交角不對中轉子-軸承系統非線性動力學行為研究

李自剛　李明　江俊

摘要： 考慮轉子交角不對中和質量不平衡等因素，研究了在滑動軸承支承下柔性轉子-軸承耦合系統的非線性動力學行為。首先，基于轉子間交角不對中的約束關系，利用第二類Lagrange方程推導了具有交角不對中故障的柔性多轉子系統運動微分方程。采用數值方法，分析系統的非線性振動特性，例如，系統的軸心軌跡、響應頻譜和最大Lyapunov 指數等。結果表明：在較低轉速時，系統主要呈現出與轉速同步的周期運動特性。隨著轉速的提高，穩態響應在某些參數下出現分叉、跳躍以及混沌等非線性現象。最后討論了交角不對中量以及質量不平衡對系統動力學特性的影響。

關鍵詞： 非線性動力學; 轉子-軸承系統; 交角不對中; 分叉與混沌; 質量不平衡

中圖分類號： O322; O347.6; TH113.1 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2019）03-0509-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.03.016

引 言

轉子-軸承系統是旋轉機械的核心組成部分。在實際系統中，由于加工精度、安裝誤差等原因，相鄰轉子的軸線往往存在不對中現象，即使對中良好的轉子也會在其頻繁啟停過程中產生位置偏離。轉子不對中能夠引起機組的劇烈振動和異常響聲，已成為機械故障最為重要的原因之一，如在大型發電機組中，不對中常常引起軸的撓曲變形、油膜失穩以及轉子與定子間的碰磨等故障，危害很大[1-4]。文獻[2]通過對實際機組的故障診斷，指出引起系統振動超標的根本原因是發電機-勵磁機聯軸器不對中。在文獻[3-4]中，作者以實際發電機轉子系統為研究對象，分別研究了具有平行不對中和軸承不對中故障的轉子系統動力學行為，揭示了該類系統的一些非線性振動特征。然而，工程中往往也存在轉子間的幾何關系為交角不對中的故障形式。因此研究在滑動軸承支承下具有交角不對中約束的多轉子-軸承耦合系統的非線性振動特性及其參數影響對系統的動力學設計、安裝以及運行中的故障診斷具有重要意義。

關于交角不對中的研究最早可以追述到上個世紀70年代，但對此引起廣泛關注的大約始于80，90年代。近10年來，隨著國民經濟和國防工業的快速發展，轉子系統趨于大型、高速、重載，而轉子與定子之間的間隙卻在相對縮小，轉子不對中所引起的振動也就變得更加嚴重，這要求轉子系統的動力學設計更為精確合理。文獻[5]利用有限元法分析了一個簡化的不對中轉子模型，并指出二倍頻分量是這類轉子系統的特征頻率;文獻[6]中，作者通過分析聯軸節的變形和受力，研究了交角不對中軸系的扭振特征。文獻[7-8]利用數值方法分別研究了由球鉸聯軸器和柔性聯軸器連接的兩個剛性轉子系統的振動特性，并分析了角度不對中量和軸承剛度等因素對系統的動力學特性的影響，取得了一些重要的研究成果;文獻[9]則采用Lagrange方法分析了2個支承在線性化滑動軸承上的剛性Jeffcott 轉子系統的動力學特性，其中不對中效應主要體現在系統的彈性力上，而在系統的動態力中未予以考慮。近年來，一些學者則更加關注于振動信號中的諧波響應。文獻[10]通過分析軸心軌跡和頻譜圖的特點，揭示了不對中轉子系統的一些非線性動力學行為;文獻[11-12]則考慮了2個轉子間的連接剛度，建立了剛性多轉子系統的動態不對中模型，研究表明當轉角不對中時，系統的振動主要以工頻為主，同時存在著組合頻率成分;文獻[13]從實驗角度對雙跨轉子的不對中和不平衡耦合問題進行了試驗研究。文獻[14]采用隨機理論分析了在非線性支承下剛性轉子的角不對中問題。

以上關于交角不對中的研究中，所分析的機械結構大多表現為轉子與軸承同時具有不對中，或允許較大角補償的柔性聯軸器-轉子系統。例如，文獻[15]建立了含萬向鉸偏斜旋轉軸的橫向振動模型，該結構允許較大的角不對中量。而對于軸承對中良好，但轉子交角不對中的情況研究還比較少（軸承不對中便于調節，轉子不對中則不便）。由于滑動軸承間隙限制和長度效應的影響，這種不對中情況不能允許轉子間有過大的角位移，但其對整個系統穩定性產生的影響卻是不能忽視的。本文考慮了質量不平衡等因素后，重點探討了轉子間具有交角不對中約束的柔性轉子-軸承耦合系統非線性動力學行為。并深入分析了在不同轉速下交角不對中量以及質量不平衡對系統動力學特性的影響，為該類轉子的故障檢測和在線監測提供理論依據。

