雙應(yīng)力變量的飽和介質(zhì)非線性體積本構(gòu)關(guān)系

胡亞元， 王 超

(浙江大學(xué) 建筑工程學(xué)院，杭州 310058)

根據(jù)工程影響范圍[1]的大小，巖體裂隙可分為眾多網(wǎng)格狀、寬度小、間距近的低序次微小裂隙，以及數(shù)目不多的寬度大、間距遠(yuǎn)的高序次大中型裂縫和斷層.大部分學(xué)者把諸如砂巖、泥巖和黏土巖等包含大量微小裂隙且孔隙率較大的飽和巖體視為多孔介質(zhì)，并采用擬連續(xù)介質(zhì)力學(xué)研究其本構(gòu)關(guān)系和力學(xué)特性[2-9].由文獻(xiàn)[10-13]可知，飽和巖體力學(xué)需要考慮固相基質(zhì)變形(在飽和巖體力學(xué)中稱為巖體礦物變形)的性質(zhì)，而目前這一性質(zhì)很難體現(xiàn)在飽和巖體非線性本構(gòu)模型中，因此限制了飽和巖體多場耦合理論的應(yīng)用.為突破這一限制，亟需建立更加合理和完善的飽和多孔介質(zhì)本構(gòu)理論體系.

選擇合適的狀態(tài)變量可以有效降低飽和多孔介質(zhì)本構(gòu)方程的建模難度.例如，Terzaghi[14]利用飽和土體固相基質(zhì)變形(在土力學(xué)中稱為土顆粒變形)可忽略不計(jì)的性質(zhì)提出Terzaghi有效應(yīng)力原理，并以此作為飽和土體本構(gòu)方程的唯一狀態(tài)變量，成功創(chuàng)建了飽和土力學(xué).鑒于Terzaghi有效應(yīng)力原理在飽和土力學(xué)中的成功應(yīng)用，巖土工程界試圖沿用單一的有效應(yīng)力變量來建立飽和多孔介質(zhì)本構(gòu)理論.Biot[15]指出當(dāng)飽和多孔介質(zhì)(如飽和巖體或混凝土)的固相基質(zhì)變形不能忽略時(shí)，需要對(duì)Terzaghi有效應(yīng)力公式中的孔壓進(jìn)行折減才能適用于一般飽和多孔介質(zhì)，該折減系數(shù)稱為Biot系數(shù).Skempton[16]分別將摩擦角、剪切抗力角、面積比、固相基質(zhì)體積模量和固體骨架體積模量等力學(xué)參數(shù)引入Biot系數(shù)公式，并針對(duì)固相變形和強(qiáng)度等效原則提出了兩種不同的有效應(yīng)力表達(dá)式.然而，現(xiàn)代本構(gòu)理論認(rèn)為強(qiáng)度問題是變形問題的延伸，它們采用的應(yīng)力狀態(tài)變量應(yīng)當(dāng)具有統(tǒng)一性，即應(yīng)力狀態(tài)變量不會(huì)隨著強(qiáng)度與變形問題的變化而發(fā)生改變.因此，Skempton提出“針對(duì)變形和強(qiáng)度問題需要采用不同的有效應(yīng)力表達(dá)式”的研究結(jié)論暗示飽和多孔介質(zhì)的全部力學(xué)性質(zhì)不能只通過一個(gè)有效應(yīng)力變量來描述.Borja[12]為了獲得單應(yīng)力變量的飽和多孔介質(zhì)力學(xué)理論，提出非線性的Biot系數(shù)公式.但是，Borja 在推導(dǎo)Biot系數(shù)公式過程中，假定固相(骨架)體應(yīng)變與有效應(yīng)力無關(guān)，這個(gè)假設(shè)在飽和土中與Terzaghi有效應(yīng)力原理相違背.其他巖土學(xué)者也針對(duì)具體巖土問題提出了形式不一的有效應(yīng)力表達(dá)式[13]，雖然這些表達(dá)式適應(yīng)了特定的使用范圍，但其普適性局限問題接踵而來.飽和巖體試驗(yàn)表明，采用單一有效應(yīng)力變量很難表征巖體復(fù)雜多變的非線性性質(zhì).混合物理論公設(shè)飽和多孔介質(zhì)的力學(xué)性質(zhì)由固流兩相共同決定，故主張采用雙應(yīng)力變量來研究飽和多孔介質(zhì)的本構(gòu)模型.如：De Boer[17]采用總應(yīng)力和孔壓建立了考慮體積分?jǐn)?shù)變化的飽和彈塑性多孔介質(zhì)的混合物理論；Schrefler[18]建議把體積平均化理論引入混合物理論來定義固流兩相的應(yīng)力和應(yīng)變，研究包括飽和巖體在內(nèi)的飽和多相孔隙介質(zhì)；Borja[12]基于平均化理論，把宏細(xì)觀力學(xué)與混合物理論相結(jié)合，采用有效應(yīng)力和孔壓獲得了飽和多孔介質(zhì)的能量守恒方程和機(jī)械功公式.這些研究結(jié)果表明：對(duì)于必須考慮基質(zhì)變形的飽和多孔介質(zhì)，采用雙應(yīng)力或雙應(yīng)變狀態(tài)變量可更加靈活地模擬飽和多孔介質(zhì)的力學(xué)性質(zhì)，解釋固流兩相的相互作用機(jī)理，從而建立更加完善的本構(gòu)關(guān)系理論體系.

