基于貝葉斯的高斯雜波背景下MIMO雷達自適應檢測算法

韓金旺 張子敬 劉 軍 趙永波

①(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室 西安 710071)

②(中國科學技術大學信息科學技術學院 合肥 230027)

1 引言

近年來多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output， MIMO)雷達是雷達領域的一個研究熱點[1-4]。根據天線配置，MIMO雷達分為兩類：一類是分布式MIMO雷達，其特點是發射和接收天線被分置于不同的空間位置[5-9]，另一類是集中式MIMO雷達[10-14]，其將發射和接收天線集中放置。分布式MIMO雷達的空間分集性可以有效減輕目標的雷達橫截面積(Radar Cross Sections， RCSs)閃爍，從而可以提高檢測性能[15，16]和估計精度[17]。集中式MIMO雷達發射相互獨立或正交的波形，從而獲得了波形分集性能，提高了系統自由度，因此可以獲得更優異的性能，如更加靈活的波束形成性能[18]、更優的檢測性能[19]和更好的干擾抑制性能[20]。

雷達的主要功能之一是目標檢測。許多文獻對分布式MIMO雷達在協方差相關性未知情況下的檢測問題進行了研究[21-23]。為了估計未知的雜波協方差矩陣，一般要遵循如下假設：有充足的均勻的訓練數據可用。實際中，由于雜波譜的快變性，往往無法得到充足的均勻性訓練數據，由此會帶來檢測器的性能下降。可以采用一些方法來減輕性能損失，例如，利用雜波協方差矩陣的斜對稱結構[24]。然而，由均勻性訓練數據不足引起的問題不能被完全解決，因為這些方法仍然需要訓練數據。

為了徹底解決均勻性訓練數據不足的問題，一個可能的方法是不使用訓練數據進行目標檢測。集中式MIMO雷達可以直接使用自適應處理技術而不需要訓練數據[25]。本文研究的檢測問題主要針對集中式MIMO雷達。除非特別說明，以下將集中式MIMO雷達簡稱為MIMO雷達。

文獻[20]從MIMO雷達參數估計和干擾抑制的角度，給出了一種基于廣義似然比檢驗 (Generalized Likelihood Ratio Test， GLRT)的檢測器，文獻[26]推導出這種檢測器虛警概率和檢測概率的閉集表達式并分析其性能，注意到這種檢測器不需要訓練數據，從而有效解決了均勻訓練數據匱乏的問題。根據Rao和 Wald準則，文獻[26]設計了兩個不需訓練數據的自適應檢測器。幾種檢測器各有優勢，在信號匹配情況下，文獻[20]中的GLRT檢測器的檢測性能最好。在信號失配情況下，與GLRT檢測器相比，Rao檢測器抑制失配信號的性能更好，而Wald檢測器的魯棒性更好。進一步地，文獻[27]推導了一種參數可調的MIMO雷達檢測器，從而可以靈活地調節選擇性和魯棒性。

需要指出的是，許多檢測器將雜波協方差矩陣建模為未知確定的矩陣[20，26，27]，此方法的一個缺點是無法將協方差矩陣的先驗信息應用到自適應檢測算法中。貝葉斯方法將雜波協方差矩陣建模為未知隨機的，并為其指定一個合適的先驗分布，從而可以有效地利用協方差矩陣的先驗知識。

貝葉斯方法已經應用到了一些場景，如多通道雷達的空時自適應處理[28，29]和高斯雜波背景[30]或復合高斯雜波背景[31]下的分布式MIMO雷達的自適應檢測。對于分布式MIMO雷達，文獻[30]針對距離擴展目標推導了一種基于貝葉斯理論的GLRT檢測器，雷達的檢測性能得到了較大提高。文獻[31]研究了隨機紋理的復合高斯雜波背景下的分布式MIMO雷達檢測問題。然而，目前還沒有基于貝葉斯理論的集中式MIMO雷達檢測器。

本文借鑒在分布式MIMO雷達中基于貝葉斯框架的GLRT檢測器的理念，結合集中式MIMO雷達的特點，研究與設計集中式MIMO雷達的貝葉斯檢測器。本文假設雜波協方差矩陣服從逆復Wishart分布，因為這種分布可以滿足數學上的易處理性而且可以反映雷達工作的環境。根據GLRT準則，本文利用雜波協方差矩陣的先驗分布設計了兩種貝葉斯檢測器。仿真結果顯示相比傳統的非貝葉斯檢測器，本文的貝葉斯檢測器具有更好的檢測性能。

