羽毛球拍網面振動的理論與仿真分析

林 青,嚴舒芯,程 磊

(1.南京林業大學 體育部，江蘇南京 210037；2.南京林業大學 機械電子工程學院，江蘇南京 210037)

隨著國民經濟的迅速增長，人民生活水平不斷提高，體育活動越來越受到人們的青睞，尤其羽毛球運動普及較廣，成為老少皆宜的運動形式。出于對羽毛球運動的喜愛，人們對羽毛球球拍的選擇越來越重視，在球拍的研發過程中, 不僅需要綜合考慮球拍的重量、平衡、硬度、彈性等重要因素,尤其需要研究球拍網面的性能[1]。本文運用膜振動理論和有限元分析方法對羽毛球拍網面的性能進行分析，以期為專業運動員了解拍面性能，發揮球拍的最佳效果以提高運動效率提供理論依據。

1. 羽毛球拍網面的理論分析

1.1 膜振動理論

膜結構是20世紀70年代發展起來的一種新型的張力結構形式，它具有剛度小、重量輕等特點，膜振動就如同鼓上的鼓皮在敲擊下產生振動一樣[2-4]。進行圓膜的振動理論分析時，首先，在直角坐標下，通過受力分析以及牛頓第二定律建立膜振動的平衡方程；其次，考慮到在直角坐標下的方程求解比較復雜，可將其化成在極坐標下的圓膜振動方程，利用分離變量法將方程轉換成零階貝塞爾方程標準式，通過求解得到圓膜的位移表達式；然后，通過施加圓膜的邊界條件推導出圓膜簡正頻率方程，計算出各階的頻率。

設一張緊的膜處于xy平面上，在膜上取一個曲邊四邊形，膜四邊所受的力稱張力記為T，單位為N/m。

假設當膜受到與xoy面相垂直方向的外力作用后，在張力T的作用下，產生垂直方向的振動。面單元dxdy在橫向振動時，膜邊緣都受到張力的作用，張力與膜的切線方向一致，張力T與x軸的夾角為β，張力T與y軸的夾角為α。根據牛頓定律，作用在面單元dxdy的外力和膜振動時產生的慣性力的合力應等于零。面單元在直角坐標系的受力分析圖如下(圖1)。

圖1 直角坐標系面單元受力圖

因此可解得作用于面單元四個邊緣的凈力合力為

(1-1)

設σ為面密度，則面單元的質量為

dm=σdxdy

(1-2)

面單元振動的加速度為

(1-3)

根據牛頓第二定律得

F合=dm·a

(1-4)

(1-5)

1.2 羽毛球拍面膜振動的方程

羽毛球拍面近似為橢圓形且為網狀結構，本文將羽毛球拍面近似看成圓形膜且擊球時視為膜振動。由于上式膜振動方程是在xoy坐標下的拉普拉斯方程，求解比較復雜，所以一般將其變換成在極坐標下進行求解[5-6]。

(1-6)

式1-6中θ—極角，r—極徑。極坐標下膜振動的微分方程為

(1-7)

(1-8)

選用復數的形式[7]，即令T(t)=ejωt并利用歐拉公式帶入1-8得

(1-9)

此方程式為零階貝塞爾方程的標準式[8]。其有零階貝塞爾函數和零階諾依曼函數兩個特解，所以該方程的一般解是兩個函數的線性組合即

(1-10)

所以1-9變為

(1-11)

考慮到諾依曼函數具有一個在零點發散的特性，即當r=0時，N0(0)→∞。對于具有張力的圓形膜而言，在圓心r=0處的振動是有限的，則必須要求上式B=0，因此，1-10方程解為

(1-12)

則膜的位移可表示為

(1-13)

將1-13方程變量換成x，得到貝塞爾方程為

(1-14)

解得

(1-15)

令式中c=lnE，積分得

(1-16)

1.3 羽毛球拍面簡正頻率的理論解

(1-17)

根據膜振動理論可知，振型是根據不同的節圓數m和節徑數n所決定的。拍面作自由振動時，必將存在無數的簡正頻率，其對應的簡正振動方式為

(1-18)

其實部為

(1-19)

由上式可求得圓膜對稱振動的節線位置，令

(1-20)

解得零階貝塞爾函數的根值為

(1-21)

由此可得節線的位置為

(1-22)

2. 有限元法及有限元分析軟件

2.1 有限元法

有限元法是利用數學近似的方法對真實物理系統(幾何和載荷工況)進行模擬，通過簡單而又相互作用的元素(即單元)，就可以用有限數量的未知量去逼近無限未知量的真實系統。由于大多數實際問題難以得到準確解，而有限元法不僅計算精度高，而且能適應各種復雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。有限元法的求解過程如圖2所示。

