余弦形預制雙曲梁非線性隔振器的隔振性能

任晨輝， 楊德慶

(上海交通大學 海洋工程國家重點實驗室； 高新船舶與深海開發裝備協同創新中心；船舶海洋與建筑工程學院， 上海 200240)

船舶的各種動力設備(如主機、發電機、空氣壓縮機)以及不同用途的泵等在運行過程中都會引起船舶的振動并產生噪聲[1].合理控制振動，是保證設備正常運行與人員居住舒適度的前提，對于軍事艦艇，還能夠增強其隱蔽性，提升作戰性能.目前，廣泛使用的隔振手段是在動力設備與船體之間安裝彈性裝置，即機器與筏架、筏架與基座之間用隔振器相連接，常用的隔振器主要有鋼絲繩隔振器、空氣彈簧和橡膠隔振器等.鋼絲繩隔振器具有結構簡單、安裝方便、質量輕等優點，在機械、交通、船海等領域得到了廣泛應用[2-3]，但鋼絲繩隔振器的減振機制涉及鋼絲之間摩擦阻力與恢復力的遲滯效應，是一個復雜的力學系統，在研究和設計模型的過程中需進行簡化；空氣彈簧的體積龐大、造價高昂，且需要輔助系統，使其應用范圍受到了限制；橡膠隔振器的材料容易發生老化，使其剛度和阻尼參數逐漸偏離設計值，因此，有必要采用新型的材料與結構制造實用的隔振器，以用于船舶設備的隔振.

圖1 跨中受壓的余弦形曲梁及其前3階屈曲模態示意圖Fig.1 Schematic diagram of prefabricated cosine beam under lateral force at midpoint and the first three buckling modes

余弦形預制曲梁在曲率較大時具有良好的承載能力，且其剛度易于分析，可作為一種非線性隔振器元件.因此，本文在研究余弦形曲梁跨中受壓特性的基礎上，利用3D打印成型技術設計并加工了一種余弦形雙曲梁非線性隔振器，擬用于船舶設備的隔振.同時，采用諧波平衡法求解隔振系統振動微分方程的近似解析解，并與龍格-庫塔方法的數值解進行比較，以驗證其合理性.另外，根據解析解給出振動傳遞率的表達式，并作為衡量隔振器性能的指標，分析了不同非線性剛度系數、激勵幅值和阻尼系數對隔振器隔振性能的影響，以期為余弦形預制雙曲梁隔振器的設計和應用提供參考.

1 余弦形預制雙曲梁非線性隔振器的動力學建模

1.1 余弦形預制曲梁

圖1所示為余弦形曲梁及其前3階屈曲模態示意圖.其尺寸參數包括梁的兩約束端距離l、梁截面厚度t、梁截面寬度b、初始時刻梁軸線中點距兩端點連線的垂直距離(拱高)h等.在跨中受到垂直向下的作用力f時，根據梁的幾何特性，f與梁中點的位移d的關系可分別描述為

(1) 當Q=h/t較小時，下壓過程中垂向力與跨中位移的關系為f1=f1(d).

(2) 當Q=h/t較大、下壓過程中梁軸力小于i階屈曲力時，垂向力與跨中位移的關系仍為f1=f1(d)，此時的力與位移變化方向一致，整體結構呈“正剛度”；當梁軸力達到i階屈曲力時，垂向力與跨中位移的關系可表示為fi=fi(d)，此時的力與位移變化方向相反，結構呈“負剛度”(對于限制2階屈曲模態的梁，取i=3；當不限制2階屈曲模態時，取i=2).

Qiu等[4]引入無量綱量Fi=fil3/(EIh) (i=1,2,3)、D=d/h、Q=h/t，以推導以上的力-位移關系，所得無量綱的作用力Fi(i=1,2,3)如下：

(1)

對應的有量綱形式的作用力fi(i=1,2,3)如下：

(2)

式中：E為彈性模量；I為截面轉動慣量.

當f1取極大值時，對應有

式(1)中的3種力-位移關系可用圖2表達.