本文基于工程混合理論[19]推導(dǎo)和分析具有普適性質(zhì)的飽和多孔介質(zhì)體積變形功守恒方程；提出固相基質(zhì)壓力與Terzaghi有效應(yīng)力共同決定飽和多孔介質(zhì)固相體應(yīng)變的雙應(yīng)力原理；結(jié)合模型試驗(yàn)，建立基于雙應(yīng)力變量的飽和多孔介質(zhì)非線性體積本構(gòu)方程.在此基礎(chǔ)上，分析Biot系數(shù)、孔壓系數(shù)、孔隙比等隨Terzaghi有效應(yīng)力的變化規(guī)律，開辟了研究基質(zhì)變形的非線性飽和多孔介質(zhì)本構(gòu)性質(zhì)的新方法.

1 體應(yīng)變本構(gòu)方程的建模理論

根據(jù)經(jīng)典飽和多孔介質(zhì)混合物理論[12,20]，將固流兩相按照體積分?jǐn)?shù)平均化后得到的連續(xù)體構(gòu)形產(chǎn)生的應(yīng)變稱為組分應(yīng)變，將固流兩相實(shí)際存在的細(xì)觀真實(shí)構(gòu)形產(chǎn)生的應(yīng)變稱為組分基質(zhì)應(yīng)變.假定飽和多孔介質(zhì)的固流兩相之間不存在質(zhì)量交換.用S表示固相，F(xiàn)表示流相，對(duì)于飽和多孔介質(zhì)，體積分?jǐn)?shù)滿足：

φS+φF=1

(1)

圖1 飽和多孔介質(zhì)表征單元體圖Fig.1 The diagram for the representative volume element of saturated porous media

設(shè)σSm和σFm分別為混合物理論[19]中固流兩相承受的Cauchy球應(yīng)力；pS為固相基質(zhì)承受的球應(yīng)力，簡稱固相基質(zhì)壓力，pS=σSm/φS；pF為流相基質(zhì)承受的球應(yīng)力，簡稱流相基質(zhì)壓力或孔壓，pF=σFm/φF；σm為飽和多孔介質(zhì)承受的總球應(yīng)力.單元體受力情況如圖1所示.針對(duì)選取的橫截面ABCDE，根據(jù)混合物理論有[19]：

σm=σSm+σFm=φSpS+φFpF

(2)

設(shè)初始時(shí)刻(t0)固相和流相所占的真實(shí)體積分別為VRS0和VRF0，體積分?jǐn)?shù)分別為φS0和φF0，則混合物的總體積為V0=VRS0+VRF0.按體積分?jǐn)?shù)平均化后固相體積為VS0，VS0=VRS0/φS0，流相體積為VF0，VF0=VRF0/φF0.t時(shí)刻，固流兩相在各自應(yīng)力的作用下體積分別變?yōu)閂S和VF，固流兩相基質(zhì)體積分別變?yōu)閂RS和VRF.由于流相在混合物中存在滲流運(yùn)動(dòng)，所以t時(shí)刻VS一般不等于VF.

