決方法靈活的特點，是思維靈活性的表現。在解題活動中，教師常用典例多解的教學形式來培養學生的發散性思維。筆者認為引導學生不囿于一個角度或一種思路去探究解法，關鍵是不但要滲透數學思想，更要揭示數學思想在思考過程中的運用，從而使學生認識到思考角度的多變源于數學思想，解決方法的靈活生于數學思想。 因此，為了培養學生的發散性思維能力，通過典例多解和數學思想的揭示，這不僅促進學生知識網絡的形成，而且更重要的是促使學生對數學思想的感悟，提高解題能力和發散思維能力，提升數學思維品質。本文以2018年浙江高考的一道試題為例，以期拋磚引玉。

例題：（2018年浙江卷17題）已知點P(0,1)，橢圓上兩點A，B滿足則當m=_________時，點B橫坐標的絕對值最大。

一、運用方程思想探解

運用方程思想，就是通過分析問題中已知與未知的等量關系，建立方程（組），運用方程的性質分析轉化問題，從而使問題得到解決的思維過程。相應方程思想下的常見方法有點差法、韋達定理、判別式等等。揭示方程思想在解題中的運用，使學生認識到解法并非無中生有，其根源在于數學思想給我們提供一個思考角度。

因為A，B點在橢圓上，所以兩式相減有代入橢圓方程并化簡得：m＞1，易知當m=5時的最大值為4，即

評析：本解法運用方程思想作為思考角度。為了探求等量關系，先“固定m”， 再通過平面共線向量抓住關鍵點B，這樣處理不但減少了變量數對思維的影響，更重要的是突出了關鍵的未知量，即減少是為了突出。由兩個動點A，B在橢圓上這個幾何特征建立方程尤為重要，其數學思想是由形轉數，從而建立了點B的坐標與m的等量關系，然后把坐標的最值轉化為二次函數最值問題。整個解決過程清晰明快，一氣呵成！

運用直線的參數方程，也是解析幾何常用的方法，其思維的關鍵包括：一是理解參數方程既表示直線方程，同時也表示點，是兩者更抽象的形式；二是理解參數在問題中的幾何意義。用參數方程表示點，其作用相當于減少變量數，同樣，利用點在橢圓這個幾何特征上建立方程，利用參數的幾何意義和方程性質解決問題。

解法二：設直線AB的參數方程為其中t為參數，θ為直線AB的傾斜角。因為直線AB與橢圓相交，把直線AB的參數方程代入橢圓方程，得由韋達定理可知

二、運用函數思想探解

客觀世界的事物是運動變化的，事物間既有聯系，也有制約，這種關系在數學中以函數來刻畫。運用函數思想探求問題的解決，其思維過程是通過挖掘變量間的關系構造函數，利用函數的性質解決問題?？紤]到A，P，B三點共線，點P為定點，當直線AB繞點P旋轉時，點B的坐標也隨之變化，既然是動點，就需要知道按照什么規律運動，因此，挖掘點B的橫坐標與直線AB斜率之間的函數關系為思考提供一個角度。

解法三：設直線AB的方程為y=kx+1，因為直線AB與橢圓相交兩點，故聯立方程并消元得由韋達定理可知：

由橢圓對稱性，不妨設xb＞0，由得xa=-2xb，代入（1）式，得由基本不等式得當且僅當xb取最大值2，此時由（2）式可知m=5。

評析：本解法綜合運用數形結合、方程思想和函數思想，其思維過程通過形轉數建立方程，利用方程性質挖掘函數關系，最后利用函數性質解決問題，但也看到如消去k，而不是消去m，雖然可以解決問題，但運算量陡增，學生就陷入復雜的運算中，因而抓牢函數思想，優化思考過程，從而解決問題。