1 具有交角不對中故障的轉子-軸承系統動力學模型

1.1 轉子系統動力學模型

圖1為具有交角不對中故障的轉子-軸承系統示意圖。其中兩轉子間通過剛性聯軸器相連，并且在運動過程中保持大小不變的角不對中量α;m，M分別為軸頸和轉子本體的集中質量;xi，yi為集中質量點在坐標系oxy下的坐標;k為轉軸剛度;a為圓盤的質量偏心;Ω為轉子的轉速;t為時間。為方便問題的討論，現作如下基本假設：（1） 轉子間交角不對中量為微量;（2） 聯軸器兩端的相鄰軸承之間距離相對較小，不發生形變;（3） 2圓盤在轉軸的中間且近似地認為作平面渦動。

2.2 轉速對交角不對中轉子系統的影響

圖3為采用4-5階變步長Runge-Kutta法經過充分衰減后求得的轉子系統在不對中軸承處的穩態響應隨轉速變化的分叉圖。從圖中能夠看出，對于對中情況（α=0），系統響應在整個轉速區間內始終保持周期運動。于此對比，微小不對中時（α=0.001 rad），系統在亞臨界和超臨界轉速區間內呈現出一系列的分叉現象和混沌振蕩。在無量綱轉速ω≈2.45時系統通過倍周期分叉進入混沌運動狀態，此時轉子的橫向振動幅值較大;隨著轉速的提高，在線性共振區附近系統的混沌運動消失并重新回到周期軌道;而在ω≈4.40時轉子的穩態響應出現準周期分叉，其中，當ω≈4.80時，系統的振幅迅速增大，直至最后碰到軸承內圈。圖4為其對應的最大Lyapunov指數曲線。由圖4可見，轉子響應分叉圖與最大Lyapunov指數曲線圖在周期運動、準周期運動和混沌運動的描述上一一對應，但在轉子響應分叉圖難以區分開的準周期運動和混沌運動，在最大Lyapunov指數曲線圖上則可以清楚區分開。

圖5為在不同轉速時交角不對中對轉子系統響應頻率和軌跡的影響。由圖可見，在圖中的各轉速下對中轉子均以工頻振動為主，呈現出周期運動特征，其軸心軌跡為一橢圓形，且幅值較小。對比來看，當不對中量α=0.001 rad時，在亞臨界轉速ω=2.0下其響應的Poincaré截面上呈現出1條封閉的曲線，表明系統在該轉速下作準周期運動。從軌跡圖上可見，系統的穩態響應在1個環域內作較為復雜的準周期振蕩，頻域上主要表現為工頻及其倍頻分量;另外在0.423倍工頻等處有明顯的離散譜峰，這是由于不對中導致滑動軸承的油膜壓力分配改變，從而可能誘發油膜渦動[1]。當ω=2.5時，轉子的軸心軌跡較為凌亂，頻域內出現連續譜成分，Poincaré截面上呈現出無規則的點集，并且在該轉速下最大Lyapunov指數為0.0060，表明系統已進入混沌運動。在臨界轉速附近ω=4.2時，轉子系統的響應雖返回為周期1運動，但其軸心軌跡為明顯的“月牙形”，且在某些位置曲率半徑較大，頻譜圖中2倍頻成分突出，這些正是交角不對中故障具有的典型特征[5，10]。并且此時最大Lyapunov指數為-0.0059。當轉子處于超臨界ω=4.7時，系統經歷分叉再次進入非周期運動。頻譜中相互不可公約的諧波分量出現，在該轉速下系統響應的最大Lyapunov指數趨近于0，這些特征充分說明此時系統處于準周期狀態。

2.3 不對中量對交角不對中轉子系統的影響

圖6為交角不對中轉子穩態響應在不同轉速下隨不對中量變化的分叉圖。從圖中可以看出，在較低轉速ω=2.0時，對于微小角不對中量，系統能夠保持在周期1運動。但隨著不對中量的逐漸增大，在α=0.0006 rad附近，轉子的穩態響應開始出現準周期運動，其渦動軌跡明顯增大。而在超臨界轉速ω=4.5下，隨著不對中量的增大，系統的動力學行為表現的非常復雜，在α=0.0008 rad時直接從周期運動過渡到混沌振蕩。