設(shè)：初始固相基質(zhì)真實(shí)密度為ρRS0，初始固相組分的相密度為ρS0，ρS0=φS0ρRS0；初始流相基質(zhì)真實(shí)密度為ρRF0，初始流相組分的相密度為ρF0，ρF0=φF0ρRF0；參數(shù)ρα(α=RS0,S0,RF0,F0)在Cauchy球應(yīng)力作用下變化為ρβ(β=RS,S,RF,F).混合物理論是按平均化后的組分體積定義組分體應(yīng)變的，令固相和流相的體應(yīng)變分別為εSV和εFV，由于變形前后組分的質(zhì)量保持不變，有[19]

εSV=-ln(VS/VS0)=ln(ρS/ρS0)

(3)

εFV=-ln(VF/VF0)=ln(ρF/ρF0)

(4)

當(dāng)以壓為正時(shí)，根據(jù)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論，固流兩相基質(zhì)體應(yīng)變?chǔ)臨SV、εRFV的定義為[21]

εRSV=-ln(VRS/VRS0)=ln(ρRS/ρRS0)

(5)

εRFV=-ln(VRF/VRF0)=ln(ρRF/ρRF0)

(6)

把由固相體積分?jǐn)?shù)變化引起的固相體應(yīng)變定義為固相體積分?jǐn)?shù)應(yīng)變?chǔ)臩f[22-23]，

(7)

式中：e和e0分別為多孔固相的當(dāng)前和初始孔隙比，且有

φS=1/(1+e)，φF=e/(1+e)

由式(3)～(7)可得

εSV=εSf+εRSV

(8)

εFV=ln(e/e0)+εSf+εRFV

(9)

根據(jù)式(5)、(7)和(8)，固相體應(yīng)變可分解為固相基質(zhì)體應(yīng)變和固相體積分?jǐn)?shù)應(yīng)變之和，如圖2所示.

圖2 固相體應(yīng)變分解圖Fig.2 Decomposition diagram of the volume strain of solid phase

根據(jù)混合物理論[12,19]，飽和多孔介質(zhì)體積變形功率為固、流相球應(yīng)力與體應(yīng)變率乘積之和：

(10)

將式(8)和(9)對(duì)時(shí)間微分后代入式(10)，并聯(lián)立式(1)和(2)可得

(11)

假定飽和多孔介質(zhì)單位質(zhì)量的變形功由3部分組成：① 固相單位密度內(nèi)所含的固相細(xì)觀變形引起的變形功WRS，只與εRSV有關(guān)；② 流相單位質(zhì)量內(nèi)所含的流相細(xì)觀變形引起的變形功WRF，只與εRFV有關(guān)；③ 固相單位密度內(nèi)所含的固相體積分?jǐn)?shù)變化引起的變形功WSf，只與εSf有關(guān).根據(jù)混合物理論[19]，有

(12)

把式(12)代入式(11)后利用公式ρS=φSρRS和ρF=φFρRF，再根據(jù)變量εRSV、εRFV和εSf相互獨(dú)立的性質(zhì)，通過求導(dǎo)數(shù)并利用式(3)、(5)～(7)可得

pS=ρRS0exp(εRSV)(dWRS/dεRSV)

(13)

pF=ρRF0exp(εRFV)(dWRF/dεRFV)

(14)

(15)

在小應(yīng)變條件下，有φS≈φS0和φF≈φF0.根據(jù)式(2)和式(8)、(9)有

σm=φS0pS+φF0pF

(16)

εSV=εSf+εRSV

(17)

εFV=-φS0εSf/φF0+εRFV

(18)

式中:

εSf=(e0-e)/(1+e0)

(19)

εRSV=(ρRS-ρRS0)/ρRS0

(20)

εRFV=(ρRF-ρRF0)/ρRF0

(21)

