初中數學“基本圖形”的應用與研究

隨著課改的不斷深入，一線教育工作者越來越關注學生素質的培養，“核心素養”也就成為教育界關注的一個焦點。就數學學科而言，核心素養大體上包含數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析六個方面。歸根結底是要用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言表達世界。在多年的初中幾何教學中經常會遇到一些學生不會獨立思考幾何問題。遇到陌生的幾何問題就束手無策，不知道從哪方面入手，題目條件似乎都沒什么用，他們只會做一些做過的熟悉的題目。主要原因是幾何邏輯性太強，很難寫出條理清晰的證明步驟；不能把基本圖形、符號與文字三種語言“互譯”；不會正確地添加輔助線。怎樣改變這種現象一直是筆者思考的問題。筆者嘗試在幾何教學中進行“基本圖形”研究，以促進學生數學素養的發展。

一、基本圖形從哪里來

1.概念、定理、推論、性質中的基本圖形

幾何學習最初是從認識圖形(概念)入手，再通過性質、判定、推理證明一步步學習的。在學習三角形外角的基本概念時，學習“三角形的一個外角等于和他不相鄰的兩個內角的和”的時候，應該在腦海中建立圖1的基本圖形并能得到∠1=∠A+∠B；在學習等腰三角形“三線合一”性質時在腦海中要建立圖2基本圖形，并且結合圖形寫出三中幾何語言。在學習“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”時，要在腦海中建立圖3基本圖形。如圖4由半徑、弦的一半、弦心距組成的“垂徑三角形”是一個很重要的基本圖形，很多圓的計算問題都可以轉化為這個基本圖形，在直角三角形0AP中求解。在半徑、弦、弦心距(還有拱高)這4個量中只要知道2個量就可以求其余2個量。

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

2.習題中出現的基本圖形

盡管數學練習千變萬化，但是絕大多數題目都能從中提煉出一些基本元素，在教學中幫助學生梳理、提煉這些基本圖形，遇到問題時分離這些基本圖形，基本圖形殘缺時構造基本圖形，這樣可以以這些基本圖形為載體，培養學生的空間想象能力，分析推理能力。一種是簡單的基本圖形。例如，三角形全等的基本圖形：直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半的基本圖形：三角形相似的基本圖形，還有弦切角定理、切線長定理基本圖形等，這些都是比較簡單的常見的全等、相似的基本圖形，易于掌握和應用。還有一種是比較復雜，經常在習題或考題中出現，也可以提煉為基本圖形。例如基本圖形如圖5：角平分線+平行線等腰三角形(1)AC平分∠BAD；(2)AB=CB；(3)BC∥AD。由三個條件中的任意兩個都可以推出另一個成立。

3.反映數學規律的基本圖形

盡管幾何部分有很多知識點，但是某塊內容的有關練習都有很多共性之處，可以把其中最有共性、最本質的基本元素提煉出來作為基本圖形，給解決問題帶來便捷。例如：兩個等角的一邊在同一直線上，另一邊在該直線的同側。若有第三個與之相等的角、其頂點在該直線上，角的兩邊(或兩邊所在直線)分別與兩等角的非共線邊(或該邊所在直線)相交，此時通過證明，一般都可以得到一組相似三角形，該組相似三角形習慣上被稱為“一線三等角型”相似三角形。

圖6

已知：如圖 6，∠A=∠CPD=∠B，求證：△CAP∽△PBD。證明：∵∠CPD+∠APC=∠B+∠PDB，∠CPD=∠B，∴∠APC=∠PDB，又∵∠A=∠B，∴△CAP∽△PBD。當增加條件：CP=DP時，△CAP≌△PBD

二、基本圖形運用實例分析

1.基本圖形一題多變

如果我們著手解答一道習題，那第一件事就是搞清楚它是一道什么題？它是什么形式，屬于哪種類型？基礎知識復習的深刻性并非簡單地加大難度，而是體現在深入到知識底層和方法的本質，聚焦學生的能力發展，關注知識運用背后的基本思想、基本方法和基本經驗。這就要求我們在復習課教學中，對已經學習過的知識進行綜合研究，使相互聯系的知識模塊化，對一些基本思路、基本方法或基本結論相同的問題進行模型歸納，在模式識別、一模多變的過程中打通學生的思維通道，提升他們分析問題和解決問題的能力。

如圖7：馬路兩側有兩根燈桿AB，CD。當小明站在N處時，在燈C的照射下小明的影長正好為NB，站在燈A的照射下小明的影長為NE。測得BD=24 m，NB=6 m，NE=2 m，判斷這兩根燈桿的高度是否相同，并說明理由。

