變速直線運動下轉動平衡?

一、問題引入

力可以使物體發生轉動，力對物體作用時所產生的轉動效應用物理量力矩表示。轉動平衡狀態指一個有固定轉動軸的物體，在力的作用下保持靜止或勻速轉動。有固定轉動軸的物體的平衡條件是，作用在物體上的所有力的合力矩等于零，是以轉動平衡狀態也稱力矩平衡狀態。對于受平面力系作用而平衡的物體，則對任意轉軸的力矩的代數和都等于零。故常說不轉動就是力矩等于零，那么當做變速直線運動時，這種說法是否還成立？曾有學生以下題為例，提出疑惑。

例1.如圖1所示，在一輛做加速度為a的勻加速直線運動的小車里，用一根長為l的細繩懸掛一質量為m的小球A，繩與豎直方向的夾角為θ。

圖1

圖2

圖3

以O為轉動軸，力矩Mo=mglsinθ；

以A為轉動軸，力矩MA=0。

基于此計算結果提出三個問題：首先，這里小球A并沒有轉動，為何合力矩不等于零；其次，為何不同轉動軸下的力矩不相等；最后，轉動平衡關系是否不適用變速直線運動？

二、參考系與轉動軸對力矩的影響

仔細觀察發現學生分析時混淆了參考系：她所選的轉動軸O是在地面(慣性系)坐標系中，而并不是固定在車(非慣性系)上的坐標系中的轉軸O。以地面為參考系時，物體A相對轉軸O是在轉動的，并不處于轉動平衡狀態，所以合力矩不等于零。只有以車為參考系時，物體處于轉動平衡狀態，但此時所受的力需要加上水平向左的慣性力ma，如圖2所示。

是故在以車為參考系時，不同轉動軸下合力矩都等于零，處于轉動平衡狀態。為何在慣性系中以A為轉動軸時合力矩也等于零？這是由于A其實就是物體的質心位置，慣性系中小球相對質心做直線運動，沒有發生轉動。

由此得出結論：首先，做變速直線運動的物體在非慣性系中沒有發生轉動，作用在物體上的所有力的合力矩等于零，處于轉動平衡狀態。其次，做變速直線運動的物體在慣性系中，繞定軸轉動時合力矩一般不等于零，除非選擇慣性系中物體的質心位置為轉動軸。所以，在利用力矩平衡處理變速直線運動時，需要關注在哪個參考系中處于轉動平衡狀態。

這里還存在一個問題：以慣性系中的O為轉動軸時合力矩不等于零，肯定是由于存在加速度產生的結果，那么合力矩與加速度之間有怎樣的定量關系？

三、合力矩與加速度

這里需要利用剛體定軸轉動定律來加以理解。剛體定軸轉動定律指剛體所受的對于某定軸的合外力矩等于剛體對此定軸的轉動慣量與角加速度的乘積。用表達式表示就是M=Iβ。

θ這里I指對應定軸的轉動慣量，β指繞定軸轉動的角加速度。其中轉動慣量在繞不同軸轉動時是不相等的，遵循平行軸定理：設剛體質量為m，繞通過質心轉動軸的轉動慣量為Ic，將此軸朝任何方向平行移動距離d，則繞新軸的轉動慣量I=Ic+md2。本文考慮的是物體的平動，所以以質心為轉動軸的轉動慣量Ic=0，故繞不同軸的轉動慣量I=md2。

以地面參考系中O為轉動軸時，小球的加速度如圖3所示，其中ao是指加速度垂直物體質心與轉動軸連線方向上的分量：

這里角加速度是連接合力矩和加速度關系的橋梁，且角加速度只與垂直物體質心與轉動軸連線方向上加速度分量成正比。所以說在變速直線運動中，合力矩是正比于垂直物體質心與轉動軸連線方向上加速度ao以及質心到轉動軸間距離d，比例系數就是物體質量。用表達式表示就是M=mda0。

四、利用力矩處理變速直線運動的三種方法

通過上述分析得到三個定量關系：1.在非慣性系中，物體處于轉動平衡狀態，合力矩等于零。2.以慣性系中質心位置為轉動軸，合力矩也等于零。3.以慣性系中其他位置為轉動軸時，合力矩滿足M=mda0。這三個定量關系也為解決變速直線運動提供了三個方案。

五、小結

通過上述對學生問題的分析和挖掘，筆者深感基本概念教學的重要性，教學中應牢牢抓緊教材中對基本概念的分析，引導學生從不同角度對同一模型的分析，以此構建對不同基本概念間聯系和區別，實現清晰和系統化的知識概念，同時提升學生分析問題的能力。反過來學生在分析過程中產生的疑惑，對教師的能力提出更高的要求，促進和鞭策教師對專業知識的深入學習，這就是教學相長。