圖2 不同幾何特性的余弦形曲梁的力-位移關系Fig.2 Different solutions of normalized force-displacement relationship for pre-fabricated cosine beam

由圖2可見：隨著位移增加，垂向力的值總是先增加到最大(該峰值稱為正向屈曲力)，而后，隨著位移增加而減小，出現“負剛度”區域，最后，垂向力從最小值開始又隨著位移增加而增大；當Q=1.65 時，F1與F2相切；當Q=2.31時，F1與F3相切，且與F=0的水平線相切.

本文利用余弦形預制曲梁的力-位移關系中“正剛度”區域來設計制造一種新型非線性剛度隔振器，擬用于船舶設備的主動與被動隔振.為保證隔振器的初始剛度以及滿足變形過程中側向穩定性的要求，避免下壓時出現余弦形曲梁的2階屈曲變形，將2個相同的余弦形曲梁的中部和兩端固結[5]，如圖3所示，從而保證曲梁在極限載荷作用下直接由1階屈曲形狀轉變為3階屈曲形狀而不發生側向翻轉.

圖3 單余弦形曲梁與并聯雙余弦形曲梁Fig.3 Single cosine beam and centrally-clamped cosine beam

余弦形預制雙曲梁非線性隔振器的設計包括梁的兩約束端距離l、梁截面厚度t、梁截面寬度b、中心拱高h等幾何參數.設計時，先根據實際應用場景確定梁外形的長度和寬度，再依據隔振器在給定參振質量下的靜變形與最大允許振幅，由式(2)反復核算來確定t、h，以保證剛度與振幅滿足使用要求.所設計的非線性隔振器外形與應用場景如圖4所示.隔振器材質為丙烯腈-丁二烯-苯乙烯(ABS)樹脂，其彈性模量為 1.8 GPa，泊松比為 0.39，密度為 1.04 g/cm3，抗拉強度為50 MPa.采用3D打印成型技術一體成型，設計參數可變范圍較大，且避免了金屬材料的焊接缺陷與殘余應力等影響.

圖4 余弦形預制雙曲梁非線性隔振器Fig.4 Centrally-clamped cosine-shaped beam as a nonlinear vibration isolator

1.2 非線性隔振器系統的動力學方程

在設計余弦形預制雙曲梁非線性隔振器時，采用足夠大的Q=h/t，有利于提升隔振器的承載性能.由圖2可以看出，當Q=h/t>2.31，即9h2>48t2時，曲線F(D,Q)與F=F3有3個交點，交點橫坐標D的有量綱值為

(3)

其中：d=d1時所對應的有量綱垂向力為

(4)

但是，Q的增幅是有限度的.隨著h增大，盡管垂向最大允許載荷會增加，但垂向剛度也隨之增大，使得系統的固有頻率將增大而不利于隔振.

圖5 兩種不同的隔振系統模型Fig.5 Active and passive vibration isolating system

根據振源的不同，通常將隔振分為兩種不同的模型，即主動隔振與被動隔振[6].如圖5所示，主動隔振是將振源與基礎隔離開，以避免或減小系統的振動向基礎傳播；被動隔振則是避免或減小基礎運動對系統或設備的激勵.

對于主動隔振，所建立的動力學微分方程為

k3(x+Δ)3=F+mg

(5)

Δ滿足k1Δ+k2Δ2+k3Δ3=mg，故有

(k2+3k3Δ)x2+k3x3=F

(6)

與式(5)相比，式(6)更容易求解.

對于被動隔振，所建立的動力學微分方程為

k2(x-u+Δ)2+k3(x-u+Δ)3=mg

(7)

令z=x-u，u為基礎位移激勵，則有

(8)

形如式(6)和(8)的非線性振動微分方程稱為Helmholtz-Duffing方程[7-8]，可用諧波平衡法求解[9-10].具體方法：將隔振系統激勵項和方程的解都利用傅里葉級數展開；然后，將其代入隔振系統的運動微分方程中，令同階諧波項的系數相等，即可將原方程轉化為一系列的代數方程；通過求解代數方程即可確定傅里葉級數的系數，從而獲得隔振系統的解析解.本文分別利用諧波平衡法求解式(6)和(8)的近似解析解.

