一維雙邊空間常系數對流擴散方程的二階數值算法

王亞力

摘要：本文致力于一維空間常系數對流擴散方程的數值解法，基于有限差分法，提出了一種二階精度的加權Crank-Nicholson離散差分格式，并討論了其收斂性，最后給出了數值算例。

關鍵詞：有限差分法 加權Crank-Nicholson格式

一、引言

（一）分數階微分簡介

分數階微分或導數即是階數為分數階的微分或者導數.我們平時熟知的微分或者導數都是整數階的，而分數階微分或導數就是對其階數進行一個從整數到分數的推廣而得到的.雖然公眾對分數階微分或導數比較陌生，但其實分數階微分或導數也有很長的歷史.分數階微分或者導數最早是由LHospital提出的，1695年在其寫給Leibniz的一封信中提到：在n階微分中，n通常為整數，而當n=1/2時，微分dny/dxn有著什么樣的意義，其表達式又為什么.但是這個問題一直沒有得到解答，直到一個世紀之后，在1812年Laplace給出分數階導數的定義，在其定義中主要用到了積分.而到了1819年，Lacroix利用Laplace定義給出了常見函數y=x的階數為1/2的分數階導數：，這個結果與現在常用Reimann-Liouville定義下的分數階微分是一樣的.在此之后，Fourier通過一個變換（現在稱之為Fourier變換）給出了分數階導數的定義.Abel也為分數階微分或導數的發展做出了重要貢獻，他在研究Abel積分方程時發現：一般情況下一個常數的分數階微分不為零.到了19世紀30年代，Liouville在前人特別是Abel和Fourier的啟發下，并結合Gamma函數成功的將分數階導數應用到位勢理論中，最終給出了自己對于分數階導數的定義.

在這一百多年的歷史中，分數階微分或導數發展極其緩慢，究其原因，主要為：一，計算復雜，即隨著微積分的階數從整數推廣到分數，其計算復雜程度有著一個爆炸性的增長;二，缺乏應用背景，由于分數階微分或導數的發展與當時科學技術的發展所需的數學理論的脫節，導致分數階微分或導數不受科學界主流所重視，在很長一段時間內只有少數的幾位純理論數學家對其進行研究和探索.

（二）分數階微分方程的研究意義

隨著科技的發展分數階微分方程逐漸涌入主流學界的視野中，并在實際應用背景下越來越受到關注，很多實際問題在進行數學建模的過程中可以抽象為分數階微分方程.分數階微分方程同時也是微分方程理論中的重要組成部分，豐富了微分方程理論研究.分數階微分方程主要包括分數階常微分方程與分數階偏微分方程，分數階常微分方程相較于分數階偏微分方程來說較為簡單，分數階偏微分方程較為復雜，基本不可求得解析解.分數階偏微分方程分為：空間分數階偏微分方程、時間分數階偏微分方程和空間和時間導數均為分數階的偏微分導數。

分數階偏微分算子由于其定義而自帶全局性、遺傳性及記憶性等特性，所以分數階偏微分方程比較適合解決比較復雜的實際問題，特別是模擬一些帶有時序記憶特性的復雜變化過程.由于分數階偏微分方程特性，其被廣泛應用于各個學科領域的數學建模：例如記憶材料學、流體力學、物理學、生物學等等學科領域.除此之外，分數階偏微分還在現代工程計算中有著廣發的應用，由此可見分數階偏微分方程在理論與應用中都舉足輕重。

雖然分數階微分方程的前景一片光明，但是現在對其研究還有著很多的不足，主要表現在：一數值算法不完善，主要數值算法為有限差分和有限元法;二雖然有了一些數值算法，但沒有將其封裝為較為成熟的數值計算軟件，不能很好滿足現在工程計算的需求;三一些具有挑戰性的數值計算問題尚未解決，例如長時間段的數值計算以及大空間域的數值計算。

（三）分數階偏微分方程數值解法研究現狀

對于解分數階偏微分方程來說，最理想的狀況就是能求得其解析解，但是絕大多數是無法求得解析解的.雖然對于分數階常微分方程已經有了多種求解析解的解法，如分離變量法、Fourier變換法、Laplace變化法、鏡像法、Mellin變換法等，但是由于分數階偏微分的特性，將這些方法往分數階偏微分方程求解的推廣并沒有取得良好的效果，因此只能對絕大多數分數階偏微分方程求數值解.

關于對分數階偏微分方程數值解的研究，最近幾十年取得了一些成就，最主要的數值解法包括：有限差分法、有限元法、有限體積法、譜方法、變分迭代法、同倫擾動法等等.在這些方法中有限差分法起步最早，發展的最完善，總體來說較為成熟.譜方法是最新的研究成果，效果最好，但是計算相當復雜，發展還不夠完善.本文主要采用有限差分法來解決特定的分數階偏微分方程.有限差分法主要包括L1，L2、L2C、經典Grunwald公式和移位的Grunwald公式等方法，而且大多數時候還會利用這幾種方法之間的結合即加權平均來形成新的解法。

（四）本文研究內容

分數階微分方程有很強的應用背景，是從一系列的物理應用場景中抽象提取出來的一類微分方程.對于解決與之前所有時間段都相關的問題有著非常重要的意義，特別是在物理、化學、材料力學等方面都有著非常重要的應用[1].

二、差分離散格式

令h為分數階對流擴散方程的空間步長，，為時間步長，，，。令表示在網格剖分點的值.則表示源項在該網格點出的值。

對式（1a）中的進行二階中心時間差商離散，并選取作為離散的網格點.而對于式（1a）中的采用相鄰網格點和處的二階中心空間差商，并進行加權平均離散，這樣就可以獲得這兩項的二階精度離散格式。

而對于式（1a）中的雙邊分數階導數和則采用經典的Grunwald公式、向前移位的和向后移位的Grunwald公式進行離散，并取其加權平均而得到空間上具有二階精度的離散格式，該離散格式如下：

三、數值算例

考慮常系數雙邊分數階對流擴散方程（1），且其邊初值條件如下：

其中，，則知此時該方程的精確解為：

為了驗證該數值解法的精度為二階，取，最大誤差：，精度計算公式：，下表給出了此方程在本文提出的差分格式下的數值解的誤差和精度.由表1可知，本文提出的差分離散格式在空間步長減小的情況下，誤差也隨之減小，且該數值解法具有二階精度.經典或者移位的Grunwald公式只能獲得一階精度的數值解法，而利用加權Crank-Nicholson格式將兩者結合起來則會獲得二階精度的數值解法，所以考慮將經典Grunwald公式和多個移位Grunwald公式進行加權平均獲得更高精度的數值解法將是一個很好的研究方向.

參考文獻：

[1]郭柏靈，蒲學科，黃鳳輝.分數階偏微分方程及其數值解[M].北京：科學出版2011：1-3，91-92.

[2]Hao Z P ， Sun Z Z ， Cao W R . A fourth-order approximation of fractionalderivatives with its applications[J]. Journal of Computational Physics， 2015， 281：787-805.

[3]Podlubny I.. Fractional differential equations[M]. San Diego：Academic Press，1999：1-4，88-89.

（作者單位：華南理工大學數學學院）