圖7

圖8

此例兩次運用“平行A型相似”的基本圖形和結論很容易解決，為了獲得“雙平行A型相似”問題經驗模塊，可做如下設計：

變式1：在上題中，小明站在何處可以同時使得其在燈A下的影長恰好為ND？

變式2：假如燈桿高度不等，小明恰好站在可以同時使得其在燈A和燈C下的影長恰好為ND和NB，你能發現怎樣的結論？

變式3：如圖8，已知直線AB同側有平行線AC，BD，聯結AD，BC交于點E，又EF∥AC交AB于點F，求證：1/AC+1/BD=1/EF。經過這樣的變式設計和活動之后的反思概括成“雙平行A型相似”結論：指導思想：數形結合；處理策略：由形到數；基本結論：1/a+1/b=1/c

也可以將基本結論表達成梯形的一個性質：過梯形對角線交點向一腰所引平行于底邊的線段長的倒數等于兩底邊長的倒數之和。

2.基本圖形提煉有助于對知識的梳理

相似三角形相似判定方法一課，我們可以從“母子型”“平行線A型”“逆平行線型”“8字型”“雙平行線A字型”“一線三等角型”等模型的建構作為本節復習課知識建構的主體。既梳理了知識，又從模型上分類積累了很多思路。

如圖9，在平面直角坐標系XOY中，直線y=-x+m分別交X軸，Y軸于A，B兩點，已知點C(2，0)。(1)略；(2)設點P為線段OB的中點，連接PA，PC，若∠CPA=∠ABO，則m的值是多少。抓住相等角，活用“一線三等角”。

圖9

圖10

分析：本題已有兩角相等且在一線上，如果此線上再有一等角，那么“一線三等角”模型便可以形成，此解法貴在沒有因為圖形的“怪異”而失去對已知條件本身的理解，一步到位，干凈利落。

“一線三等角”模型是一種常見的建立三角形相似的方法：如圖，∠D=∠ACB=∠E時，△ADC∽△CEB。該模型在本題中的應用時，由于圖形看上去有些“怪異”而放棄這種解法，原因般有兩個，一是模型教學中太注重“模型”的形式，忽視了其數學本質的挖掘“一線三等角”的本質是三角形內角和與同角的補角相等，所以頂點在一條線上的三個角相等是其基本特征，本題中一條線上已有兩角，且我們解題思路中已確定點為制造三角形相似，所以，在C的基礎上制造第三個角就成了必然。

三、巧妙運用基本圖形發展學生學科核心素養

1.通過基本圖形培養學生的空間想象能力

林崇德老師在《學習圖形與發展》一書中提到中學數學的發展，可以分為由低到高的三級水平，其中第Ⅱ級水平為能夠由較復雜的圖形分解出簡單的基本圖形，在基本圖形中找出基本元素及其關系，并能夠將圖形及其特征聯系起來。

圖11

圖12

例如：如圖12：△ABC內接于⊙O，邊BC上的高AD的延長線交⊙O于點H，以AD為直徑的⊙O’交AB、AC于點E、F，EF交AD于點G。求證：AD2=AG·AH.

圖13

圖14

圖15

分析：這個問題中出現了條件AD是⊙O的直徑，E(或F)是半圓上的點，所以可運用半圓上的圓周角是直角的基本性質進行證明。而現在圖形中有⊙O′的直徑AD，有半圓上的點E，但沒有圓周角所以應將圓周角添上，于是連結DE(如圖13)，即可得∠DEA=90°。這里出現的半圓上的圓周角實際上就是組成這個幾何圖形的第一個基本圖形在得到DE⊥AE后，由條件AD⊥BC，可得△ABD是直角三角形，這樣就出現了DE是Rt△ABD的斜邊上的高，那么，運用直角三角形斜邊上的高的基本性質，就可得結論中出現的AD2應等于AE·AB，且∠ADE=∠ABD。這個直角三角形斜邊上的高，就是組成這個幾何圖形的第二個基本圖形(如圖13)由性質AD2=AE·AB，再對比要求圖3證的結論AD2=AG·AH，可知問題轉化成要證明AE·AB=AG·AH這是線段之間的比例關系，經過描圖可發現，出現了兩組相乘線段重疊在一直線上，且有一個公共的端點，從而可添加一組逆平行線型的相似三角形進行證明，添加的方法是將端點B和端點H、連接起來，于是連接BH。可得△AGE和△ABH應是一對逆平行線型的相似三角形，這就是組成這個幾何圖形(如圖14)的第三個基本圖形。而要證明這兩個三角形相似就可以轉化為要證AE·AB=AG·AH的等價性質∠AGE=∠ABH(或∠AEG=∠H)由于∠AGE可以看作是△AFG的一個外角(E、G、F成一直線)，所以∠AGE=∠FAG+∠AFG.而∠FAG可以看作是⊙O的一個圓周角，在⊙O上已經出現四點A、B、H、C，所以應用圓周角的性質可得∠FAG=∠CBH.這里出現圓周角就是組成這個幾何圖形的第四個基本圖形(如圖15)。根據同樣的道理，在⊙O中應用圓周角的基本圖形的性質可得∠AFG=∠ADE.而已經證明了∠ADE=∠ABD，所以∠AFG=∠ABD，又∠CBH+∠ABD=∠ABH，所以∠ABH∠AGE就可以證明，分析也就完成。