2 非線性隔振系統響應

2.1 主動隔振系統響應求解

對于主動隔振系統動力學方程(式(6))，假設

(9)

式中：ω為圓頻率；t為時間；ε為相位；a0為非線性響應常數；a1為響應諧波.

將式(9)代入式(6)，其等號左邊可精確展開成不同階次諧波的線性組合.然后，令等號兩邊的常數項、sinωt、cosωt的系數相等，則有

(10)

式中：

(ca1ω)2=f2

(11)

(12)

式(11)與(12)反映了主動隔振系統非線性隔振模型的圓頻率-振幅響應特性，其相位ε滿足

(13)

2.2 被動隔振系統響應求解

對于被動隔振系統非線性動力學方程(式(8))，假設

(14)

式中：Λ為基座加速度激勵幅值；φ為被動隔振系統的相位；b0、b1分別為被動隔振系統非線性響應常數和響應諧波.

式(14)的求解過程與主動隔振系統類似，最終可得

(cb1ω)2=(-mΛ)2

(15)

(16)

將z(t)代入x=u+z，可得

x=u+z=

-(Λ/ω2)cos(ωt+φ)+b0+b1cosωt

(17)

式(15)～(17)反映了被動隔振系統非線性隔振模型的圓頻率-振幅響應特性，相位φ滿足

(18)

2.3 數值解驗證

式(6)和(8)對應的微分方程可用多種方法求解.由于廣泛用于工程中的龍格-庫塔方法具有精度高、收斂性好、穩定、易于程序實現的優點，所以本文利用4階5級龍格-庫塔方法求解非線性振動微分方程，并與諧波平衡法的解析解進行對比.隔振器的尺寸設計參考船舶中常用的BE-120橡膠隔振器，其長度為140 mm、寬85 mm，其余參數的選取依據隔振器在給定參振質量時的靜變形與最大允許振幅條件.本文所設計的非線性隔振器參數的設計自由度大、選擇范圍廣，所選主動隔振系統計算參數：l=0.14 m；b=85 mm；h=14 mm；t=5 mm；ζ=0.005；m=300 kg；f=100 N；Δ=1.14 mm；d1=6.08 mm；振動頻率fr=10 Hz.被動隔振系統計算除fr=20 Hz、加速度的激勵幅值Λ=1.96 m/s2外，其余參數與主動隔振系統計算一致.當系統達到靜平衡時，根據k1Δ+k2Δ2+k3Δ3=mg所得隔振器變形量Δ=1.14 mm，由式(3)計算所得最大允許振幅為 6.08 mm，最大靜載荷為 8.543 kN.

圖6和7分別示出了主、被動隔振模型的振動位移與響應相跡圖，包括諧波平衡法求得的近似解析解與利用龍格-庫塔方法所得數值解.

圖6 主動隔振系統響應的諧波平衡解析解與數值解Fig.6 Analytical and numerical solutions of the active vibration isolating system

圖7 被動隔振系統響應的諧波平衡解析解與數值解Fig.7 Analytical and numerical solutions of the passive vibration isolating system

由圖6和7可見，諧波平衡法得到的近似解析解與龍格-庫塔方法所得數值解基本吻合，從而驗證了諧波平均法求解的有效性.

圖8所示為式(12)對應的主動隔振系統的非線性響應常數a0與響應諧波a1的幅頻特性曲線.可以看出，非線性隔振系統的響應曲線的頂端向左傾斜，即呈現出“漸軟”式非線性隔振系統的幅頻曲線特征，這與圖2中垂向力變化曲線的斜率(剛度)逐漸減小的變化規律一致，且隨著載荷幅值的增加，幅頻曲線的傾斜程度增大.