2 問題闡述

在窄帶模型下，目標位置處的基帶信號可以表示為

其中，

目標檢測問題可以轉化為式(11)的二元假設檢驗問題：

一個合適的先驗分布要能反映雷達的工作環境，并且在數學上易處理，考慮以上兩點，本文認為雜波協方差矩陣服從逆復Wishart分布[32]，即

3 MAP-GLRT檢測器

這一部分將推導出MAP-GLRT(Maximum A Posteriori GLRT)檢測器，接收信號在假設和下的概率密度函數分別表示為

實際上，逆復Wishart分布是式(15)和式(16)的共軛先驗分布。也就是說，如果先驗分布是逆復Wishart分布，則式(15)和式(16)是后驗概率密度函數(Probability Density Function， PDF)，這是易處理性的基礎。

根據奈曼皮爾遜(Neyman-Pearson， NP)準則，最優的檢測器可以通過似然比檢驗獲得。然而，由于存在未知參數，使得無法采用似然比檢驗推導出最優檢測器。因此，這里采用廣義似然比檢驗設計檢測器。廣義似然比檢驗可以描述問題為

將式(15)和式(13)代入到式(20)中，并取對數得

利用式(23)，式(24)代數不等式

從而得到

進一步地，等式在式(26)情況下成立

其中，

注意到

將式(43)和式(42)代入式(41)，得到

將式(44)代入式(39)，可以得到

將式(45)代入式(30)，最終得到GLRT檢測器，記為MAP-GLRT：

4 BAMF檢測器

這一部分采用兩步法來設計基于貝葉斯方法的BAMF(Bayesian AMF)檢測器。首先，假設協方差矩陣是已知的，則GLRT可以表示為

將式(55)代入式(50)并化簡，最終得到BAMF檢測器為

5 仿真實驗

這一節，將提出的檢測器與傳統的非貝葉斯檢測器進行檢測性能比較。因為MAP-GLRT檢測器與BAMF檢測器的閉集形式的虛警概率(Probability of False Alarm，) 和檢測概率(Probability of Detection，)表達式無法得到，所以采用蒙特卡羅方法評估檢測性能。檢測門限和檢測概率分別通過與次獨立實驗得到。在以下仿真中，發射和接收陣元數設置為，陣元間距為半波長。假設，其中，采用指數相關的協方差矩陣，即第個元素是

為了對比，這里給出傳統的非貝葉斯GLRT檢測器[20]：

Rao檢測器[26]：

Wald檢測器[26]：

圖1 K 取不同值時的ROC曲線Fig. 1 ROC curves for different K

圖2 K 取不同值時關于SCR的曲線Fig. 2 versus SCR for different K

注意到上述仿真均假設逆復 Wishart 分布的參數 (即和) 是完全已知的。實際上，這些參數是未知的，可以使用文獻[32]中的方法進行估計，這就不可避免地產生估計誤差，接下來研究貝葉斯檢測器在參數和失配情況下的檢測性能。首先，假設是確定已知的而存在失配，圖4仿真了這種情況下檢測器的ROC曲線。這里采用兩個階遲滯相關系數和去仿真這種失配，其中和分別用在實際的和名義上的中。仿真參數設置為：真實的階遲滯相關系數設定的階遲滯相關系數分別為其他參數設置為和。圖4顯示階遲滯相關系數的失配導致了檢測器性能的下降。

圖3 L 取不同值時檢測器的ROC曲線Fig. 3 ROC curves for different L

圖4 1階遲滯相關系數失配時檢測器的ROC曲線Fig. 4 ROC curves when one-lag correlation coefficient is mismatched

圖5 自由度L失配時檢測器的ROC曲線Fig. 5 ROC curves when L is mismatched

6 結束語

本文研究了協方差矩陣未知的高斯雜波背景下MIMO 雷達的自適應檢測問題，雜波的協方差矩陣被建模為服從逆復 Wishart 分布的隨機矩陣，然后基于貝葉斯方法和廣義似然比檢驗準則設計了MAP-GLRT 檢測器與BAMF檢測器，這兩個檢測器不需要訓練數據。研究結果表明利用協方差矩陣的先驗信息可以有效提高檢測器的檢測性能，尤其是在發射波形采樣數較少時。在1階遲滯相關系數或自由度失配時，貝葉斯檢測器的檢測性能會有所下降。