圖2 有限元法求解過程

網面進行自由振動時，在理論上會發生無窮階的陣型，但由于能量的衰減一般只考慮前幾階振型。網面在受力發生變形時，因為瞬時接觸時間短，我們無法以肉眼看到網面自由振動的振型以及受力后網面變形量的大小。本文利用有限元法，通過有限元分析軟件ANSYS中的WorkBench對網面進行模態和靜力結構的仿真分析，將網面的振型和變形可視化。

2.2 有限元分析軟件ANSYS簡介

ANSYS軟件是美國ANSYS公司研制的融結構、流體、電場、磁場、聲場分析于一體的大型通用有限元分析(FEA)軟件，其在機械、電機、土木、電子及航空等領域被廣泛使用，是世界范圍內增長最快的計算機輔助工程(CAE)軟件。軟件由前處理、分析計算和后處理三部分組成，具體流程如圖3所示。通過使用該軟件，不僅能夠獲得準確數據，而且還能縮短設計周期，降低預算成本[9]。

圖3 ANSYS軟件分析流程

ANSYS中的WorkBench是一種仿真平臺模塊，擁有各種與仿真分析相關的大型工程數據庫、求解器、建模工具以及后處理器等組件程序，同時具備參數管理和設計優化功能，各項復雜的仿真任務都可以通過它實現。WorkBench中可以進行結構靜態分析、模態分析、非線性分析、屈曲分析、諧響應分析、熱分析、轉子動力學分析等。本文主要對羽毛球拍網面進行模態分析和結構靜態分析，并將計算結果與理論值進行對比。

2.3 羽毛球拍網面模態分析

模態分析是指用模態坐標去替換線性定常系統振動微分方程組中的物理坐標，經過方程組的解耦成為一組新的獨立方程。也就是說，模態分析的本質是求矩陣的特征值，其“階數”就是特征值的個數，將特征值從小到大排列就是階次。實際的分析對象是無限維的，所以其模態具有無窮階。但是對于運動起主導作用的只是前面的幾階模態，所以計算時只要根據需要計算前幾階即可。

模態分析是動力學分析最為基礎的一種，模態分析用于確定機械零部件的振動特性及結構的自振頻率特性，包括結構的固有頻率和振型，它們是結構承受動態載荷設計中的重要參數。本文應用ANSYS的模態分析功能，對有預應力的網面振動進行模態分析。

任何結構系統都可以用下述動力平衡方程來描述

(2-1)

式2-1中[M]——質量矩陣

[C]——阻尼矩陣

[K]——剛度矩陣

{x}——節點位移矢量

由于在對自由振動的系統求解固有頻率和振型時，阻尼對整個系統的影響會比較遲緩即可以忽略不計，所以用ANSYS在進行計算分析時選擇無阻尼模態分析。結構在沒有阻尼作用下的動力平衡方程為

(2-2)

對于線性系統，上式解的形式為

(2-3)

式中{Φ}i——第i階模態對應的振型特征向量

ωi——第i階模態的固有頻率(單位為rad/s)

t——時間(單位為s)

將式2-3代入式2-2，得

(2-4)

由于當結構自由振動時，各節點振幅不可能都為零，因此就相當于求解系數行列式為零的解,即求其特征值。

2.3.1 前處理

2.3.1.1 創建分析項目

ANSYS WorkBench的工具箱中有多個分析項目，每個項目都分別顯示著分析的流程，從中可以觀察數據的流向以及分析的進度。多個項目的對象可以相互連接，并提供了一個可視化的表示。本文用了靜力結構分析和模態分析兩個項目，分別將兩個項目的工程數據、幾何模型、模型模塊連接，以及將靜力結構分析中的解決方案模塊與模態分析中的設置模塊相連接，項目概圖如圖4所示。

圖4 創建分析項目

2.3.1.2 建立網面三維模型

由于在ANSYS WorkBench中可以直接導入SolidWorks的三維圖，所以本文使用SolidWorks工程設計軟件建模[10]。為了使ANSYS分析結果更加精確，確保模型的相似度是關鍵。根據國際羽聯羽毛球比賽規則，要求羽毛球拍面長和寬分別不超過280mm和220mm。本文將拍面的外形近似為半個圓和半個橢圓組成。另外根據羽毛球拍網面穿線的特征，不難發現橫縱兩向中的所有相鄰線的穿法是相反的，并且整個網面不在同一平面內，每一根線都是由多段直線和圓弧構成，因此網面的建模難度增加。本文通過手動測量得到每段直線距離和相鄰兩根線的距離，通過已知的線徑、相鄰兩線距離和圓內弦的垂直平分線過圓心三個條件找到圓弧的圓心，從而得到圓弧半徑，繪制圓弧草圖如圖5 所示，最后通過SolidWorks 三維建模中的掃描、陣列、拉伸、裁剪等特征功能完成網面的建模，三維圖如圖6所示。

