曲徑變通途
——避開分類討論，另尋簡捷方法

一、運用最值思想，避免分類討論

例1.奇函數(shù) f(x)是R上的減函數(shù)，若對任意的 x∈(0，1]，不等式f(kx)+f(-x2+x-2)＞0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍。

解：∵f(kx)+f(-x2+x-2)＞0，且 f(x)是R上的奇函數(shù)，減函數(shù)，

∴f(kx)＞f(x2-x+2)

得到kx＜x2-x+2 (1)

故當(dāng) x∈(0，1]時，

顯然有h(x)min=h(1)=3，∴k＜3-1，即k＜2

∴k的取值范圍為(-∞，2)

點評：按照常規(guī)思路，由(1)式轉(zhuǎn)化為x2-(k+1)x+2＞0在x∈(0，1]上恒成立問題，可令g(x)=x2-(k+1)x+2，然后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)及對稱軸位置的變化，進行分類討論，得到：

解得k＜-1或-1≤k＜1或1≤k＜2，從而求得k的取值范圍為(-∞，2)。這樣解就顯得比較煩瑣，因為有些不等式在區(qū)間上的“恒成立”問題，一般通過分離變量，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解。就可以避免分類討論，使得解題過程簡明快捷，少走彎路。

二、妙用換底公式，避免分類討論

例2.設(shè) 0＜x＜1，a＞0且 a≠1，比較 |loga(1-x)|與|loga(1+x)|的大小。

分析：本例通常應(yīng)分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論，但運用換底公式消去a，就可避免分類討論，從而達到簡化解題過程的目的。

解：運用作商比較法，

三、變更主元法，避免分類討論

例3.設(shè)不等式mx2-2x-m+1＜0對于滿足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范圍。

分析：本例為含參數(shù)的不等式，關(guān)鍵是對參數(shù)的處理，從表面上看，是一個關(guān)于x的一元二次不等式，實質(zhì)上是一個關(guān)于m的一元一次不等式，并且已知它的解集為[-2，2]，求參數(shù)的范圍。因此通過參數(shù)m與未知數(shù)x的地位的變化，借助于一次函數(shù)圖象，避免了繁雜的對參數(shù)的討論。

解：設(shè) f(m)=(x2-1)m+(1-2x)，它是以m為自變量的一次函數(shù)，其圖象為直線，由題意知，這條直線當(dāng)x∈[-2，2]時，線段在y軸的下方，滿足它的為

四、借助函數(shù)性質(zhì)，避免分類討論

例4.設(shè)定義在[-2，2]上的偶函數(shù)在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，若f(1-m)＜f(m)，求實數(shù)m的取值范圍。

分析：由函數(shù)的定義域知(1-m)∈[-2，2]，m∈[-2，2]，但是1-m與m到底是在[-2，0]、[0，2]的哪個區(qū)域內(nèi)，不十分清楚，若就此討論，將十分復(fù)雜，如果注意到性質(zhì)“如果是偶函數(shù)，那么 f(-x)=f(x)=f(|x|)”，問題解答就簡捷多了。

解：∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(-x)=f(x)=f(|x|)，

f(1-m)＜ f(m) f(|1-m|)＜ f(|m|)

又當(dāng)x∈[0，2]時，f(x)單調(diào)遞減，

點評：本題運用了偶函數(shù)的一個簡單性質(zhì)，從而避免了一場“大規(guī)模”的討論，將“曲徑”變“通途”。值得深思。