式(19)與不考慮固相基質(zhì)壓縮性(即不考慮土顆粒壓縮性)的飽和土固相變形公式[24]一致.為了簡潔并參照一般教科書[21]在小應(yīng)變條件下的約定，在式(16)～(21)中把“≈”寫成“=”.在小應(yīng)變條件下，εRSV、εRFV和εSf均可視為無窮小量，ρRS0、ρRF0和ρS0是常量，因此由式(13)～(15)可得

pS=d(ρRS0WRS)/dεRSV

(22)

pF=d(ρRF0WRF)/dεRFV

(23)

(24)

式(22)～(24)表明：在小應(yīng)變條件下，固相基質(zhì)體應(yīng)變唯一決定固相基質(zhì)壓力；流相基質(zhì)體應(yīng)變唯一決定流相基質(zhì)壓力；固相體積分?jǐn)?shù)應(yīng)變唯一決定Terzaghi有效應(yīng)力，反之亦然.式(17)表明固相體應(yīng)變等于固相體積分?jǐn)?shù)應(yīng)變和固相基質(zhì)體應(yīng)變之和.因此，固相體應(yīng)變由Terzaghi有效應(yīng)力和固相基質(zhì)壓力共同決定，即雙應(yīng)力原理.若忽略固流兩相基質(zhì)的壓縮變形特性，則有εRSV=εRFV=0，εSV=εSf，此時(shí)雙應(yīng)力原理退化為有效應(yīng)力原理.

綜上所述，一個(gè)完整的飽和多孔介質(zhì)本構(gòu)方程除需確定固相應(yīng)變外還需確定流相應(yīng)變.由式(17)、(18)和式(22)～(24)可知，需同時(shí)利用固相基質(zhì)體應(yīng)變、固相體積分?jǐn)?shù)應(yīng)變和流相基質(zhì)體應(yīng)變(或固相基質(zhì)壓力、Terzaghi有效應(yīng)力和孔隙流體壓力)，才能反映小應(yīng)變條件下飽和多孔介質(zhì)的全部受力變形性質(zhì).

2 試驗(yàn)?zāi)M與分析

2.1 飽和多孔介質(zhì)雙應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系擬合

鑒于巖土工程界對(duì)于飽和多孔介質(zhì)有效應(yīng)力公式存在諸多分歧的問題，Lade等[13]開展了等向壓縮模型試驗(yàn)，以期推導(dǎo)正確的有效應(yīng)力表達(dá)式.他們將強(qiáng)壓縮性材料膠結(jié)成大孔隙立方體固相骨架后完全浸水形成飽和多孔介質(zhì)模型.在等向壓縮條件下通過施加不同的總球應(yīng)力和孔壓，測量了飽和多孔介質(zhì)模型的固相壓縮體積變形和固相基質(zhì)壓縮體積變形.本文根據(jù)雙應(yīng)力原理，結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立以Terzaghi有效應(yīng)力與固相基質(zhì)壓力為狀態(tài)變量的飽和多孔介質(zhì)本構(gòu)模型.

試樣初始總體積為 203.2 cm3，φF0=0.436[13].在小應(yīng)變條件下，(φF-φF0)相對(duì)于φF0為無窮小量，可以忽略不計(jì)，因此φF=φF0+(φF-φF0)≈φF0.將原始測量數(shù)據(jù)以及各基質(zhì)應(yīng)力與對(duì)應(yīng)的基質(zhì)應(yīng)變數(shù)據(jù)繪制于圖3.通過式(22)所示性質(zhì)進(jìn)行曲線擬合，結(jié)果表明εRSV與pS兩者之間呈線性關(guān)系：

εRSV=CSpS

(25)

式中：CS為固相基質(zhì)的壓縮系數(shù)，CS=2.2×10-5kPa-1.擬合度R2=0.922.

(26)

式中：a和b為模型參數(shù).根據(jù)圖4中的數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析可得a=83，b=9 136，R2=0.96.