三、運用變換思想探解

在人教版選修1-1的35頁（或選修2-1的41頁）中，設置了一個探究橢圓與圓之間關系的思考問題。通過探究，在伸縮變換下，有下列結論（在此證略）：（1）直線依然變換為直線；（2）橢圓變換為圓，圓變換為橢圓；（3）線段比不變；（4）直線與橢圓的交點對應直線與圓的交點。 把直線與橢圓的位置關系轉換為直線與圓的位置關系。這是從變換幾何思想的角度思考解法，其思維過程是把橢圓類比圓，把直線與橢圓問題轉換為直線與圓的問題，利用圓的性質解決問題，這又為尋求新的解法提供了一個思考角度。

圖1

設∠XO'B'=θ，點B'(x'b，y'b)，由余弦定理，得：化簡得：

因為A'P'=2P'B'，并由相交弦定理C'P'·D'P'=P'B'·A'P'，得把（2）代入（1）并消去P'B'2，得即代入橢圓方程并化簡，得易知當m=5時的最大值為4，即|xb|=2。

評析：本解法是通過對教材中的問題進行探究所獲得的解法，因此重視教材中的探究問題，不但能培養學生的探究能力，往往還能獲得新穎別致的解法，有利于拓寬學生思考角度，培養創新意識。

四、 運用特殊與一般探解

現實世界中，事物的特殊性中存在普遍性，個性中存在著共性，這在數學中就表現為特殊與一般的辯證關系，是重要的數學思想。其思維過程是以問題為起點，拋開其特殊性，探究更具一般形式的性質或規律，從而找到思考的角度，這對提升學生數學能力有積極的意義。在本題中，對于橢圓E1中的△ABO，有什么性質？能否對探究解法提供不同的思考角度？通過探究點P關于點A的對稱點B的軌跡，如圖2所示，我們有下面結論：

性質1：設橢圓曲線E1的方程為定點P(0,p)關于E1上的動點A的對稱點B的軌跡為橢圓E2，橢圓方程為

略證：設點B(x,y)，因為點A(xa,ya)為線段PB的中點，所以有點A在E1上，代入E1的方程并化簡，易得

圖2

而且通過探究，我們又發現以下性質：

證明：設直線AB的方程為y=kx+p，A(xA,yA)，B(xB,yB)，直線AB的方程與橢圓方程聯立、消元并化簡，得：

如圖3所示，通過探究△ABO的AB邊中點G的軌跡，有以下性質：

圖3

證明：設直線AB的方程為y=kx+p，A(xA,yA)，B(xB,yB)，G(x,y)。聯立直線AB方程與橢圓方程消元并化簡，得（b2+a2k2）由韋達定理得x=兩邊平方并化簡，得

從性質3可以獲得下面推論：

利用性質1，我們可以得到下面解法：

圖4

利用性質2，我們又可以得到下面解法：

解法六：設A(xa，ya)，B(xb，yb)，由可知xa=-2xb，ya=-2yb+3。

直線AB,BO,AO的斜率分別為kAB、kOA和kOB，由性質2可知，即把xa=-2xb，ya=-2yb+3代入并化簡，得代入橢圓方程并化簡，得易知當m=5時的最大值為4，即|xb|=2。

數學學習離不開解題活動，在解題活動中，通過探究典例多解，可以培養學生發散思維，這是共識。如何培養學生找到解決問題的更多的思考角度，其關鍵在于揭示數學思想在解題中的運用，使學生對數學思想和方法有更深的感受。 如通過突出已知和未知，抓住幾何特征建立方程，并運用方程的性質解決問題；如通過挖掘變量間的函數關系構造函數，并運用函數性質解決問題等等，但同時也要看到以下幾點：（1）數學思想方法不但為解題找到思考角度，也自始至終貫穿整個解決過程；（2）在解題過程中往往由單一數學思想運用為開端，但思維過程又是多種思想方法的共同運用；（3）數學思想方法應該要揭示，因為數學思想是內隱，通過揭示其運用和提煉，使學生加深對數學思想的領悟，沒有這一點，多解就變成一個技巧，不會真正內化學生的思維中?？傊?，跳出單純的題海訓練，鼓勵獨立思考，產生想法，大膽探索新思路，這不僅有助于學生進一步鞏固、深化和拓展所學的知識，而且對提高自主學習能力和培育創新意識，提升科學探索素養，具有積極的促進作用。