從上述例題的分析，可以發現這個幾何問題的圖形實際上是由半圓上的圓周角、直角三角形斜邊上的高、逆平行線型相似三角形和圓周角這四個基本圖形組合而成的所謂對這個問題的分析，實質上就是將問題進行分解并進一步發現且找到組成它的所有的基本圖形，再運用這些基本圖形的性質使問題得到解決。

2.通過基本圖形培養學生的直觀想象能力

著名數學家華羅庚先生有“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”的精辟論述。代數具有高度的抽象性，單純地研究代數，對于中學生而言比較難于理解，而數形結合是初中數學中重要的思想方法之一，在初中數學中起著重要的作用，通過圖形將代數問題直觀化。例如，在函數的教學中，函數圖像是直觀的研究函數的重要工具。函數有三種表示方法：解析式法、圖像法、列表法。而這三種方法中，圖象法是最直觀的方法。初中生的思維處于由形象思維向抽象思維轉變的過程，對于形象思維更易于接受。鑒于此，在學習函數時，教科書利用描點法畫出函數圖象，借助于函數圖像，直觀地發現函數的性質，如增減性、最大最小值、對稱性。而這些僅通過函數解析式或列表法是很難發現的。反過來觀察圖象又可以增進對代數的理解，例如，二次函數的教學首先學習y=ax2形式的函數，通過畫函數圖像得到頂點在原點的函數圖象的性質，接著學習y=a(x-h)2+k，加深對函數解析式的理解。

3.通過基本圖形發展的學生思維的廣度和深度

如圖16，AB、CD相交于E，AD=AE，F、G、H分別是DE、BE、AC的中點，請說明：HF=HG學生往往會想到等腰三角形“三線合一”基本圖形，等腰三角形基本圖，三角形中位線定理基本圖，所有和條件有直接關系的基本知識和圖形都能想到，但還是解決不了問題，這就促使學生深入思考：有沒有與基本圖形的性質派生出的結論和條件相結合形關聯的基本圖呢？數學基本知識扎實的學生就想到了直角三角形斜邊上的中線基本圖形，于是想到連結AF、CG使問題得到了解決。用基本圖形分析法分析比較復雜的幾何間題，可以鍛煉學生的思維廣泛性和深刻性。解決問題后，學生的身心愉悅，有相當強的成功體驗，成為學習數學的無窮動力。

圖16

4.通過基本圖形培養學生學習幾何的熱情

在教學時引導學生結合圖形理解記憶基本知識，學生只要根據圖形用自己的語言把意思表達清楚就可以了，學生易于接受、容易落實。在參與課堂討論的時候，某些學生雖然沒有找到解決問題的辦法，但總能說出自己的部分想法，想到了哪些基本圖形、哪些基本知識，經常在討論中使問題得到解決。學生也很少再為答不出問題而感到差愧，增強了學生學習數學的信心，更愿意參與到課常中來。調查顯示所教班級中(36人)有32對數學很感興趣了，其中有10人原來對數學不感興趣，現在對數學興趣很濃厚了。學生以基本圖形的形式建立幾何知識索引的效果較好，有專家在他的教育研究中指出學生看到陌生題目不會做的原因是他們按照題目條件在頭腦中不能建立知識索引，或者建立的知識索引不夠清晰。即看到題目首先想到的是這個題目有沒有做過，而不是想如何根據已有的知識方法分析它。知識索引是指學生把基本的知識通過加工儲存在頭腦中。本研究是通過基本圖形與基本知識相關聯的形式進行儲存，引導學生看到題目中的條件就想到相應的基本圖形和知識點。利用這種方法分析問題時，即使不能找到解題方法，學生也進行了一定的數學活動，也會有所收益。以基本圖形的形式建立知識索引，是“塊狀知識”的索引，即信息加工理論中的“組塊”，或者是圖式理論中的“圖式”，便于學生需要這些知識時從頭腦中提取出來。

總之，對初中數學基本圖形的歸納與應用，對初中數學教學起到很大的幫助，更對學生學習初中幾何起到指路引領的作用。基本圖形對于中下程度的學生掌握基本知識效果較好，學生不用死記硬背基本知識，只要聯想到基本圖形，看圖形說出大概意思，然后能進行簡單的應用就行，但是對于他們分析較難的綜合同題，有時效果不明顯。畢竟，思維能力的培養需要一個過程；基本圖形對提高優秀學生的解題能力效果明顯，且明顯縮短丁思考時間，減少了嘗試一失敗的次數，且很容易激發學生的學習興趣，促使學生自主探究較難的問題；在復習課中系統的實施基本圖形分析法，建立完備的基本圖形庫，幫助學生進行減負高效的數學學習。