圖5 繪制圓弧草圖

(a) 網面局部三維圖

(b) 網面正視圖

圖6網面三維圖

2.3.1.3 網面材料的設定

由于WorkBench 材料庫中只有常規的材料，所以本文結合文獻[11]中的數據，選用尤尼克斯BG65線加以計算，得到各參數值。通過手動方式添加羽毛球線的材料性能，即尤尼克斯BG65線的密度、楊氏模量和泊松比，具體參數見圖7。

圖7 尤尼克斯BG65線的性能參數

2.3.1.4 網面的網格劃分

網格劃分是整個模態分析過程中至關重要的一個環節，網格劃分質量的好壞直接影響到后續計算分析結果的準確性。劃分網格要進行總體模型規劃，包括物理模型的構造、單元類型的選擇、網格密度的確定等多方面內容(見圖8)。本文中每根網線只受單一的拉伸力，精度要求不是很高，所以選擇自動生成網格劃分，全局網格控制如下圖所示，網面網格劃分示意圖如圖9所示。

圖9 網面網格劃分

2.3.1.5 網面邊界條件的設置

邊界條件的加載也是至關重要的一個環節，其加載的正確與否直接影響到模擬結果。根據分析中邊界條件是否隨時間變化的情況，其加載的容易程度也就不同。一般而言，邊界條件不隨時間變化的加載相對容易，但要施加隨時間變化的動態載荷就會比較困難。對于本文中的網面來說，網面周圍一圈都要施加固定約束,并且每根線都受到向外的軸向預應力，這里按業余選手水平設定羽毛球拍穿線磅數為21磅即93.5牛頓。圖10中，A代表固定、BCDE分別代表不同方向的預應力。

圖10 施加邊界條件

2.3.2 分析計算

在上述環境設定完成后，通過計算機直接求解可得網面各階振型圖，圖11所示為部分陣型圖。

2.3.3 結果分析

為了驗證將網面簡化為圓膜假設的可行性，本文采用了理論和有限元計算兩種方法，分別對周邊固定、半徑為95mm并承受21磅的圓膜和同樣條件下的羽毛球拍網面，進行固有頻率[12]與振型的求解。表1為其中兩階固有頻率的理論解與仿真計算值兩者對比。

表1 圓形薄膜與羽毛球拍網面固有頻率及振型

由表1可以看出，拍面前二階的理論解和仿真結果誤差較小，兩者得出的值雖然不完全相等，但都在同一個數量級。所以本文提出將羽毛球拍網面看作膜振動的設想是可行的，產生的誤差有以下原因：

(1)理論計算是按照圓膜的外形計算的，與羽毛球拍網面的實際形狀有差距；

(2)有限元計算時，網面建模不能和實際拍面完全一致。

2.4 網面結構靜力分析

圖12 創建項目分析

圖13 邊界條件施加

結構分析是有限元分析中最常用、最普遍的一個應用領域，它有七種結構分析類型。靜力分析屬于結構分析，它包括線性和非線性分析。與速度和加速度沒有關系的對象主要用靜力學分析來計算，它是研究靜平衡關系的一種。

本文針對羽毛球拍網面進行線性結構靜力分析(見圖12)，其分析步驟同模態分析類似，區別在于要將模態分析項目去除；用羽毛球拍擊球時，相當于網面在很短時間內受到一沖擊載荷的作用，羽毛球重量約5克，擊球時間按0.04秒計，擊球速度取280公里/小時，經計算網面受力約為9.8牛頓，所以在約束邊界條件時，在中點施加垂直于網面、大小為9.8N 的載荷，邊界條件施加如圖13所示；最后進行應力、應變和總變形求解，得到相應的云圖(見圖14)。

由分析結果可得，在中點施加P0=9.8N的力，其最大變形為ε=0.716mm。

3. 結語

本文運用膜振動理論和有限元分析軟件，分別對羽毛球拍網面進行了理論計算和仿真分析，得到了部分固有頻率和振型圖。通過對比可知，將網面看成膜的設想是可行的，可以用膜振動理論對網面進行理論分析；本文還利用ANSYS軟件對網面進行了靜力結構分析，得到了應力云圖、應變云圖和總變形云圖。以上工作為進一步對網拍類球拍網面的研究提供了理論依據和有效方法，并可為專業運動員和業余選手了解拍面性能，發揮球拍的最佳效果以提高運動效率提供理論依據。

(a)應力云圖

(b) 應變云圖