圖3 固相基質(zhì)壓力與對(duì)應(yīng)基質(zhì)應(yīng)變的關(guān)系曲線Fig.3 Relationship curve between solid matrix strain and solid matrix pressure

圖4 固相體積分?jǐn)?shù)應(yīng)變與Terzaghi有效應(yīng)力關(guān)系曲線Fig.4 Relationship curve between solid volume fraction strain and Terzaghi effective stress

根據(jù)式(17)、(25)和(26)可得εSV為

(27)

圖5 固相體應(yīng)變隨雙應(yīng)力變化曲面Fig.5 The variation surface of solid phase strain with double stresses

2.2 基于雙應(yīng)力變量模型的Biot系數(shù)

Biot[15]認(rèn)為當(dāng)考慮固相基質(zhì)壓縮性時(shí)，只要引入Biot系數(shù)(η)對(duì)Terzaghi有效應(yīng)力公式[14]中的孔壓進(jìn)行修正，就仍可以采用一個(gè)有效應(yīng)力表征一般飽和多孔介質(zhì)的固相變形特性.Skempton[16]根據(jù)固相變形等價(jià)原則獲得了線彈性多孔介質(zhì)的Biot系數(shù)表達(dá)式.本文借鑒Skempton方法，根據(jù)雙應(yīng)力變量建立的飽和多孔介質(zhì)本構(gòu)模型推導(dǎo)非線性條件下的Biot系數(shù)表達(dá)式.

按Biot理論，固相體應(yīng)變可以采用修正后的有效應(yīng)力表示為

εSV=Cb(σm-ηpF)

(28)

式中：Cb為固相骨架壓縮系數(shù).根據(jù)修正后有效應(yīng)力表征的固相體應(yīng)變與雙應(yīng)力表征的固相體應(yīng)變等效的性質(zhì)，聯(lián)立式(27)和(28)得

(29)

由于式(29)對(duì)任意的σm和pF均成立，所以

把本模型測定的CS、a和b的值代入式(30)和(31)，可以得到Cb與η隨Terzaghi有效應(yīng)力的變化關(guān)系，如圖6所示.

圖6 Cb和η與的關(guān)系曲線Fig.6 Relationship curve between Cb, η and

2.3 基于雙應(yīng)力變量模型的孔壓系數(shù)

在巖土力學(xué)中把不排水三軸試驗(yàn)條件下孔壓增量與總壓增量之間的比值定義為孔壓系數(shù)(B)，現(xiàn)采用雙應(yīng)力變量模型來研究B的表達(dá)式.

ΔεSVV=ΔεRSV(φS0V)+ΔεRFV(φF0V)

(32)

根據(jù)式(27)，雙應(yīng)力表征的固相體應(yīng)變增量為

ΔεSV=

(33)

固流兩相基質(zhì)的體應(yīng)變?yōu)?/p>

ΔεRSV=CSΔpS， ΔεRFV=CFΔpF

(34)

把式(33)和(34)代入到式(32)得

(35)

(36)

由式(36)可知，當(dāng)CF1；當(dāng)CF>CS時(shí)，Bt<1.

在實(shí)際工程中，飽和多孔介質(zhì)的孔隙液體中溶解了少量氣體，一般把飽和度Sr∈(0.95,1)的飽和多孔介質(zhì)稱為準(zhǔn)飽和多孔介質(zhì).如果反壓后試驗(yàn)時(shí)間過長，模型試驗(yàn)的飽和試樣并不是完全飽和的，而是處于準(zhǔn)飽和狀態(tài)(0.95

CF=Cg(1-Sr)+ClSr

(37)

式中：Cg為氣體壓縮系數(shù)，Cg=4.94×10-3kPa-1 [25]；Cl為液體水壓縮系數(shù)，Cl=4.8×10-7kPa-1 [13,28].