為了進一步研究不對中量對系統非線性振動特性的影響，分析了在不同交角不對中量時轉子系統的穩態響應振幅隨轉速變化曲線。圖7中當交角不對中量α=0時，即為對中情況下，系統的運動較為平穩，其振動幅度較小。然而不對中量的增大使轉子的穩態響應趨于復雜，出現明顯的跳躍現象。對比圖3可以看出，這種幅值跳躍現象是由于交角不對中故障而引起的轉子系統定性行為改變（解的數量變化）。而對于較大不對中量α=0.0010 rad時，隨著轉速的增加轉子的振幅迅速增大，最終碰到軸承內圈。

2.4 質量偏心對轉子系統動力學特性的影響

下面主要討論質量偏心變化對系統響應的影響情況。圖8（a）和（b）分別為當無量綱轉速ω=2.00和ω=4.50時，交角不對中轉子系統的穩態響應隨質量偏心變化的分叉圖。從圖8（a）可以看出，隨著質量偏心的增加，作用在轉子上的不平衡激勵增大，轉子的穩態振動中出現明顯的倍周期分叉現象。在不平衡量A≈0.10時，2倍周期中的每一個分支分別出現準周期分叉，形成“肺”狀的兩片孤立區域，此時轉子的振動幅度較大。從圖8（b）中可見，轉子的質量不平衡能夠引起系統的周期分叉，在A=0.125時其穩態響應經歷短暫的準周期振蕩后，出現周期6運動，這預示著系統的運動將變得非常復雜。

圖9為在具有微小不對中量α=0.0005 rad時，不同質量偏心下軸頸中心橫向振動的幅頻特性曲線。經過對比能夠看出，質量偏心是影響系統振動特性的重要因素。在低轉速時，較大的偏心量能夠使得轉子穩態響應出現明顯的幅值跳躍等非線性振動現象。然而值得注意的是，在較高轉速時減小質量不平衡量使得靠近聯軸器的軸承處振動狀態并未改善，反而增大了轉子的振動幅度。文獻[18]中通過實際機組的測試數據同樣反映了這種趨勢。

3 結 論

考慮了質量不平衡等因素后，重點討論了轉子間具有交角不對中約束的柔性轉子-軸承耦合系統非線性動力學行為。首先，根據描述交角不對中的約束關系，利用第二類Lagrange方程建立了具有交角不對中故障的柔性多轉子系統動力學模型。理論分析表明，交角不對中轉子系統是1個具有強非線性特征的10自由度非自治系統。采用數值方法重點分析了不對中轉子系統的動力學行為，并深入討論了在不同轉速下交角不對中量和質量不平衡對系統動力學特性的影響，主要結論如下：

1）嵌入了非定常完整約束的轉子系統使得兩轉子間的位移通過角不對中量相互耦合，其耦合程度與轉子轉速密切相關。同時由于油膜間隙和長度效應的影響，該約束影響軸頸內油膜壓力重新分配，使得非線性油膜力與角不對中量α以及sin（Ωt）， cos（Ωt）相關，進而引起系統的復雜運動。

2）在較低轉速時，系統主要呈現出與轉速同步的周期運動特性。隨著轉速的提高，穩態響應在某些參數下出現分叉、跳躍以及混沌等非線性現象。

3）系統的徑向振動出現明顯的工頻和倍頻成分，并且在某些轉速和不對中量下可能出現高次和低次諧波分量，軸心軌跡呈現“香蕉”型。

4）交角不對中能夠引起系統失穩，使轉子的橫向振幅增大，因此在實際系統中， 應該嚴格控制轉子間的角不對中量。

5）在一定轉速下，隨著質量偏心的增加，作用在轉子上的不平衡激勵增大，轉子的穩態振動中出現明顯的倍周期分叉以及振幅跳躍現象。

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Abstract： The non-linear dynamical behaviors caused by the faults of angular misalignment and mass unbalance of the journal bearing supported flexible rotor-bearing system are investigated in this paper. Firstly， the motion equation of the rotor system is derived by the second class Lagrange method with the effects of the motion relation between the two rotors， in which a rheonomic holonomic constraint characterized by the angular misalignment is embedded. Then its nonlinear vibration features， such as the frequency spectra， rotor orbit and Poincaré section， and the largest Lyapunov exponent under different conditions are primarily analyzed based on numerical techniques. The results reveal that the vibration of the rotor system are synchronous at low speed， while as the rotating speed increase， some non-linear characteristics such as jumping， period-doubling and chaotic motions will occur. Furthermore， the parameter analysis for the effects of angular misalignment and mass unbalance is also discussed.

Key words： nonlinear dynamics; rotor-bearing systems; angular misalignment; bifurcation and chaos; mass unbalance

作者簡介： 李自剛 （1986-），男，講師。電話： （029）85583131; E-mail： lzghsfy@hotmail.com