圖8 主動隔振系統響應的幅頻特性曲線Fig.8 Frequency response curves of the active vibration isolating system

3 余弦形預制雙曲梁隔振器的振動傳遞率

對于主動隔振系統，由于輸入載荷是外力，所以選用力傳遞率作為衡量隔振器性能的參數[11]，能夠較好地反映隔振器效率.非線性隔振系統的力傳遞率和線性隔振系統的力傳遞率有著相同的意義[12]，均表示傳遞到基礎上的動態力幅值與激勵力幅值的比值.

對于主動隔振系統的力傳遞率，首先計算傳遞到基礎上的動態力，即彈性力Fres與阻尼力Fdam，兩者的相位相差90°，其計算公式為

如果僅考慮動態力，則力傳遞率的表達式為

TF=

對于被動隔振系統，選取位移傳遞率作為衡量隔振器性能的參數.系統的振動位移傳遞率定義為系統絕對位移響應幅值與基礎位移幅值的比值，系統絕對位移的表達式為

如果僅考慮動態位移，則位移傳遞率的表達式為

其中：被動隔振系統的相位φ由式(18)得出.

4 參數對隔振器隔振性能的影響

4.1 非線性剛度系數對振動傳遞率的影響

4.2 激勵幅值對振動傳遞率的影響

增大激勵力的幅值(對于被動隔振系統，增大激勵加速度的幅值)，所得不同激勵幅值下的振動傳遞率曲線如圖10所示.其中，輸入載荷按照工作區域振動加速度上限為 0.286 m/s2，對應的主動隔振系統激勵力為 85.8 N，分別取該加速度或激勵力的120%，100%，80%，50%，其余參數同上.由圖10可見，在大部分頻率范圍內，改變激勵幅值并不影響振動傳遞率，而在其響應幅值有多個取值(“不穩定”區域)時，激勵力或激勵位移的增大會增強振動傳遞率曲線向左傾斜的程度，使系統具有更加明顯的非線性特征.

圖9 不同h下的振動傳遞率曲線Fig.9 Vibration transmissibility curves of the isolators with different h

圖10 不同激勵幅值下的振動傳遞率曲線Fig.10 Vibration transmissibility curves under different excitation amplitudes

4.3 阻尼系數對振動傳遞率的影響

選取隔振系統的黏性阻尼比ζ=0.005，0.010，0.020，0.050，0.080，0.100，其余參數同上，以分析阻尼系數的影響，所得不同黏性阻尼比條件下的振動傳遞率曲線如圖11所示.可見：隨著ζ值增大，共振點的力和位移傳遞率明顯降低，且存在一條明顯向左傾斜的“脊骨線”貫穿曲線族峰值點，由非線性剛度系數和激勵幅值所決定，而ζ對曲線骨架沒有影響；隨著ζ值變小，振動傳遞率曲線逐漸向頻率較小的方向傾斜，系統的不穩定性逐漸增強.

圖11 不同黏性阻尼比下的振動傳遞率曲線Fig.11 Vibration transmissibility curves for different damping coefficients

5 結論

(1) 所設計的余弦形預制雙曲梁非線性隔振器的質量輕、承載能力強且設計過程簡單.隔振器的剛度呈非線性，表達為位移的3次多項式，采用諧波平衡法計算的隔振系統振動微分方程的解析解與其數值解基本吻合.

(2) 非線性振動系統的響應曲線頂端相對于線性系統的響應曲線頂端向左傾斜，呈現出“漸軟”式非線性系統的幅頻曲線特征.

(3) 足夠大的h/t有利于提升隔振器的承載性能，但h值過大，將使得系統剛度增加，振動傳遞率曲線向高頻方向遷移，不利于低頻隔振.在相同頻率比時，阻尼效應對傳遞率起主導作用.

(4) 在大部分頻率范圍內，改變激勵幅值并不影響振動傳遞率，而在響應幅值的“不穩定”區域，激勵力和激力位移的增大將會強化振動傳遞率曲線的非線性特征.存在一條明顯向左傾斜的“脊骨線”貫穿振動傳遞率曲線族峰值點，隨著黏性阻尼比減小，曲線沿著“脊骨線”逐漸向頻率較小的方向傾斜，系統的不穩定性逐漸增強.