對(duì)于本模型試驗(yàn)，Lade等[13]采用輕木、椴木、聚丙烯3種材料模擬飽和多孔介質(zhì)的固相基質(zhì)，在完全飽和狀態(tài)下3種材料的CS均大于CF.將本模型試驗(yàn)測定的a和b值以及式(37)代入式(36)，得到準(zhǔn)飽和狀態(tài)下飽和度對(duì)孔壓系數(shù)的影響規(guī)律，如圖7所示.可以看出：Sr>99.7% 時(shí)Bt均大于 1.0.由于孔隙中含有微量氣體，導(dǎo)致孔隙流體壓縮系數(shù)偏大.當(dāng)Sr=99.7% 時(shí)，孔隙流體壓縮系數(shù)與固相基質(zhì)壓縮系數(shù)非常接近，此時(shí)Bt接近于 1.0.隨著Sr進(jìn)一步降低，含氣流體的壓縮系數(shù)大于固相基質(zhì)壓縮系數(shù)，此時(shí)，Bt小于1.0.這一結(jié)果與式(35)和(36)顯示的變化規(guī)律一致，說明孔隙流體中含氣量的微小變化會(huì)顯著改變Bt的變化規(guī)律.

圖7 切線孔壓系數(shù)與Terzaghi有效應(yīng)力關(guān)系Fig.7 Relationship curve between tangent pore pressure coefficient and Terzaghi effective stress

2.4 基于雙應(yīng)力變量模型的孔隙比和孔隙率變化規(guī)律

根據(jù)雙應(yīng)力原理可以得到固相體積分?jǐn)?shù)應(yīng)變，從而推導(dǎo)出飽和多孔介質(zhì)的孔隙比和孔隙率，對(duì)于研究飽和多孔介質(zhì)變形過程中的孔隙變化具有重要意義.在小應(yīng)變條件下根據(jù)式(19)和(26)以及e0=φF0/(1-φF0)，可以獲得e和φF隨Terzaghi有效應(yīng)力的變化公式為

(38)

(39)

圖8 e和φF與關(guān)系曲線Fig.8 Relationship curve between e, φF and

3 結(jié)論

本文基于混合物理論以及連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，根據(jù)不同研究尺度范疇，將固流兩相在飽和多孔介質(zhì)中的存在構(gòu)形分為細(xì)觀真實(shí)構(gòu)形與連續(xù)體構(gòu)形，并證明了固相體應(yīng)變等于固相基質(zhì)體應(yīng)變和固相體積分?jǐn)?shù)應(yīng)變之和.獲得的研究結(jié)果如下.

(1) 提出小應(yīng)變條件下考慮基質(zhì)壓縮性的飽和多孔介質(zhì)力學(xué)的雙應(yīng)力原理：Terzaghi有效應(yīng)力唯一決定固相體積分?jǐn)?shù)應(yīng)變；固相基質(zhì)壓力唯一決定固相基質(zhì)體應(yīng)變；Terzaghi有效應(yīng)力與固相基質(zhì)壓力共同決定固相體應(yīng)變.當(dāng)忽略固相基質(zhì)壓縮性時(shí)，固相基質(zhì)體應(yīng)變?yōu)?，雙應(yīng)力原理退化為有效應(yīng)力原理.

(2) 根據(jù)雙應(yīng)力原理，結(jié)合模型試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到固相體積分?jǐn)?shù)應(yīng)變和Terzaghi有效應(yīng)力之間以及固相基質(zhì)體應(yīng)變和固相基質(zhì)壓力之間的關(guān)系方程，確定了模型參數(shù)，從而建立了飽和多孔介質(zhì)的雙應(yīng)力變量本構(gòu)模型.

(3) 基于雙應(yīng)力變量本構(gòu)模型，得出飽和多孔介質(zhì)固相骨架壓縮系數(shù)、Biot系數(shù)、孔壓系數(shù)，以及孔隙比和孔隙率的表達(dá)式.其中固相骨架壓縮系數(shù)與Biot系數(shù)隨Terzaghi有效應(yīng)力的增加呈雙曲線遞減變化規(guī)律；孔壓系數(shù)與固相基質(zhì)壓縮系數(shù)以及多孔介質(zhì)的準(zhǔn)飽和度有關(guān)；隨著外荷載增加，孔隙逐漸減小，固相骨架壓縮系數(shù)亦隨之減小，孔隙比與孔隙率減小速度減慢并呈現(xiàn)出逐漸穩(wěn)定趨勢.